1、朝阳市普通高中 2018 年高三第一次模拟考试数学（供文科考生使用）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ， ，则集合 不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ,所以 , ; ; ; ,因此选 C.2. 设复数满足 （是虚数单位） ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ,所以 , , 选 A.3. 按照程序框图（如图所示）执行，第 个输出的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一次输出的 A=1，则 S=1+1=2，满
2、足条件 S5，然后 A=1+2=3第二次输出的 A=3，则 S=2+1=3，满足条件 S5，然后 A=3+2=5第三次输出的 A=5，故选 C4. 命题“ ， ”的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. 不存在 ，【答案】B【解析】根据命题的否定知， ， 的否定为 ， ，故选 B.5. 已知数列 的通项公式 ，若使此数列的前 项和 最大，则 的值为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】由 得 ，所以 的值为 或 时，数列的前 项和 最大，选 C.6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的 倍，最终所得图象对应的函数的最小正
3、周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 的图象向右平移 个单位长度后得, 再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的 倍得 ,因此最小正周期为 选 B.7. 九章算术是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 丈，长 丈，上棱长 丈，高 丈，问：它的体积是多少？”已知 丈为 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（ ）A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，
4、作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱，则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺故选 A【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键8. 设中心在原点、焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，圆 与该双曲线的渐近线相切，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离是 ，则点 到 的距离是（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D【解析】圆 恰为双曲线右焦点，因为双曲线右焦点到渐近线距离为 b，所以，因此 ，又因为选 A.9. 在平面直角坐标系
5、中，设 ， ，向 中随机投一点，则所投点在 中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B.10. 方程 在 内根的个数为（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】D【解析】由原方程的得： ,同一坐标系作出函数图像如图由图象可知，共有 8 个交点，故选 D.点睛：涉及函数零点或者方程根的个数问题，可转化为两个函数图象交点的个数问题，一般要在同一坐标系内作出两个函数图象，即可观察出交点个数，从而解决问题.11. 一个含有 项的等比数列，其中每一项都是小于 的正整数，这 项的和为 ，如果 是数列中奇数项之和，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】易得 满足题意，所以
6、 等于 1+9+81=91，选 B.12. 在 中， 为 的重心，过 点的直线分别交 ， 于 ， 两点，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设变量 、 满足约束条件 ，则 最大值是_【答案】10【解析】作可行域,则直线 过点 A(3,4)时取最大值 10.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上
7、取得.14. 抛物线 ： （ ）的准线与 轴的交点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，则 _【答案】【解析】由题意得 ,设过点 切线方程为 ,代入 得,即 ,因此15. 矩形 中， ， ， 平面 ， ， ， 分别是 ， 的中点，则四棱锥 的外接球表面积为_【答案】【解析】设四棱锥 的外接球半径为 R,则 ,因此外接球表面积为 16. 若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为_【答案】【解析】由曲线的解析式可得： ，令 可得： (舍去负根)，且当 时， ，则原问题转化为求解点 与直线 的距离，即： ，综上可得：点 到直线 的最小距离是 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共
8、 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，已知 ， .（1）求 的值；（2）若 ， 为 的中点，求 的长.【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：解：（） 且 ， - 2 分3 分- 6 分（）由（）可得 8 分由正弦定理得 ，即 ，得 10 分在 中， ， ，所以 12 分考点：解三角形点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。18. 在如图所示的几何体 中，平面 平面 ，四边形 和四边形都是正方形，且边长为 ， 是 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）利用中位
9、线性质可得 即可证明线面平行；（2）根据直线平面 可知， ， 到平面 等距离，利用三棱锥的等体积法即可求出 到平面的距离即可.试题解析：（1）四边形 和四边形 都是正方形 且四边形 是平行四边形连结 交 于 ，连结 ，则 是 中点. 是 的中点， 是边 的中位线， ，注意到 在平面 外， 在平面 内，直线 平面（2）由（1）知直线 平面 ，故 ， 到平面 等距离下面求 到平面 的距离，设这个距离是由平面 平面 ， ，知 平面 ，考虑三棱锥 的体积：因正方形边长为 ，所以在 中求得 ；在 中求得 ，在 中求得于是可得 的面积为 ，由 得， ，解得故点 到平面 的距离为19. 为了调查学生数学学习
10、的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为 ）中，采用分层抽样的方法抽取 名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这 名同学的数据，按照以下区间分为八组： ， ， ， ， ， ，得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于 分的人数为 人.（1）求 的值及频率分布直方图中第组矩形条的高度；（2）如果把“学生数学成绩不低于 分”作为是否达标的标准，对抽取的 名学生，完成下列 列联表：据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取 人，记这 人中成绩不低于 分的学生人数为 ，求 的分布列、数学期望和方差
11、附 1：“ 列联表 ”的卡方统计量公式：附 2：卡方（ ）统计量的概率分布表：【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） . 【解析】试题分析：（1）根据小长方形面积等于对应区间概率以及频率等于频数除以总数列等式解得 ，根据高度等于频率除以组距计算.（2）根据分层抽样确定男女生人数，列列联表，根据卡方公式计算 ，再对照参考数据确定把握性， （3）可视为独立重复试验，先计算频率代替概率，再利用二项分布求分布列及数学期望、方差.试题解析：（1） “成绩少于 分”的频率的高度 （2）按照“男生”和“女生”分层抽样在容量为 的样本中， “男生”人数 ， “女生”人数“达标”即“成绩不低于 分”的频数
12、据此可填表如下：据表可得卡方统计量 故有不足 的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关可以认为它们之间没有关联（3） “成绩不低于 分”的频率因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意 人的概率都可认为是从而则 ，故 的分布列为：数学期望方差20. 已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， 且 关于直线 的对称点 在直线 上.（1）求椭圆的离心率；（2）若 的长轴长为 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点，问是否存在定点 ，使得 ，的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ;（2）满足条件的定点 是存在的，坐标为 及【解析】试题
13、分析：（1）依题知 ,根据对称求出点 M,根据点在直线上，可得离心率；（2）由（1）可得椭圆方程为 ，设设直线方程为 ，联立方程，根据根与系数的关系可得 ， ，设 ，可得 ，化简整理即可.试题解析：（1）依题知 ，设 ，则 且 ，解得 ，即 在直线 上， ， ，（2）由（1）及题设得： 且 ， ， ，椭圆方程为设直线方程为 ，代入椭圆方程消去 整理得 .依题 ，即设 ， ，则 ，如果存在 使得 为定值，那么 的取值将与无关，令则 为关于 的恒等式 ，解得 或综上可知，满足条件的定点 是存在的，坐标为 及点睛：涉及定点问题时，一般可设存在，将得到的式子化简，如果化简后与所设参数无关，则说明存在定
14、点定值问题，否则不存在，化简时一般要注意整体化处理.21. 已知函数 （常数 ）.（1）讨论 的单调性；（2）设 是 的导函数，求证： .【答案】 （1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据两零点大小分类讨论，确定导函数符号变化规律，进而确定单调性， （2）先化简所证不等式，再利用导函数证 （） ，即得 （ ） ，最后再利用导数证 （差函数或商函数） ，根据等号不同时成立得结论. 试题解析：（1） （ ， ）画出 （ ）及 （ ）的图象，它们的零点分别为和当 时， 在 ， ，当 时， 在当 时， 在 ， ，（2）因要证 ，需证 （ ）法 1.即证 （ ）
15、设 （ ） ， （ ）一方面 （ ） 在 ，则 另一方面， （ ） 在 ，则 据有因的取等条件是 ，的取等条件是故 ，即 （ ） ，即法 2 先证 （ ） （差函数）进而 （ ）再证 （差函数或商函数）说明等号不成立故 （ ）成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系
16、 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ，直线的参数方程为 为参数，直线和圆 交于 ， 两点.（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设上一定点 ，求 的值.【答案】 （1） ;（2）1.【解析】试题分析：（1）根据 将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先化简直线的参数方程，则 ，再代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理求得 .试题解析：（1）（2）直线的参数方程可化为 为参数代入 ，得化简得： 23. 已知函数 ，且 的解集为（1）求 的值；（2）若 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系列方程组，解得 的值；（2）先根据绝对值三角不等式求 最大值，再解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）不等式 的解集为又 的解集为 ， （2） ，使得 成立 ，使得 ，令 ， .
