1、2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课后篇巩固探究一、A 组 基础巩固1.设 m,n 是两个非零向量 ,且 m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与 mn 等价的个数为( )mn=0;x 1x2=-y1y2;|m+ n|=|m-n|;|m +n|= .2+2A.1 B.2 C.3 D.4解析: 显然正确;对两边平方,化简,得 mn=0,因此也是正确的,故选 D.答案: D2.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= ,若(a+b)c= ,则 a 与 c 的夹角为( )552A.30 B.60 C.120 D.150解析: 设 c=(x,y),则由(a+b)c=
2、 ,得 x+2y=- .52 52又 cos= =- ,|=+255 12即=120.答案: C3.在ABC 中,C=90, =(k,1), =(2,3),则 k 的值是( ) A.5 B.-5 C. D.-32 32解析: =(2-k,2).=C=90, .2(2-k)+6=0,k=5.答案: A4.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC 的形状是 ( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形解析: =(1,1), =(-3,3), =1(-3)+13=0. ,A=90,故选 A.答案: A5.设向量 a 与 b 的夹角为 ,a=(2,1),a+2b
3、=(4,5),则 cos =( )A. B.1010 31010C. D.35 45解析: a=(2,1), a+2b=(4,5),b=(1,2).cos= .|= 455=45答案: D6.已知向量 a=(1,0),b=(x,1),若 ab=2,则 x= ;|a+b|= . 解析: ab=2, x=2.a+b=(3,1),|a+b |= .10答案: 2 107.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a+b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为 . 答案: -178.已知 a=(1,1),b=(0,-2),当 k 为何值时 ,(1)ka-b 与 a+b 共线;(2)ka-b 与 a+
4、b 的夹角为 120.解: a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,- 2)=(k,k+2).a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)ka-b 与 a+b 共线,k+2-(-k )=0. k=-1.(2)|ka- b|= ,2+(+2)2|a+b|= .12+(-1)2=2(ka-b)(a+b)=(k ,k+2)(1,-1)=k-k-2=-2,而 ka-b 与 a+b 的夹角为 120,cos120= ,(-)(+)|-|+|即- 化简,12= -222+(+2)2整理得 k2+2k-2=0,解得 k=-1 .39.设 a=(1,2),b=(-2,-3),
5、又 c=2a+b,d=a+mb,若 c 与 d 的夹角为 45,求实数 m 的值.解: a=(1,2),b=(-2,-3),c= 2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1),d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m),cd=0(1-2m)+1(2-3m) =2-3m.又|c|=1, |d|= ,c 与 d 的夹角为 45,(1-2)2+(2-3)22-3m=1 cos45,(1-2)2+(2-3)2即 (2-3m),(1-2)2+(2-3)2=2等价于 解得 m= .2-30,52-8+3=0, 35二、B 组 能力提升1.已知向量 u=(x+2,3),v=(x
6、,1),当 f(x)=uv 取得最小值时,x 的值为( )A.0 B.-1 C.2 D.1解析: f(x)=uv=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当 x=-1 时 ,f(x)取得最小值 2.答案: B2.函数 y=tan 的部分图象如图所示,则( ) =( )(4-2) A.-4B.2C.-2D.4解析: A(2,0),B(3,1),( ) =10-6=4.O=2答案: D3.已知向量 =(2,2), =(4,1),在 x 轴上有一点 P,使 有最小值,则点 P 的坐标是( ) A.(-3,0) B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)解析: 设点 P 的坐标为(x
7、 ,0),则 =(x-2,-2), =(x-4,-1). =(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时, 有最小值 1,此时点 P 的坐标为(3,0).故选 C.答案: C4.连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n)与向量 b=(1,0)的夹角记为 ,则 的(0,4)概率为( )A. B. C. D.518 512 12 712解析: 由已知,a 与 b 的夹角为 ,且 ,(0,4)所以 m2+n2.所以 m2n2.又因为 m,n 为正整数,所以 mn.由题意,知所有的 a 的个数为 36,满足 mn 的向量的个数为 15,
8、故所求的概率为 .1536=512答案: B5.若将向量 a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b,则向量 b 的坐标为( )4A. B.(-22,-322) (22,322)C. D.(-322, 22) (322,- 22)解析: 设 b=(x,y),由已知条件,知|a|=|b|,a b=|a|b|cos45.所以 2+2=5,2+=5522,解得 =22,=322或 =322,=- 22.因为向量 a 按逆时针旋转 后,向量对应的点在第一象限,所以 x0,y0.所以 b= ,故选 B.4 (22,322)答案: B6.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y
9、),若 ab ,(a+b)( b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 的模为 .解析: ab,2(- 2)-(-1)x=0,解得 x=4,b=(4, -2),a+b=(6, -3),b-c=(1,-2-y).(a+b) (b- c),( a+b)(b-c)=0,即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4, =(y-x,x-y)=(-8,8),| |=8 . 2答案: 8 27.定义一种新运算 :a b=|a|b|sin,其中 为 a 与 b 的夹角,已知 a=(- ,1),b= ,则 a b= .3 (12,0)解析: 据定义 a b=2 sin,12又 cos= =- ,| 32所以
10、sin= ,即 a b= .12 12答案:128.已知 a=(5,12),|a-b|=3,则| b|的取值范围是 . 解析: a=(5,12), | a|=13.|b|=|a-( a-b)|,且|a|-| a-b|a-( a-b)|a|+|a- b|,10|b| 16.答案: 10,169. 导学号 73764061 已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且|ka+ b|= |a-kb|(k0).3(1)用 k 表示数量积 ab;(2)求 ab 的最小值,并求此时 a,b 的夹角 .解: (1)由|ka+b|= |a-kb|,得(ka+b) 2=3(a-kb)2,3所
11、以 k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2.所以(k 2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.因为|a|=1,| b|=1,所以 k2-3+8kab+1-3k2=0,所以 ab= .22+28 =2+14(2)由(1),得 ab= ,由函数的单调性的定义,易知 f(k)= 在(0,1上单调递减,2+14=14(+1) 14(+1)在1,+ )上单调递增,所以当 k=1 时,a b 的最小值为 f(1)= (1+1)= .14 12此时 a,b 的夹角为 ,则 cos= ,所以 =60.|=121=1210.如图,设四边形 P1P2P3P4 是O 的内接正方形,P 是O 上的任意一点,求证: | |2+| |2+| |2+|1 2 3|2 为定值 .4证明: (i=1,2,3,4),=+=有| |2=( )2= -2( )+ . 2 2设O 的半径为 r,则| |2=2r2-2( ), | |2+| |2+| |2+| |21 2 3 4=8r2-2( )1+2+3+4=8r2-20=8r2(定值).
