1、辽宁省朝阳市普通高中 2018 届高三第一次模拟考试数学试题（文）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ， ，则集合 不可能是（ ）|0AyABA B C|x， 1|()2Rxy， |lg0yx，D 2.设复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 等于（ ）z(1i)3iz|zA B C D221223.按照程序框图（如图所示）执行，第 个输出的数是（ ）3A B C D34564.命题“ ， ”的否定是（ ）0xR3210xA. ， B. ，R3210xC. ， D.不存在 ，0x3210x xR3210x
2、5.已知数列 的通项公式 ，若使此数列的前 项和 最大，则 的值na26nannS为（ ）A B C. 或 D121313146.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐3sin(2)yx3标不变，横坐标压缩到原来的 倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（ ）1A B C. D625627.九章算术是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 丈，长 丈，上棱长 丈，高 丈，问：它的体积是342多少？”已知 丈为 尺，该锲体的三视图如图所示，在该
3、锲体的体积为（ ）10A 立方尺 B 立方尺1010C. 立方尺 D 立方尺238.设中心在原点、焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，圆 与该双曲线x122(6)0xy的渐近线相切，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离是 ，则点 到 的距离PPF9P2F是（ ）A 或 B 或 C. D1713513179.在平面直角坐标系 中，设 ， ，向xOy()|2Dxyy内 2()|1Exy内中随机投一点，则所投点在 中的概率是（ ）DEA. B. C. D.416821610.方程 在 内根的个数为（ ）2sinx4内A. 个 B. 个 C. 个 D. 个675811.一个含有 项的等比数列，其中每一项都
4、是小于 的正整数，这 项的和为 ，510512如果 是数列中奇数项之和，则 等于（ ）SSA B C. D90918212.在 中， 为 的重心，过 点的直线分别交 ， 于 ， 两点，且C GAC GABCPQ， ，则 （ ）PhQkhkA B C. D3456二、填空题：每题 5 分，满分 20 分.13.设变量 、 满足约束条件 ，则 最大值是xy21xy2zxy14.抛物线 ： （ ）的准线与 轴的交点为 ，过点 作 的两条切线，切C2px0MC点分别为 ， ，则 PQM15.矩形 中， ， ， 平面 ， ， ， 分别是 ，ABD42BCPABCD2PAEFAB的中点，则四棱锥 的外接球
5、表面积为CEF16.若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为P2lnyxyx三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，已知 ， .ABC 454cos5B（1）求 的值；（2）若 ， 为 的中点，求 的长.cos10CDACD18. 在如图所示的几何体 中，平面 平面 ，四边形 和四边形ABCDEFABCDEFABCD都是正方形，且边长为 ， 是 的中点.ABEF2Q（1）求证：直线 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.AE FQCEFQC19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之
6、比为 ）中，采用分层抽样的方法抽取 名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数9:1n学的分数取得了这 名同学的数据，按照以下区间分为八组：n ， ， ， ， ， ，3045)内60)内75)内90)内105)内120)内，12135得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于 分的人数为 人.605（1）求 的值及频率分布直方图中第组矩形条的高度；n（2）如果把“学生数学成绩不低于 分”作为是否达标的标准，对抽取的 名学生，完90 n成下列 列联表：据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取 人，记这 人中成绩不低于 分的学
7、生人数3120为 ，求 的分布列、数学期望和方差X附 1：“ 列联表 ”的卡方统计量公式：2abcd 22()()abcdabcK附 2：卡方（ ）统计量的概率分布表：2K2()0.5.10.384682Pk 20. 已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， 且 关于直线C21xyab0a1F2的对称点 在直线 上.0xyM32xy（1）求椭圆的离心率；（2）若 的长轴长为 且斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点，问是否存在定点 ，使C412lABP得 ， 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明PAB P理由.21. 已知函数 （常数 ）.2211()ln4fxax
8、ax0（1）讨论 的单调性；f（2）设 是 的导函数，求证： .()fxf 3()elnxfa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极xOyx C坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数，直线 和圆 交于2sin()4l1tyl， 两点.AB（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设 上一定点 ，求 的值.Cl(0)M内AB23.已知函数 ，且 的解集为()3fxm()0fx(24)内（1）求 的值；（2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.Rftxt【参考答案】一、选择题1-5: A
9、CCBC 6-10:BADB D 11-12：BA二、填空题13. 14. 15. 16.10242三、解答题17.解：（1） ，且 ， cos5B(018)， 23sin1cos5Bcos(80)cs3CA 2435sin15 210（2）由（1）可得 227icos()B由正弦定理得 ，即 ，解得 .siniBCA102A14B在 中， ， ，所以 D 72703537CD18.证明：（1）四边形 和四边形 都是正方形ABCDABEF 且EFAB EF四边形 是平行四边形C连结 交 于 ，连结 ，则 是 中点.DPQPE 是 的中点， 是边 的中位线， ，QADPQAEPQAE注意到 在平
10、面 外， 在平面 内，直线 平面EFCFC FQC（2）由（1）知直线 平面 ，故 ， 到平面 等距离下面求 到平面 的距离，设这个距离是AQx由平面 平面 ， ，知 平面 ，BCDEFABFABCD考虑三棱锥 的体积：QCV因正方形边长为 ，所以211233FAAS在 中求得 ；在 中求得 ，在 中求得RtDQC 5Rt 5FRtFAC23F于是可得 的面积为 ，由 得， ，解得 6FAQCFV2163x63故点 到平面 的距离为EQC319. 解：（1） “成绩少于 分”的频率6051()510037nn的高度 759)内内1( )63/251 （2）按照“男生”和“女生”分层抽样在容量为
11、 的样本中， “男生”人数 ， “女生”人数10904511059“达标”即“成绩不低于 分”的频数901()7630据此可填表如下：达 标 未 达 标 合 计男 生 30 15 45女 生 45 10 55合 计 75 25 100据表可得卡方统计量22(31045)1073K.3.841故有不足 的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关9%可以认为它们之间没有关联（3）第组的频数 ；第组的频数1501150437记第组的学生为 ，第组的学生分别为 ， ， ，xabcd基本事件空间 abcxdcxacbd内设事件 Acd内故 ()42()105rPa20. 解：（1）依题知 ，设 ，
12、则 且 ，2()Fc内0()Mxy内01xc002xcya解得 ，即0xayc()a内 在直线 上， ， ，M320y32()0ac2c12ea（2）由 及 得 ， ，椭圆方程为4a1cab43xy设直线 方程为 ，代入椭圆方程消去 整理得 .l2yxty220t依题 ，即04t设 ， ，则 ，1()Axy内2()Bxy内12xt213xt如果存在 使得 为定值，那么 的取值将与 无关PmnPABkPABkt，令12PABykx223()3nmtn22()3mtnM则 为关于 的恒等式23() 0MttM(4)t ，解得 或023nm12n3综上可知，满足条件的定点 是存在的，坐标为 及P3(
13、1)2内()内21. 解：（1） （ ， ）()lnfxax0a画出 （ ）及 （ ）的图象，它们的零点分别为 和ya0ly a1当 时， 在 ， ，01()fx)a内(1)内()内当 时， 在af当 时， 在 ， ，1()fx01)内()a内()内（2）因 lnllnfax要证 ，需证 （ ）3()4elxf3l4ex0法 1.即证 （ ）2ln0设 （ ） ， （ ）l()xF32e()xG0一方面 （ ） 在 ，21ln 0()Fe)内()内则 ()ex另一方面， （ ） 在 ，34()e)xG 0()Gx02)内()内则 1()2x据 ()Fx有因的取等条件是 ，的取等条件是e2x故
14、，即 （ ） ，即()xG32ln4x03()4elnxfa法 2 先证 （ ） （差函数）1le进而 （ ）2lnx 0x再证 （差函数或商函数）2314e说明等号不成立故 （ ）成立.3lnex022.解：（1） 22sin()(sincos)42sincos 2sin2cos xyx 22(1)()（2）直线 的参数方程可化为 为参数l21xty代入 ，得22(1)()xy22()()tt化简得： 0tt12t 12MAB23.解：（1）不等式 的解集为3xm(3)m内又 的解集为()0fx(24)内 ， 34m21（2） ，使得 成立xR()fxt ，使得 ，132tRx123xt令1() 2gxxx ，R13t . max3()tg2t
