1、揭阳市 2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先由题意求得集合 A,B，然后结合所给的选项逐一考查其真假即可，需注意集合运算的准确性.详解：求解函数 的定义域可得： ，求解指数不等式 可得： ，据此可得： ， ， ， ，结合选项可知只有选项 B正确.本题选择 B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合的交并运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数
2、满足 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先求得复数 z，然后求解器共轭复数，随后确定共轭复数 所在的象限即可.详解：由题意可得： ，则 ，即 的共轭复数对应的点为 ，位于第一象限.本题选择 A选项.点睛：本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 平面直角坐标系 中， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，向量 ，以下说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先利用向量的坐标表示方法写出 的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是
3、否正确即可.详解：由题意可设 ，则： ，考查所给的选项：，选项 A错误；，故 ，选项 B错误；，故 ，即 ，选项 C正确；不存在实数 满足 ，则 不成立，选项 D错误 .本题选择 C选项.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知直线 、 ，平面 、 、 ，下列命题正确的是（ ）A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则【答案】A【解析】分析：由题意利用线面关系的判定定理和性质定理逐一考查所给命题是否正确即可，注意定理运用的准确性.详解：逐一考查所给的选项：A.若 ，
4、 ， ，则 ，该说法正确；B.若 ， ， ，在三棱锥 中，令平面 分别为平面 ，交线 为 ，不满足 ，该说法错误；C.若 ， ，有可能 ，不满足 ，该说法错误；D.若 ， ， ，正方体 中，取平面 为平面 ,直线 为 ，满足 ，不满足 ，该说法错误.本题选择 A选项.点睛：本题主要考查线面关系相关命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知直线 与 相交于 、 两点，且 ，则实数的值为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数 a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：圆的
5、方程整理为标准方程即： ，作 于点 ，由圆的性质可知 ABO为等腰三角形，其中 ，则 ，即圆心 到直线 的距离为 ，据此可得： ，即 ，解得： 或 .本题选择 D选项.点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知 的展开式中常数项为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先写出 展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数 a的方程，解方程即可求得最终结果.详解： 展开式的通项公式为： ，令 可得： ，结合题意可得： ，即 .本题选择 C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查
6、学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知函数 的部分图象如图所示，则 的值为（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】C【解析】分析：首先由函数的周期求得 的值，然后结合函数的对称中心求得 的值即可，注意合理应用题中所给的 的范围.详解：由题意可得函数的周期 ，则 ，当 时， ，则 ，令 可得： .本题选择 C选项.点睛：本题主要考查三角函数图像的性质，三角函数解析式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 在如图的程序框图中，输出的 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先确定该流程图的功能，然后结合选项考查所给的数值是否满足流程图的输出即可.详解：由
7、流程图可知该流程图输出大于 的最小正整数 ，且满足 ，观察选项： 不是 3的倍数，选项 C错误；， ， ，而 ， ，选项 AB错误；， ，则 53满足题意.本题选择 D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证9. 已知双曲线的焦距为 ， 、 是其左、右焦点，点 在双曲线右支上， 的周长为 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解 的取值范围即
8、可.详解：设 ，由双曲线的定义可得： ，由题意可得： ，联立可得： ，在双曲线中： ，则： ，即 的取值范围是 .本题选择 C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、| PF1|-|PF2|2a，得到 a， c的关系10. 如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为 ，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为 2的正方体截去两个角所得的组合体,其直
9、观图如下图所示:故组合体的体积 .本题选择 B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解11. 过抛物线 上两点 、 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段 的中点到抛物线准线的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先求得抛物线的斜率，然后结合直线垂直的充要条件得到横坐标的关系，最后利用均值不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.详解：抛物线的方程即： ，则 ，设 ，则过
10、A,B两点切线的斜率为： ，由题意可得： ，由题意可知抛物线的直线方程为 ，则线段 的中点到抛物线准线的距离为：，当且仅当 时等号成立.据此可得线段 的中点到抛物线准线的距离的最小值为 1.本题选择 B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误12. 把函数 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数 的图象关于直线对称；已知偶函数 满足 ，当 时， ；若函数有五个零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意
11、分别确定函数 f(x)的图象性质和函数 h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于 k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线 右移一个单位，得 ，所以 g(x)=2x， h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数 h(x)的周期为 2.当 x0,1时， ，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数 y=kf(x)与函数 y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知 kf（3）1，即：，求解不等式组可得： .即 的取值范围是 。本题选择 C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和
12、计算求解能力.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】分析：由题意首先求得切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解切线方程即可.详解：由函数的解析式可得： ，则切线的斜率： ，切线方程为： ，整理为一般式即： .点睛：本题主要考查利用导函数求解切线方程的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 题库中有 道题，考生从中随机抽取 道，至少做对 道算通过考试.某考生会做其中 道，有 道不会做，则此考生能通过考试的概率为_【答案】【解析】分析：由题意结合排列组合的知识求得所有事件的数量和满足题意的事件的
13、数量，然后利用古典概型计算公式求解概率值即可.详解：由题意可知，此考生从 道题中选择 道题，共有 种方法，其中能通过考试的方法有 种方法，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为 .点睛：本题主要考查排列组合相关知识，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 已知等差数列 中， ， 、 、 成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第 行，从左到右的第 个数值为_【答案】【解析】分析：应用首先求得数列的通项公式，然后确定第 10行第 11个数的下标，最后结合通项公式求解这个数即可.详解：设数列的首项为 ，公差为 ，由题意可得：，解得 d=3， a1=2，则数列的通项公
14、式 .第 10行第 11个数的下标为： .所求值为 .点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”.16. 平面四边形 中， ， ， ， ，则 的最小长度为_【答案】【解析】分析：由题意首先确定该几何体的结构特征，然后利用三角函数的知识和解三角形的方法求解 的最小长度即可.详解：如图所示，建立平面直角坐标系，其中 ，则点 为直线 与圆 的交点，作 ，则点 在射线 上，当 时， 取得最小值，在 ABD中，由正弦定理， ，解得 ，故 ， ，BC取得最小值时
15、： .综上可得： 的最小长度为 .点睛：本题主要考查数形结合解题，同角三角函数基本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项的和为 ，满足 ， .（）求数列 的通项公式；（）设 ，数列 的前 项和与积分别为 与 ，求 与 .【答案】() ；() ， 【解析】分析：（）由题意可得当 时，有 ，则当 时， 结合递推关系式可得 ，满足上式，则数列的通项公式为 .（）结合()的结果可得 ，由等差数列前 n项和公式和等比数列前 n项和公式可得 ， 详解：（） ， ，
16、两式相减，得 ，又 ，所以当 时， 是首项为 1，公比为 3的等比数列， ， 由 得 ，满足上式，所以通项公式为 .（） ，得 ，公比为 9， ， 点睛：本题主要考查等差数列的求和及其应用，等比数列的求和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 如图，在四面体 中， , .（）求证： ；（）若 与平面 所成的角为 ，点 是 的中点，求二面角 的大小.【答案】()证明见解析；() .【解析】分析：（）由勾股定理可得 ， 则 ， ，进一步可得， 则 .（）结合（）的结论和几何关系，以 B为原点，建立空间直角坐标系 ，则平面BDE的法向量为 ，且 是平面 CBD的一个法向量结合空
17、间向量计算可得二面角 的大小为 详解：（）由已知得 ， 又 ， ，又 ， ， .（）由（）知， AB与平面 BCD所成的角为 ，即 ，设 BD2，则 BC2，在 中， AB4，由（）中 ，得平面 ABC平面 ABD，在平面 ABD内，过点 B作 ，则平面 ABC，以 B为原点，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，由 ，得 ， ， ，设平面 BDE的法向量为 ，则 ，取 ，解得 ， 是平面 BDE的一个法向量， 又 是平面 CBD的一个法向量 设二面角 的大小为 ，易知 为锐角，则 ， ，即二面角 的大小为 点睛：本题主要考查空间中异面直线垂直的证明，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力
18、和计算求解能力.19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天 元；方式而：雨天每天 元，晴天出工每天 元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（ 天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（ 天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近 年此月的下雨天数（ ）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的 值为依据作出选择，丙以 的平均值为依据作出选择.8 9 10 11 12 13频数 3 1 2 0 2 1（）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（）根据统计范围的大小，你觉得三人
19、中谁的依据更有指导意义？（）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过 天的概率.【答案】()答案见解析；()答案见解析；() .【解析】分析：（）由题意计算可得甲选择计酬方式二；乙选择计酬方式一；丙选择计酬方式二；（）依据三人的统计和利用的数据可知丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义；（）任选一年，此月下雨不超过 11天的频率为 ，由题意结合概率公式计算可得此月下雨不超过 11天的概率为 . 详解：（）按计酬方式一、二的收入分别记为 、 ， 所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的 n=8， 所以乙选择计酬方式一； n的平均值为 ，所以丙选择计酬方式二；（）甲统计了
20、 1个月的情况，乙和丙统计了 9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义； （）任选一年，此月下雨不超过 11天的频率为 ，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过 11天的概率为 . 点睛：本题主要考查统计、概率知识的实际应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，圆 经过椭圆 的两个焦点和两个顶点，点 在椭圆 上，且 ， .（）求椭圆 的方程和点 的坐标；（）过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，过点 与 垂直的直线 与椭圆 相交于另一点，求 的面积的取值范围.【答案】()
21、椭圆 的方程为 ， 点 P的坐标为 .() .【解析】分析：（ I）由题意计算可得 ， ， 则椭圆 的方程为 ， 结合几何性质可得点 P的坐标为 . （ II）由题意可知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得 ； 结合几何关系和勾股定理可得 ， 则面积函数 ， 换元求解函数的值域可得 ABC的面积的取值范围是 详解：（ I）设 ， ，可知圆 经过椭圆焦点和上下顶点，得 ，由题意知 ，得 ， 由 ，得 ， 所以椭圆 的方程为 ， 点 P的坐标为 . （ II）由过点 P的直线 l2与椭圆 相交于两点，知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，由题意可知
22、，联立椭圆方程，得 ， 设 ，则 ，得 ，所以 ； 由直线 l1与 l2垂直，可设 l1的方程为 ，即圆心 到 l1的距离 ，又圆的半径 ，所以 ， 由 即 ，得 ， 设 ，则 ， ，当且仅当 即 时，取 “” ，所以 ABC的面积的取值范围是 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数 ，（）若 ，且 是函数的一个极值，求函数 的最小值；（）若 ，求证： ， .【答案】
23、() ；()证明见解析.【解析】分析：（ I）由函数的解析式可得 结合 ，可得， 利用导函数研究函数的单调性可得 在 上单调递减， 在 上单调递增，函数 的最小值为 （ II ）若 ，则 ， ，由 在 上单调递增，分类讨论：当 在 上单调递增时， ；当 在 上单调递减时， ； 当 在 上先减后增时， ， ， ，综上得： ， 详解：（ I） ，定义域为 ，由题意知 ，即 ，解得 ， 所以 ， ，又 、 、 （ ）在 上单调递增，可知 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ；当 时， 得 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以函数 的最小值为 （ II ）若 ，得 ，由 在 上单调递增，可知 在 上
24、的单调性有如下三种情形：当 在 上单调递增时，可知 ，即 ，即 ，解得 ，令 ，则 ，所以 单调递增， ，所以 ；当 在 上单调递减时，可知 ，即 ，即 ，解得 ，得 ，所以 ； 或：令 ，则 ，所以 单调递减， ，所以 ；当 在 上先减后增时，得 在 上先负后正，所以 ， ，即 ，取对数得 ，可知 ，所以 ；综上得： ， 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微
25、积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，圆 的圆心为 ，半径为 ，现以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（）求圆 的极坐标方程；（）设 ， 是圆 上两个动点，满足 ，求 的最小值.【答案】() ；() .【解析】分析：（ I）首先写出圆的直角坐标方程，然后化为极坐标方程可得其方程为；（ II）设 ， 则 ， 由题意可得 ，结合三角函数的性质可知 的最小值为 详解：（
26、 I）圆 的直角坐标方程为 ，即 ，化为极坐标方程为 ，整理可得： ；（ II）设 ， ， 由 ，得 ， ，故 ，即 的最小值为 点睛：本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数 ， ，（）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（）求不等式 的解集.【答案】() ；() 时，不等式无解；当 时，不等式的解集为【解析】分析：（ I）由绝对值三角不等式的性质可得 ，据此求解不等式可得实数的取值范围是 ； （ II）不等式即 ，分类讨论可得 时，不等式无解；当 时，不等式的解集为 详解：（ I） ，由题意知 ，得 ，解得 ； （ II）不等式为 ，即 ，若 ，显然不等式无解；若 ，则 当 时，不等式为 ，解得 ，所以 ； 当 时，不等式为 ，恒成立，所以 ；当 时，不等式为 ，解得 ，所以 ；综上所述，当 时，不等式的解集为空集，当 时，解集为 点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
