1、2017-2018 学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ，选 A.2. 若复数 在复平面内对应的点关于 轴对称，且 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 实轴上 D. 虚轴上【答案】D【解析】由题意可得 ， ，所以 ，对应点坐标(0,-1),选 D.3. 角 的终边与单位圆交于点 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题
2、意得 ， ， ，选 D.4. 在 中，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 = ，解得 ，选 C.5. 已知 为等差数列， ，则 的前 9 项和 （ ）A. 9 B. 17 C. 72 D. 81【答案】D【解析】由题意得 ，而 ，选 D.6. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. 2 B. 7 C. 9 D. 13【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为 y=-4x+z,即求截距的最大值，过点C(2,-1)时，取到最大值 7.选 B.7. 命题“ ”是命题“直线 与直线 平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
3、 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】当两直线平行时， ，当 m=2 时，两直线均为 x+y=0，不符。当 m=-2 时，两直线分别为 x-y-4=0,x-y-2=0 不重合，符合。所以 m=-2 是两直线平行的充要条件，选 C.8. 函数 的部分图象如图所示，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】同图像可知 ，所以 ， 又，所以 ， ，所以 ，选 C.【点睛】1.根据 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 ；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 ；(3) 的确定：结合图象，先求出周期
4、 ，然后由 ( )来确定 ；(4) 求 ，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 已知)或代入图像与直线 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，由函数 最开始与 轴的交点的横坐标为 (即令， )确定 .将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点” （即图象上升时与 轴的交点）为 ，其他依次类推即可.9. 已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交于 两点，则当 面积最大时，直线的斜率 （ ）A. 1 B. 6 C. 1 或 7 D. 2 或 6【答案】C【解析】圆可化标准方程： 直线可变形为 ，即圆心为（1，0） ，半
5、径 r=1,直线过定点（2，2） ，由面积公式 所以当 时，即点到直线距离为 时取最大值。 ，解得 k=1 或 7,选 C.【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键，选择 ，使运算更简单，也更好理解。10. 己知曲线 上存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知 ，即有两个解，且 均大于零。即 ，解得 ,选 A.【点睛】转化为 有两个正数解，用韦达和判别式或根的分布求得范围。11. 已知函数 是奇函数且当 时是减函数，若 ，则函数的零点共有 （ ）A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个【
6、答案】D【解析】由题意得，f(x)=0 有三个零点,-1,1,0,而 有两个解-1,和 1. 有四个解， 无解。所以共 6 个解，选 D.【点睛】复合函数零点问题，一般把内函数当整体，再由外到内或由内到外解决。12. 设 分别为双曲线 的左、右顶点， 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则 取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ， ，点 P 在双曲线上，得 ，所以，即设函数 ， ,所以 f(x)在区间 单调递减，在区间单调递增。 ，即 ,又均值不等式等号成立条件当且仅当 ，所以 .选 C.【点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点 ，
7、另一动点 ，则（2）椭圆上任意关于原点对称的两点 ，另一动点 ，则二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _【答案】63【解析】因为等比数列 ，所以 也成等比数列，即 ，填63.14. 抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为_【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离 PF 等于这点到准线的距离 d,即 FP=d.所以周长，填 13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。如本题就利用抛物线的定义进行距离转化。抛物线上的点到焦点的距离 PF 等于这点到准线的
8、距离 d,即 FP=d，同时折线段和大于或等于垂线段距离，即点 A 到准线的距离。15. 已知平面向量 满足： ， ， ， ，则 与的夹角正弦值为 _【答案】【解析】由题意得 ，即求 ，如下图，所以， ，填 。16. 已知 是定义在 上的偶函数，令 ，若实数 满足是 ，则_【答案】2018【解析】由题意可知 ,因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以= =2018，填 2018.【点睛】偶函数定义域关于原点对称，且满足 f(x)=f(-x), 奇函数定义域关于原点对称，且满足 f(x)=-f(-x)。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列 的前 项和为 ,且 对一
9、切正整数 恒成立.（1）求当 为何值时,数列 是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列 的前 项和为 ，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）再写一个式子，利用 可求得 。 （2）由（1）可得 ，所以 ，用裂项求和求和 。试题解析：（1）由 得：当 时， ，两式相减得： ， 因为数列 是等比数列，所以 ，又因为 ，所以解得： ,得： （2） 【点睛】对于递推式中有 等时，我们常用公式， 统一成 或统一成 做。18. 已知 三个内角 的对边分别为 ， 的面积 满足 （1）求角 的值；（2）求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由余
10、弦定理 和面积公式 代入可求角C.(2)由（1）得 ，所以 ，消去角 B，变成关于角 A 的三角函数，注意 ，可求的范围。试题解析：（1），又 ， .（2）【点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解19. 如图，四面体
11、中， 是 的中点， 和 均为等边三角形， ，（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证 平面 ，只需证 ，所以连 OC,由勾股定理可证。 （2）以 O 为原点，OB，OC，OA 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量求出线面角。试题解析：（1）证明：连结 为等边三角形， 为 的中点， 和 为等边三角形， 为 的中点， ， 在 中， , ，即 ， 平面 （2）以 O 为原点，OB，OC，OA 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则， ， ，设平面 ACD 法向量为由 ，可得 ，令 ，可得又直线 与平面 所成角的
12、正弦值为【点睛】直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .20. 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75）频数 5 10 15 10 5 5手机支付 4 6 10 6 2 0(1)若从年龄在 55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行调查，记选中的
13、2 人中使用手机支付的人数为 ，求 的分布列及数学期望；(2)把年龄在15，45）称为中青年，年龄在45，75）称为中老年，请根据上表完 22 列联表，是否有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？手机支付 未使用手机支付 总计中青年中老年总计可能用到的公式：独立性检验临界值表：【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）超几何分布列（2）根据上表填 22 列联表，根据公式算出卡方与数据 进行比较。试题解析：（1）年龄在 55，65）的被调查者共 5 人，其中使用手机支付的有 2 人，则抽取的 2 人中使用手机支付的人数 X 可能取值为 0,1,2； ；所以
14、 X 的分布列为X 0 1 2P（2）22 列联表如图所示手机支付 未使用手机支付 总计中青年 20 10 30中老年 8 12 20总计 28 22 50没有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联21. 已知椭圆 的离心率为 ，且短轴长为 2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知 分别为椭圆的左右顶点， , ，且 ,直线 与 分别与椭圆交于 两点，（i）用 表示点 的纵坐标；（ii）若 面积是 面积的 5 倍，求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由 b=2, ,可求得标准方程。 （2）设直线方程与椭圆方程组方程组，可解得交点坐标 E,F。三角形面积公式
15、用 ，面积比转化为线段比，再转化为 y 坐标的比。试题解析：（1）由题意知 ，解得 ， 椭圆的标准方程为： . （2） （i） ， ， ，且 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由 得 ，点 E 的纵坐标 ，由 得 ，（ii） ， ， ， ， ， ，即 ，解得【点睛】本题第（2）问中选择好合适的面积公式将简化运算，因为两个三角形是对角的，面积比转化为线段比，进一步转化为 y 坐标的比，即是我们常讲的“化斜为直” 。这也是处理线段比的常用方法。22. 已知函数 （1）求 在 上的最小值；（2）若 ，当 有两个极值点 时，总有 ，求此时实数的值【答案】 （1）
16、 ；（2）【解析】试题分析：（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零。 （2）由 ，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去 ，再分离参数t，可解。试题解析：（） , 在 单调递增，又 ， 在 单调递减， 在 单调递增（） 根据题意，方程 有两个不同的实根 ，所以 ，且 ， ， 由可得 ，又 所以上式化为 对任意的 恒成立（I）当 时，不等式 恒成立， ；（II）当 时， 恒成立，即 令函数 ，显然， 是 上的减函数，所以当 时， ，所以 （III）当 时， 恒成立，即 由（II） ，当 时， ，所以 综上所述【点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数。
