1、2017-2018 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请将答案填写在答题卷相应位置）1. 集合 ， ，若 ，则实数 的值为_.【答案】0【解析】 ， ，且 ， ，即实数 的值为 ，故答案为 .2. 复数 ，其中 为虚数单位,则 的虚部为_.【答案】-1【解析】 ， 的虚部为 ，故答案为 .3. 从集合 中分别取两个不同的数 作为对数的底数和真数，则事件 “对数值大于 ”的概率为_.【答案】【解析】从集合 中分别取两个不同的数 作为对数的底数和真数，若不含 共有 种，若含 共有 种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取
2、方法） ，所以共有 种，其中大于 的共有 种，所以“对数值大于 ”的概率为 ，故答案为 .4. 甲、乙两个城市 2017 年夏季连续 5 天中，每天的最高气温（ ）数据如下：每天的最高气温城市第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天甲 28 31 27 33 31乙 25 26 29 34 36则这 5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为_. (填甲或乙).【答案】甲【解析】甲、乙两个城市的最高气温平均值都是 ，甲的方差为 ，乙的方差为 每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为甲，故答案为甲.5. 在平行四边形 中， ， ，则四边形 的面积为_.【答案】5【解析】
3、 ， ， ， 四边形 的面积是三角形 面积的二倍为 ，故答案为 .6. 抛物线 上一点 到焦点的距离为 4，则实数 的值为_.【答案】2 或 6【解析】 抛物线 上一点 到焦点的距离为 4， ，解得或 的值为 或 ，故答案为 或 .7. 设变量 满足 ，则 的最小值为_.【答案】5【解析】画出 表示的可行域如图，由 ，得 ，平移直线 ，由图知，当直线 经过 时， 有最小值 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在
4、可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 的值为_.【答案】【解析】将 的图象向右平移 个单位，得到的图象，所以 ， ，故答案为 9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_.【答案】【解析】因为 ， ， ， 分别为所在棱的中点，所以棱柱 的体积，设甲中水面的高度为 ，则 ，故答案为 .10. “ ”是“两直线 和
5、平行”的_条件.(在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中选一个填空)【答案】充要【解析】若 ，则 或 （此时两直线重合，舍去） ，所以 必要性成立；若 充分性成立，所以“ ”是“两直线 和平行”的充要条件，故答案为充要.11. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ，在圆 内存在一定点 ，过 的直线 被圆 ，圆 截得的弦分别为 ， ，且 ，则定点 的坐标为_.【答案】【解析】 总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是 点 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为 ，可设 ，设直线 的方程为 ，因为 ，所以 ，解得 或 （此时点 在圆 外，舍去） ，故答案为
6、.12. 已知点 是边长为 的正三角形 内切圆上的一点，则 的取值范围为_.【答案】【解析】以正三角形 的中心为原点，以 边上的高为 轴建立坐标系，则，正三角形 内切圆的方程为 ，所以可设 ，则， ，故答案为 .13. 已知 均为正数， ， ，则 的最大值为_.【答案】16【解析】 ， ，因为 均为正数，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，故答案为 .【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，
7、最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.14. 已知函数 ，且 在 上的最大值为 ，若函数有四个不同的零点，则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】若 ，则 在 上递增， 有最小值 ，不合题意，要使 在 的最大值为 ，如果 ，即 ，则 ，得矛盾，不合题意；如果 ，则 ， ，若 有四个零点，则 与 有四个交点，只有 开口向上，即 ，当 与 有一个交点时，方程有一个根， 得 ，此时函数 有三个不同的零点，要使函数 有四个不同的零点， 与 有两个交点，则抛物线的开口要比 的开口大，可得 ， ，即实数 的取值范围为 ，故答案为 .【方
8、法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤)15. 在 中， .(1) 求角 的大小；(2)若 ，垂足为 ，且
9、 ，求 面积的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 ，两边平方 ，整理可得 ，即 ，从而可得 ；（2）在直角 与直角 中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得 面积的最小值.试题解析：（1）由 ，两边平方 ，即 ，得到 ，即 。 所以 . （2）在直角 中， ，在直角 中， ， 又 ，所以 ， 所以 ， 由 得， ，故 ，当且仅当 时， ，从而 . 16. 如图，在四棱锥 中，已知底面 为平行四边形， ，三角形 为锐角三角形，面 面 ，设 为 的中点.求证： (1) 面 ；(2) 面 .【答案】 （1）见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）连接 交 于 ，连接
10、 ，由三角形中位线定理可得 / ，又 平面 ， 平面 ，所以 /平面 ；（2）过 作 的垂线，垂足为 ，根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，根据线面垂直的性质可得 ，结合，根据线面垂直的判定定理可得 面 .试题解析：（1）证明：连接 交 于 ，连接 在平行四边形 中，对角线 交 于 ，则 为 的中点，又已知 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 / ，又 平面 ， 平面 ，所以 /平面 . (2)过 作 的垂线，垂足为 ，即 ；因为三角形 为锐角三角形，所以 CM 与 CB不重合，因为，平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 ，所以， 平面 ，又 平面 ，所以 ，又已知 ， 平面 ，所以 平
11、面 。 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.17. 已知函数 是定义在 上的偶函数.当 时， .(1) 求曲线 在点 处的切线方程；(2) 若关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据 是偶函
12、数，当 时， ，可得当 时， ，求出 可得切线斜率，求出 ,可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（2）令 ，则原命题等价于 ， 恒成立， 即 恒成立，设 ，利用导数研究函数的单调性，求出 的最大值为 ，从而可得实数 的取值范围为 .试题解析：因为 为偶函数，所以，当 时，则 ，故 ，所以 ，从而得到 ， ， （1）当 时， ，所以所以在点 的切线方程为： ，即 （2）关于 的不等式 恒成立，即 恒成立令 ，则原命题等价于 ， 恒成立， 即 恒成立， 记 ， ，当 时， ，则 递增；当 时， ，则 递减； 所以，当 时， 取极大值，也是最大值 ， 所以 ，即实数 a 的范围为 . 【方法点晴】本
13、题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .18. 在某城市街道上一侧路边边缘 某处安装路灯，路宽 为 米，灯杆 长 4 米，且与灯柱 成 角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线 与灯的边缘光线(如图， )都成 角，当灯罩轴线 与灯杆 垂直时，灯罩轴线正好通过 的中点.（1）求灯柱 的高 为多少米;（2）设 ，且 ，求灯所照射路面宽度 的最小值.【答案】 （1
14、） （2）【解析】试题分析：（1）连接 ， 设 ，则 ，在直角 与直角中，根据直角三角形的性质可得 ，解得 ，从而可得；（2）以 为坐标原点， ， 分别为 轴，建立直角坐标系，可求出 ， ，所以 ，切化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得 ，结合 ，可得到 取最小值 .试题解析：（1）连接 ， 设 ，则 ，在直角 中， ，在直角 中， ， 则有 ，解得 ， 在直角 中， . （2）以 为坐标原点， ， 分别为 轴，建立直角坐标系，则，又若 ，由（1）知，若 ，则直线 的方程为 ，则 ；直线 的方程为 ，则 ；所以 = = 又 ，所以当且仅当 时， 取最小值 ； 综合知，当 时， 取最
15、小值 .19. 在平面直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 交于点 ， （ 在 轴上方） ，且 .设点 在 轴上的射影为 ，三角形 的面积为 2（如图 1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于 的直线与椭圆相交，其弦的中点为 .求证：直线 的斜率为定值；设直线 与椭圆相交于两点 ， （ 在 轴上方） ，点 为椭圆上异于 ， ， ， 一点，直线 交 于点 ， 交 于点 ，如图 2，求证： 为定值.【答案】 （1） (2) 【解析】试题分析：（1）设 ，已知 ，即 ，所以 ，故 ，即 ,再根据椭圆经过 解得 ，从而可得椭圆的方程；（2）设平行 的直线的方程为 ，且 ， 联立 ，得到 ，根据韦达定理求得
16、 ， ，从而可得直线 的斜率为定值，由题意可知 ，求出 .设 ，求出 的坐标，利用弦长公式分别求出 的值，将 用 表示，化简消去 即可的结论.试题解析：（1）由题意，可设 ，已知 ，即 ，所以 ，故 ，即 ；又椭圆经过 ，即 ，解得 ；故所求椭圆的方程为： (2)设平行 的直线的方程为 ，且 ， 联立 ，得到 ， 所以 ， ；故，直线 的斜率为 （定值） 由题意可知 ，联立方程组 得 设 ，先考虑直线斜率都存在的情形：直线 ，联立方程组： 得 , 直线 ,联立方程组： 得 , 则 ， 所以当直线斜率不存在时结果仍然成立.20. 已知函数 .（1）当 时，求 在 上的值域；（2）试求 的零点个数
17、，并证明你的结论.【答案】 （1） （2）当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点【解析】试题分析：（1）当 时， ，则 ，而在 上恒成立，所以 在 上递减，由 ，可得当 时， ， 递增；当 时 ， 递减；所以 ，比较 的大小可得 ，进而可得结果；（2）原方程等价于 实根的个数，原命题也等价于 在上的零点个数，讨论 ， ， ，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.试题解析：（1）当 时， ，则 ，而 在 上恒成立，所以 在 上递减， ，所以 在 上存在唯一的 ，使得 ，而且当 时， ， 递增；当 时 ， 递减；所以，当 时， 取极大值，也是最大值，即
18、，所以， 在 上的值域为 .（2）令 ，得 ， 显然不是方程的根，那么原方程等价于 实根的个数，令 ，原命题也等价于 在 上的零点个数；又因为 ，所以 在 和 上都是单调递增的；（I）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点；当 时， ， ，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点。（II）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点；当 时， ， ，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点（III）若 ，则当 时，由 ，则 ，则 取 ，则 ，又 ，所以 在有唯一的零点，当 时， ，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点21. 已知曲线 ，先将曲线 作关于
19、 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转。(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵 ;(2)求曲线 在 作用下得到的曲线 的方程.【答案】 （1） , （2）【解析】试题分析：（1）反射变换对应的矩阵为 ，旋转变换对应的矩阵为；（2 在曲线 上任取一点 ，在 作用下对应点为，即 ，则 ，又 ，所以 ，从而可得曲线 在作用下得到的曲线 的方程.试题解析：（1）由题意，反射变换对应的矩阵为 ，旋转变换对应的矩阵为 （2）在曲线 上任取一点 ，在 作用下对应点为 ，即，则 ，又 ，所以即曲线 的方程为： . 22. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极坐标系的极点
20、， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程 .设直线 与椭圆 相交于 ,求线段 的长.【答案】【解析】试题分析：圆 的参数方程 变形为 ,两式平方后相加可得椭圆 的普通方程，再与直线 的普通方程 联立可得 点的坐标，利用两点间距离公式可得线段的长.试题解析：由已知，椭圆 的普通方程为： ， 直线 的普通方程为： 联立 解得 或 所以 . 23. 袋中有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球 5 次,则停止取球,设取球次数为 ,(1)求取球 3 次则停止取
21、球的概率;(2)求随机变量 的分布列.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式可得取球 次则停止取球的概率；（2） 可能的取值为 2,3,4,5，根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望.试题解析：（1）记“取球 3 次停止”为事件 ， 则 ； （2）由题意， 可能的取值为 2,3,4,5，；其分布表如下：2 3 4 524. 如图,在斜三棱柱 中,底面 为正三角形,面 面 , ,.(1)求异面直线 与 所成角的余弦值;(2)设 为 的中点
22、,求面 与面 所成角的正弦值.【答案】 （1） 与 所成角的余弦值为 0. （2）【解析】试题分析：（1）可设 ，取 的中点 ，连接 ，先证明，再由面面垂直的性质可得 ，因此 两两互相垂直以 为坐标原点， 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，分别求出 ，可得 ，从而得异面直线 与 所成角的余弦值；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得面 与面 所成角的余弦值，进而可得正弦值.试题解析：不妨设 ，取 的中点 ，连接 ，因为底面 为正三角形，则 ，且 ，因为 ，所以 ，又因为 面 面 ，面 面 ， 面 ，所以 ，因此 两两
23、互相垂直以 为坐标原点， 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则， （1）由已知得 ， ，又 ，即 ，所以 ，所以 与 所成角的余弦值为 0. （2）由已知得 ， ，设平面 的法向量 则 ，即 ，令 ，则即平面 一个法向量 ； 又 ， ，设平面 的法向量 ，则，即 ，令 ，则即平面 一个法向量 ； 又 ，记面 与面 所成的角为 ， ，则，所以所以，面 与面 所成角的正弦值为 . 【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，利用空间向量求异面直线所成的角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
