1、 雅安市高中 2015 级第三次诊断性考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数 满足 ，则 的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为复数 满足 ，所以 z=1-3+4i=-2+4i，所以根据复数实部和虚部的概念得 z 的虚部为 4.故选 B.2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得 =x|-2x0，所以 x|-2x0= ，故选 D.3. 若双曲线 与椭圆 有公共焦点，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
2、由题得双曲线的焦点为（2,0）和（-2,0） ，椭圆的焦点为 由于双曲线和椭圆的焦点相同，所以 故选 C.4. 将函数 图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：将函数 图象向左平移 个单位得到，令 ，当 时得对称轴为考点：三角函数性质5. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得 =（2，-1）+m(1,3)=(2,-1)+(m,3m)=(m+2,3m-1),因为 ，所以 =2（m+2）+（-1）（3m-1）=2m+4-3m+1=5-m=0，所以 m=5.故选 B.6. 如图，网格纸
3、上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形） 、侧视图、俯视图.则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知几何体的原图是如图所示的四棱锥 P-ABCD.所以几何体的体积为 故选 C.7. 已知实数 ， 满足条件 ，若目标函数 取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=mxy 为 y=mxz，目标函数 z=mxy（m0）取得最大值时的最优解有无穷多个，m= 故选 A8. 偶函数 在 单调递增，若 ，则 的 的取值范围是（ ）A. B. C.
4、D. 【答案】C【解析】因为函数 f(x)是偶函数， ，所以 f(2)=1.因为 ，所以-2x-22，解之得 0x4. 故选 C.9. 执行如图的程序框图，如果输入 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】输入 p=8，给循环变量 n 赋值 1，累加变量 S 赋值 0判断 18 成立，执行 S=0+= ，n=1+1=2；判断 28 成立，执行 S= ，n=2+1=3；判断 38 成立，执行 S= ，n=3+1=4；判断 48 成立，执行 S= ，n=4+1=5；判断 58 成立，执行 S= ，n=5+1=6；判断 68 成立，执行 S= ，n=6+1=7 ；判断 78 成立
5、，执行 S= = ，n=7+1=8；判断 88 不成立，输出 S= 故选 C10. 若曲线 与曲线 在它们的公共点 处具有公共切线，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】曲线 的导数为： y= ，在 P（s，t）处的斜率为： k= 曲线 y=alnx 的导数为：y= ，在 P（s，t）处的斜率为：k= 曲线 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P（s，t）处具有公共切线，可得 ，并且 t= ，t=alns，即 可得 a=故选 A点睛：本题的关键是找到关于 a 的方程，方程主要是从“在它们的公共点 处具有公共切线”转化引申出来的.说明切线的斜率相等，且这个切点在两个函数的图像
6、上，即切点的导数相等，且切点的坐标满足两个函数的解析式.11. 设 ， 是椭圆 的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点 ，使（其中 为坐标原点） ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设点 M 为 PF2的中点，由 O,M 分别是 的中点可得： ， ，则 ，则 ，由勾股定理有： ，即： ，由椭圆的定义： ，则椭圆的离心率： 本题选择 A 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a，
7、c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12. ， 表示不大于 的最大整数，如 ， ，且 ， ， ，定义： .若 ，则 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ， 得函数 f(x)的周期为 T=2.函数 f(x)的图像为如图所示的折线部分，集合 对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是 .由题得事件 对应的区域为图中的阴影部分，所以由几何概型的公式得 故选 D.点睛：本题的难点在于作集合 D 对应的平面区域，因为其中有个t.对于这种定义题，不好理解的，大家可以通过列举给 t 取值，
8、找到它对应的区域，促进自己理解题意.这一点突破了，后面就迎刃而解了.二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的最小值是_【答案】 .【解析】因为 ，所以 ，由于 xR，所以函数 f(x)的最小值为 . 故填 .14. 观察下列式子： ， ， ，根据以上式子可以猜想： _【答案】 .【解析】由题得不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是 2018，分子组成了一个以 3 为首项，2 为公差的等差数列，所以故填 .15. 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为_【答案】 .【解析】设球的半径
9、为 r，所以球的体积为 设圆锥的高为 h，因为圆锥与球的体积相等， h=r，圆锥的母线为： ，球的表面积为 4r 2，圆锥的侧面积为圆锥侧面积与球面面积之比为 .故填 .16. 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足，若 ，则 的取值范围是_【答案】 .【解析】（ab） （sinA+sinB）=（cb）sinC，由正弦定理可得：（ab） （a+b）=（cb）c，化为 b2+c2a 2=bc由余弦定理可得：cosA=A 为锐角，可得a= ，由正弦定理可得可得 b2+c2=（2sinB） 2+2sin（ B） 2=3+2sin2B+ sin2B=4+2sin（2B ） ，B（ ，
10、 ） ，可得：2B （ ， ） ，sin（2B ）（ ，1，可得：b 2+c2=4+2sin（2B ）（5，6点睛：本题解题的关键是函数思想的运用. 求 的取值范围，一般是先得到 的函数表达式 b2+c2=4+2sin（2B ） ，再利用函数的定义域和三角函数的图像和性质求出函数的值域即得 的取值范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为零的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， ；数列 满足， .（1）求数列 ， 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 .【
11、答案】(I) .（II） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，先直接利用已知求出 ,得到数列 的通项公式 再利用累加法求出数列 的通项公式.(2)第（2）问，利用裂项相消求数列 的前 项和 .试题解析：(I)设数列 的公差为 d 则: , 又 ,.当 时，又 满足上式 .（II）.18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 为 的中点，底面 为直角梯形， ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求四棱锥 的体积.【答案】(1)见解析.（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，设 中点分别是 ，连接 先证明 ，再证明 平面 .(2)第（2）问，先找到 与平面 所成角
12、 ，再转化 与平面 所成角的正弦值为 ，再利用公式法求四棱锥 的体积.试题解析：证明：(I)设 中点分别是 ，连接 则 ， 为平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 .（II） ,又正方形 ABED 中 BD= ，.又 S 梯形 ABCD= ，.19. 某校初一年级全年级共有 名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁） ，统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为 万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级 人中抽出 人来作进一步调查.（1）在阅读量为 万到 万
13、字的同学中有 人的成绩优秀，在阅量为 万到 万字的同学中有人成绩不优秀，请完成下面的 列联表，并判断在“犯错误概率不超过 ”的前提下，能否认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系” ；阅读量为 万到 万人数阅读量为 万到 万人数合计成绩优秀的人数成绩不优秀的人数合计（2）在抽出的同学中，1）求抽到被污染部分的同学人数；2）从阅读量在 万到 万字及 万到 万字的同学中选出 人写出阅读的心得体会.求这 人中恰有 人来自阅读量是 万到 万的概率.参考公式： ，其中 .参考数据：【答案】 （1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系”.（2） .【解
14、析】试题分析：（1）第（1）问，先计算出阅读量在 3 万到 5 万的人数为 50， 9 万到11 万的人数为 125, 11 万到 13 万的人数为 75，再填表，最后求出随机变量 的值，作出判断.(2)第（2）问，先利用频数公式计算出抽到被污染部分的同学人数，再利用古典概型计算出这 人中恰有 人来自阅读量是 万到 万的概率.试题解析：(I)阅读量在 3 万到 5 万的小矩形的面积为 0.1，阅读量在 9 万到 11 万的小矩形的面积为0.25,阅读量在 11 万到 13 万的小矩形的面积为 0.15. 阅读量在 3 万到 5 万的人数为 50， 9 万到 11 万的人数为 125, 11 万
15、到 13 万的人数为 75. 则阅读量为 3 万到 5 万人数 阅读量为 11 万到 13 万人数 合计成绩优秀的人数 20 50 70成绩不优秀的人数 30 25 55合计 50 75 125. 能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系” .(II) (1）由(I)知阅读量在 5 万到 9 万的小矩形的面积为 1-（01+0.25+0.15）=0.5 则被污损部分的同学人数为 10 人，(2）按分层抽样的方法，抽得阅读量在 3 万到 5 万的人数为 2 人，阅读量在 11 万字到 13 万字的为 3 人，设阅读量在 3 万字到 5 万字的 2 个同学为
16、 ，阅读量为 11 万字到 13 万字的 3 个同学为则从这 8 个同学中选出 2 个同学的情况有： ，共 10 种情况， 2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的有： ，共 6 种情况， 这 2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的概率为 .20. 已知抛物线 的方程为 ，点 在抛物线 上.（1）求抛物线 的方程；（2）过点 作直线交抛物线 于不同于 的两点 ， .若直线 ， 分别交直线 ：于 ， 两点，求线段 最小时直线 的方程.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）根据点 在抛物线上，即可得到关于 的方程，求得 的值即可求解；（2）将直线
17、的方程设为 ，联立抛物线方程消去 后可将 转化为关于 的函数，从而将问题等价转化为求函数最值即可求解试题解析：（1）点 在抛物线 上， ，即抛物线 的方程为 ；（2）设 ， ，直线 的方程为 ，由 消去 ，整理得， ， ，设直线 的方程为 ，由 解得点 的横坐标 ，又 ， ，同理点 的横坐标 ， ，令 ，则 ， ，当 时， ，当 时， ，即当 ， 时 的最小值为 ，此时直线 的方程为 考点：1直线与抛物线的位置关系；2求函数最值【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立
18、等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 设函数 （其中）.（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时，讨论函数 的零点个数.【答案】 （1） 在 和 上单调递增，在 上单调递减.（2）1 个.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，对 k 分类讨论求出函数 的单调区间.(2)第（2）问，对 k 分类讨论，讨论每一种情况下函数的零点个数，最后综合得到函数 的零点个数情况.试题解析：(I)函数 的定义域为 ， ， 时，令 ，解得 ，所以 的单调递减区间是 ，单调
19、递增区间是 ， 当 时，令 ，解得 或 ， 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， （II） ，当 时， ，又 在 上单调递增，所以函数 在上只有一个零点，在区间 中，因为 ，取 ，于是 ，又 在 上单调递减，故 在 上也只有一个零点， 所以，函数 在定义域 上有两个零点；当 时， 在单调递增区间 内，只有 而在区间 内 ，即 在此区间内无零点所以，函数 在定义域 上只有唯一的零点.点睛：本题的两问都用到了分类讨论的思想.分类讨论思想是高中数学里的一个重要思想，要从分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结果四个方面研究.大家要理解掌握并灵活运用.请考生在 22、23 题中任选一题作答，
20、如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数方程为： （ 为参数）.（1）求圆 和直线 的极坐标方程；（2）点 的极坐标为 ，直线 与圆 相交于 ， ，求 的值.【答案】 （1） ， .（2） .【解析】试题分析：（1）先根据圆心与半径写出圆标准方程，根据加减消元法得直线 的直角坐标系，再根据 将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先化 P 点极坐标为直角坐标，再将直线参数方程代入圆直角坐标方程，利用韦达定理以及直线参数几何意义求的值.试题解析
21、：圆 的直角坐标方程为代入圆 得：化简得圆 的极坐标方程：由 得 的极坐标方程为(2)由 得点 的直角坐标为直线 的参数的标准方程可写成 （ 为参数）代入圆 得：化简得：23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （其中 ）.（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式 即关于 的不等式 恒成立，利用绝对值不等式，得 ，进而求解实数 的取值范围.试题解析：（1）当 时，函数 ，则不等式为 ，当 时，原不等式为 ，解得： ；当 时，原不等式为 ，解得： .此时不等式无解；当 时，原不等式为 ，解得： ，原不等式的解集为 .方法二：当 时，函数 ，画出函数 的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为 .（2）不等式 即为 ，即关于 的不等式 恒成立.而 ，所以 ，解得 或 ，解得 或 .所以 的取值范围是 .
