1、长春市普通高中 2018 届高三质量监测（三） 数学文科一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 .故选：B2. 若复数 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选：A3. 在等差数列 中， 为前 项和， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 . 故选：A.4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵
2、两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如 3266 用算筹表示就是 ，则 8771 用算筹可表示为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则 8771 用算筹可表示为 ，故选：C5. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象,则 的值可以为A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数 的图象向右平移 个单位得到函数，故选：D.6. 函数
3、的部分图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除 A，C，当 ， .排除 B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题7. 如图所示的程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ,那么空白框中的语句及最后输出的 值分别是A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】D【解析】空白框中 n 依次加 2 可保证其为偶数，排除 A，C时， ， 时，所以 D
4、 选项满足要求故选：D8. 在等比数列 中， 为 的前 项和，若 ，则其公比为A. B. C. D. 【答案】A【解析】当公比 时，显然不适合题意，故选：A.9. 某几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积（单位： ）是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， .故选：B. 10. 已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知 , , a，令 .故选:B.11. 已知边长为 的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕，将 折起，使，则过 四点的球的表面积为A. B.
5、 C. D. 【答案】C【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 ， 故其外接球的半径为 ，其表面积为 .故选:C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解12. 已知双曲线 的两个焦点分别为 和 ，若其右支上存在一点 满足 ，
6、使得 的面积为 ，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线可知 ，从而 .故选：B.二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_.【答案】9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在 处取最大值故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最
7、小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知 、 取值如下表：画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值为_.（精确到 ）【答案】1.7【解析】将 代入回归方程为 可得 ，则 ，解得 ，即精确到 0.1 后 的值约 .故答案为：1.715. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当 ，当 ，故 .故答案为：点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要
8、代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围16. 已知菱形 的一条对角线 长为 2，点 满足 ，点 为 的中点，若，则 _【答案】【解析】 .如图建立平面直角坐标系，设 ， ， ， ， ， ，解得：.故答案为：-7三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，.（1）求角 ；（2）求 面积的最大值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 结合正弦定理及两角和正弦公式得到角 ；
9、（2）由 ，由余弦定理可得 ，结合均值不等式可得 ，从而得到 面积的最大值.试题解析：（1）由 可得 故（2）由 ，由余弦定理可得 ，由基本不等式可得 ，当且仅当 时， “=”成立从而 ，故 面积的最大值为 .18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出 200 人，并将这 200人按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第
10、4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）求出 的值；（2）求这 200 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位） ；（3）现在要从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取3 人进行问卷调查，求这 2 组恰好抽到 2 人的概率【答案】 （1） （2）平均数为 41.5，中位数为 （3）【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图可得 的值；（2）平均数为；岁；设中位数为 ，则岁；（3）第 1,2,3 组的人数分别为 20人,30 人，从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，则第 1,2 组
11、抽取的人数分别为 2 人,3人，分别记为 . 设从 5 人中随机抽取 3 人，共 10 个基本事件，从而得到第 2 组中抽到 2 人的概率.试题解析：（1）由 ，得 .（2）平均数为； 岁；设中位数为 ，则 岁.（3）第 1,2,3 组的人数分别为 20 人,30 人，从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人,3 人，分别记为 . 设从 5 人中随机抽取 3 人，为 ，共 10 个基本事件，从而第 2 组中抽到 2人的概率 .点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“
12、有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， ， 分别是线段 ，的中点， （1）证明： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)取 中点 ，连接 ,易证四边形 为平行四边形，从而，所以 平面 ；（2） 平面 , 到平面 的距离等于 到平面 的距离,利用等体积法构建所求距离的方程即可.试题解析：（1）取 中点 ，连接分别是 中点, ,为 中点，
13、为正方形， , 四边形 为平行四边形平面 ， 平面 ， 平面（2） 平面 , 到平面 的距离等于 到平面 的距离,平面 ， , ,在 中 ，平面 ， , , , 平面 ，,则 为直角三角形， ,设 到平面 的距离为 ，则 到平面 的距离 .20. 在平面直角坐标系中，已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，动圆 与圆 内切且与圆 外切.(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；(2)已知 与 为平面内的两个定点，过 点的直线 与轨迹 交于 , 两点，求四边形 面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心 的轨迹 的方程；（2）设 的方程为，联立可得 ，通过根与系数的
14、关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆 的半径为 ，由题意知从而有 ，故轨迹 为以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去 除点 ，从而轨迹 的方程为 .（2）设 的方程为 ，联立 ，消去 得 ，设点 ，有 则 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，从而四边形 的面积令 ，有 ，函数 在 上单调递增，有 ，故 ，即四边形 面积的最大值为 .21. 已知函数 ， （ ） （1）若 恒成立，求实数 的取值范围；（2）已知 ， 是函数 的两个零点，且 ，求证： 【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：(1) 令 ，求出 的最大
15、值，令其小于等于零，即可求出实数 的取值范围；（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则 ， 要证 ，只需证 ，由于 在 上单调递减，从而只需证 .试题解析：（1）令 ，有 ，当 时， ，当时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取得最大值，为 ，若 恒成立，则 即 .（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则 ，要证 ，只需证 ，由于 在 上单调递减，从而只需证 ，由， ，即证令 ， ，有 在 上单调递增， ，所以 .（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系 中，以
16、坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ：， ： .（1）求 与 的交点的极坐标；（2）设点 在 上， ，求动点 的极坐标方程.【答案】(1) (2) 试题解析：（1）联立 ， ， ， ， 交点坐标 .（2）设 ， 且 ，由已知得 ，点 的极坐标方程为 . 23. 选修 45：不等式选讲.已知函数 .(1)当 时，求不等式 的解集；(2) 对于 ，都有 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）对 x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于 ，都有 恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：（1）当 时，当 解得 当 恒成立. 当 解得 ，此不等式的解集为 . ，当 时，当 时， ，当 单调递减， f(x)的最小值为 3+m，设当 ，当且仅当 时，取等号即 时，g(x)取得最大值 . 要使 恒成立，只需 ，即 .
