1、东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018 届高三第一次联合模拟考试数学试题（理科）1. 复数 的模为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，所以 .故选 C.2. 已知集合 ， ，若 ，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得 ，由 ，则 ，又 ，所以 .故选 A.3. 从标有 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件 A，记“第二次抽到偶数”为事件 B，则， ，所以 .
2、故选 B.4. 已知 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知， .故选 B.5. 中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】A【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为 ，则渐近线 过点 ，即， ，所以 .故选 A.6. 展开式中的常数项是( )A. B. C. 8 D. 【答案】B【解析】由 展开式的第 项 ，得 展开式的通项为 或 ，则当 或 ，即 或 时，为展开式的常数项，即 .故选 B.7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 的值是( )A. B. C. 1 D.
3、3【答案】D【解析】由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2 的直角梯形，一条长为 的侧棱垂直于底面，其体积为 ，解得 .故选 C.8. 已知函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ，则该函数的一个单调增区间为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知函数 ，则 ，解得 ，所以 ，令（ ） ，解得 ，当 时，有 .故选 A.9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入 ， ，则输出 的值为( )A. 148 B. 37 C. 333 D. 0【答案】B【解析】由题意得， ，则 ；，则 ；，则
4、 ；，则 ；，则 ；，则余数 .故选 B.10. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的侧面积为 ，则该半球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知，设半球的半径为 ，正方形 的边长为 ，顶点 在底面的身影是半球的球心 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，则 ，所以四棱锥的侧面积为 ， ，所以该半球的体积为.故选 D.点睛：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉及到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化
5、为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉及到斜高，而半球的体积涉及到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.11. 已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若以 为直径的圆与轴相切，则 的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，可设交点 的坐标分别为 ，联立直线与抛物线方程消去 得 ，则 ， ， ，由，即 ，解得 .故选 C.12. 在 ， ， ， 是边 上的两个动点，且 ，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，可以点 为原点，分别以 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点 的坐标分别为 ，
6、直线 的方程为 ，不妨设点 的坐标分别为 ， ，不妨设 ，由 ，所以，整理得 ，则 ，即，所以当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 .故选 A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（ ）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点 的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.13. 在 中， ， ， ，则 _.【答案】1【解析】由题意，根据余弦定理得 ，即 ，解得 ，或 （舍去）.故填 1.14. 若 满足约束条
7、件 ，则 的最大值为 _.【答案】【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ， ， ， 表示可行域内点 与 的连线的斜率， ，因此 最大值为 考点：简单线性规划的非线性运用15. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 、 、 ，已知：甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；在哈尔滨工作的教师不教 学科；在长春工作的教师教 学科；乙不教 学科.可以判断乙教的学科是_.【答案】C【解析】由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教 A 学科，则乙不教 A 学科；又乙不教 B学科，所以乙教 C 学科，而在哈尔滨工作的教师不教 C 学科，故乙在沈阳教 C 学科.故填 C.1
8、6. 已知函数 ， 是函数 的极值点，给出以下几个命题： ； ； ； ；其中正确的命题是_.(填出所有正确命题的序号)【答案】【解析】由已知得 ，不妨令 ，由 ，当时，有 总成立，所以 在 上单调递增，且 ，而 是函数的极值点，所以 ，即 ，所以 ，即命题成立，则命题错；因为 ，所以 ，故正确，而错.所以填.点睛：此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题.17. 已知正项数列 满
9、足： ，其中 为数列 的前 项和.(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）由题意，可根据数列通项 与前 项和 的关系进行整理化简，可以发现数列 是以首项为 3，公差为 2 的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列 的通项公式；（）由（）可求得 ，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.试题解析：（）令 ，得 ，且 ，解得 . 当 时， ，即 ， 整理得 ， ， ， 所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，故 . （）由（）知： ， .点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前 项和公式的运算，其中涉及到数列通项 与
10、前项和 的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.18. 某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润 200 元，未销售的产品返回厂家，每台亏损 50 元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间 ，需求量为 100 台；最低气温位于区间 ，需求量为 200 台；最低气温位于区间 ，需求量为 300 台。公司销售部为了确定 11 月份的订购计划，统计了前三年 11 月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表
11、：最低气温()天数 11 25 36 16 2以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.求 11 月份这种电暖气每日需求量 (单位：台)的分布列；若公司销售部以每日销售利润 (单位：元)的数学期望为决策依据，计划 11 月份每日订购200 台或 250 台，两者之中选其一，应选哪个？【答案】 （1）X 的分布列为X 100 200 300P 0.2 0.4 0.4（2）11 月每日应订购 250 台.【解析】试题分析：（1）由题意，易知离散型随机变量 X 的可能取值为 100，200，300，根据“频率代替概率”分别求出各值对应的概率，从而可列出 X 的分布列；（2）根据题意，由
12、随机变量的期望值公式，分别算出订购 200 台，250 台的数学期望进行比较，从而可确定订购 250 台时所得期望值最大.试题解析：（1）由已知 X 的可能取值为 100,200,300X 的分布列为X 100 200 300P 0.2 0.4 0.4（2） 由已知当订购 200 台时，E( (元) 当订购 250 台时，E(（元）综上所求，当订购 台时，Y 的数学期望最大，11 月每日应订购 250 台。19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ，且 ，底面 为矩形，点 、 分别为线段 、 、 的中点， 是 上的一点， .直线 与平面 所成的角为 .(1)证明： 平面 ；(2)设 ，求二面角 的
13、余弦值.【答案】 （）证明见解析；（） 【解析】试题分析：（）方法一，采用几何法证明，思路模式将“线面垂直问题”转化为“线线垂直问题” ，即只需证 垂直于平面 内的两条相交直线（ ）,从而问题可得证；方法二，采用坐标法证明，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得向量的坐标，通向量的坐标运算，由向量垂直说明直线垂直，从而问题可得证；（）由题意，可采用坐标法进行求解，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算两个法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值.试题解析：（）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 .因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， .方法一：因为 ， ，所以 ，所以 .又 ， ，
14、所以 ，所以 ，所以 ，所以 .且 ，所以 平面 .方法二：取 中点 ，连接 ，交 于点 ,连接 ，则 .因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， .又因为 ， ，所以 ，所以 .以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、轴，建立空间直角坐标系 .设 ， ，则 ， ， ， ，于是 , .所以 ，所以 ，且 ，所以 平面 （）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 .因为平面 平面 ，所以 平面 ， .以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系 .设 ，则 ， ， ， ，于是 ， ， .设平面 的一个法向量为 ，则 ，从而 ，令 ,得 .而平面 的一个法向量
15、为 .所以点睛：此题主要考查了空间立体几何中线面垂直的证明，二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等，还有向量法在解决立体几何中二面角的计算问题，属于中档题型，也是必考考点.向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，从而求二面角的相关值.20. 已知椭圆 过抛物线 的焦点 ， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，且 .(1)求椭圆 的标准方程；(2)若直线与抛物线 相
16、切，且与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2）1.【解析】试题分析：（1）由已知，求出抛物线的焦点 的坐标，可求得椭圆 的值，分别求出向量 ， 的坐标，由向量数量积的公式及 ，从而求椭圆 的标准方程；（2）因为直线与抛物线相切，由切点可设直线方程为 ，再联立直线与椭圆方程，由弦长公式，求得 的长，由点到直线的距离公式求得原点到 的距离，列出 面积的计算式子，从而求得 面积的最大值.试题解析：（1） ，又 ， .又 ，椭圆 的标准方程为 . （2）设直线与抛物线相切于点 ，则 ，即 ，联立直线与椭圆 ，消去 ，整理得 .由 ，得 .设 ，则： . 则原点 到直线的距离
17、 .故 面积 ，当且仅当 ，即 取等号，故 面积的最大值为 1.21. 已知函数 ， ， .(1)当 时，若对任意 均有 成立，求实数 的取值范围；(2)设直线 与曲线 和曲线 相切，切点分别为 ， ，其中 .求证： ；当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （） ；（）证明见解析；【解析】试题分析：（）根据题意，可得不等式 ，由于 ，则 ，利用导数法，分别函数 的最小值， 的最大值，从而可确定实数 的取值范围；（）根据题意，由函数 ， 的导数与切点分别给出切线 的方程，由于切线相同，则其斜率与在 轴上的截距相等，建立方程组，由 ，从而可证 ；将不等式 ，转化为 ，构造函数
18、，由函数 的单调性求其最大值，从而问题得于解决.试题解析：（）:当 时：由 知：依题意： 对 恒成立设当 时 ；当 时 ， 设当 时 ；当 时 ，故：实数 k 的取值范围是 （）由已知： ，：由 得：由 得：故， ， ，故：由知： ， 且由 得： ，设在 为减函数，由 得：又 22. 已知曲线 的极坐标方程为： ，以极点为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线 的参数方程为： (为参数)，点 .(1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；(2)设曲线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值.【答案】 （） ， ；（）【解析】试题分析：（1）由题意，将曲线 的极坐标方程两边同时乘于
19、极径 ，由 ，即将其转化为普通方程；由曲线 的参数方程经过消参，即可求得曲线的普通方程.（2）由（1）易知曲线 为圆， 为直线，利用直线参数方程中参数的几何意义，将问题转化为 的值，由此可联立直线参数方程与圆的方程消去 ，由韦达定理，从而问题可得解.试题解析：()的直角坐标方程为:的普通方程为（）将得：由的几何意义可得：点睛：此题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程间的互化，以及直线参数方程中其参数的几何意义的在求线段之积最值等中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在极坐标方程与普通方程的转化过程中，将极坐标方程构造出 ，再由互换公式， ，进行替换即可.23. 已知不等式 .(1)当 时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为 ，求的范围.【答案】 （） ;（）是【解析】试题分析：试题解析：（1）由已知，可得当 时，若 ，则 ，解得若 ，则 ，解得若 ，则 ，解得综上得，所求不等式的解集为 ；（2）不妨设函数 ，则其过定点 ，如图所示，由（1）可得点 ，由此可得 ，即 .所以，所求实数的范围为 .
