1、2.1.3 向量的减法课后篇巩固探究一、A 组 基础巩固1.在ABCD 中, =( )+A. B. C. D. 解析: =( )+ .+=+=答案: D2.如图所示,D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 等于 ( )A. B. C. D. 解析: 由图可知 ,则 .又由三角形中位线定理,知 ,故=,= =选 D.答案: D3.在ABC 中,| |=| |=| |,则ABC 是 ( )A.直角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.以上都不正确解析: 因为 ,=所以| |=| |=| |.所以ABC 是等边三角形.答案: C4.若 A,B,C,D 是平面内任意四点,则下
2、列四个式子中正确的个数是( ) ;+=+ ;=+ ;= +=A.1 B.2 C.3 D.4解析: 中左边=( )+( )= =右边,故成立; 中左边=( )-( )=+ +=右边,故成立; 中左边= =右边,故不成立;=+ =+=中左边= =右边,故成立.故成立.=答案: C5.设 a,b 是非零向量,若|a-b|=|a|+|b|,则 a 与 b 必定 ( )A.方向相同 B.方向相反C.b=-a D.模相等解析: a 与 b 均为非零向量,|a-b|=|a|+|b|,a 与 b 的方向相反.答案: B6.在下列横线上填上适当的向量.(1) = + ; (2) - ; =(3) - = ; +
3、(4) + = . 答案: (1) (2) (3) (4) 7.已知|a|=7,| b|=2,且 ab ,则|a- b|= . 答案: 5 或 98.如图,已知向量 a,b,c,d,求作向量 a-b,c-d.解: 如图,在平面内任取一点 O,作 =a, =b, =c, =d,则 =a-b, =c-d. 9.如图,O 是ABCD 的对角线 AC,BD 的交点,若 =a, =b, =c.求证:b+c-a= .证明: b+c-a= =- =- .+=+=二、B 组 能力提升1.如图所示,四边形 ABCD 是梯形,ADBC,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则 等于( )+A. B. C. D.
4、解析: .+=+=+=答案: B2.若ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且 =a, =b,用 a,b 表示向量 为( ) A.a+b B.-a-b C.-a+b D.a-b解析: =- =-a-b.=答案: B3.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,若 =a, =b, =c,则|a-b+ c|等于( )A.0 B.1 C.2 D.2 2解析: 因为 c=a+b,所以|a-b+c|=|a+a|=|a|+|a|=2.答案: C4.下列说法中错误的有( )A.若 ,则+=B.若 ,则+=+=C.若 ,则+=D.若 ,则+=+=答案: D5.已知 O 是ABCD 对角线的交点 ,则有下
5、列结论: ; ; ; .其中,正确结论的序号为 .+=+解析: 对于, ;+=+=对于, ;=对于, ;=对于, =0, =0,+左边=右边.故正确.答案: 6.给出下列命题:若 a+b 与 a-b 是共线向量,则 a 与 b 也是共线向量;若|a|-|b|=| a-b|,则 a 与 b 是共线向量 ;若|a-b|=|a|+|b |,则 a 与 b 是共线向量;若| a|-|b|=|a|+|b|,则 b 与任何向量都共线.正确命题的序号为 . 解析: 可借助向量加法与减法的几何意义及反证法作出正确判断; 而对于,可借助于不等式| a|-|b|a -b| a|+|b|中等号成立的条件作出判断;
6、对于来说,由|a|-|b|=|a|+|b |,可得 a,b 至少有一个为 0,但未必 b 就一定为 0,故 b 与任何向量共线是不正确的.答案: 7.长度相等的三个非零向量 满足 =0,则由 A,B,C 三点构成的ABC 是 , +三角形. 解析: 如图,作 的和向量 ., 因为 =0,+所以 =- .+所以 =- .又因为| |=| |=| |=| |,所以AOD 是等边三角形,四边形 AOBD 是菱形.所以OAB= OAD= 30.12同理:OAC=OCA=OCB=OBC= OBA=30.所以BAC=ABC=ACB=60,即ABC 为等边三角形.答案: 等边8. 导学号 73764039
7、已知平面上不共线三点 A,B,C,O 是ABC 内一点,若=0,求证:O 是ABC 的重心.+证明: 如图,因为 =0,所以 =-( ),即 的相反向量.+ + +是 以 OB,OC 为邻边作OBPC,则 ,所以 =- ,=+ 所以 A,O,P 共线 .又设 OP 与 BC 交 BC 于点 D,则 D 是 BC 的中点,所以 AD 是 BC 边上中线,且 AD 过 O 点;同理可证 BE,CF 分别是边 AC,AB 边上中线,且都过 O 点.所以 O 是ABC 的重心.9. 导学号 73764040 已知|a|=5,|b|=6.(1)若 ab,求|a+b|及|a-b|;(2)如果 a 与 b
8、的夹角为 60,求|a+b|及|a-b|;(3)如果 a 与 b 的夹角为 120,求|a+b| 及|a-b|.分析: 本题是向量与平面几何的综合应用 ,解题的关键在于根据平面几何中的相关知识进行等量代换,并利用向量的相关知识予以解决.解: (1)如图,以 a,b 为邻边作平行四边形 ABCD,其中 a= ,b= ,则 =a+b, =a-b.由 ab,可知平 行四边形 ABCD 是矩形,故| |=| |= , |2+|2=52+62=61所以|a+b|=|a-b|= .61(2)如右图,以 a,b 为邻边作平行四边形 ABCD,其中 a= ,b= ,则 =a+b, =a-b. 过点 D 作 DEAB 于点 E.在 RtADE 中,| |=| |sin60= ,532| |=| |cos60= .52所以|a-b|= ,(|-|)2+|2=31|a+b|= .(|+|)2+|2=91(3)如右图,以 a,b 为邻边作平行四边形 ABCD,其中 a= ,b= ,则 =a+b, =a-b. 作 CEAB 于点 E.在 RtBCE 中,| |=| |sin60= ,| |=| |cos60= ,| |= ,| |= .523 52 3191所以|a+b|= ,|a-b|= . 31 91
