1、选修 41 几何证明选讲第一节 相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例3相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理 1 两角对应相等的两个三角形相似判定定理 2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理 3 三边对应成比例的两个三角形相
2、似(2)性质定理：内容性质定理 1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误2在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误试一试1如图，F 为ABCD 的边 AD 延长线上的一点，DF AD，BF 分别交 DC，AC 于 G，E 两点，EF16，GF
3、12，求 BE 的长解：由 DFAD，AB CD 知 BGGF12，又 EF16 知 EG4，故 BE8.2在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，BAC ADC，AC 8，BC16，求 CD 的长解：BACADC，CC，ABCDAC， ，CD BCAC ACCD AC2BC4.82161判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性” 2借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或
4、相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边练一练1.如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，DE BC 且2，求 ADE 与四边形 DBCE 的面积的比ADDB解：DEBC，ADE ABC， .SADESABC AD2AB2 2， ， ，ADDB ADAB 23 SADESABC 49 .SADES四 边 形 DBCE 452.如图，已知在ABC 中，CDAB 于 D 点，BC 2BD AB，求ACB.解：在ABC 与CBD 中，由 BC2BD AB，得 ，且BB ，BCBD ABBC所以ABCC
5、BD.则ACBCDB90.考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在ABCD 中，E 是 BC 上一点，BEEC 23，AE 交 BD 于 F，求 BFFD的值解：ADBC，BE EC23，BEAD 25.ADBC，BFFD BEAD25.即 BFFD .252.(2013惠州调研)如图，在 ABC 中，DEBC ，DF AC，AE AC35，DE 6，求则 BF 的值解：由 DEBC 得 ，DE6，DEBC AEAC 35BC10.又因为 DFAC，所以 ，BFBC BDAB CEAC 25即 BF4.3.如图，在四边形 ABCD 中，EFBC，FG AD，求 的值EFBC FGAD解
6、：由平行线分线段成比例定理得 ， ，EFBC AFAC FGAD FCAC故 1.EFBC FGAD AFAC FCAC ACAC类题通法比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二 相似三角形的判定及性质典例 (2013陕西高考)如图，弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P.已知 PD2DA2，求 PE 的值解 由 PEBC 知，ACPED .在PDE 和PEA 中，APE EPD，APED，故PDE PEA ，则 ，于是PDPE
7、 PEPAPE2PA PD326，所以 PE .6类题通法1判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边2相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等针对训练(2013佛山质检)如图，B D，AEBC，ACD90，且AB 6，AC4 ，AD 12，求则 BE 的值解：由于BD，AEBACD，所以ABEADC，从而得 ，解得 AE2，故 BE 4 .ABAD AEAC AB2 AE2 2考点三 射影定理的应用典例 如图所示，在ABC 中，CAB 90 ，AD BC 于 D，BE 是ABC 的平分线，交 AD 于 F，求证： .DFAF AE
8、EC证明 由三角形的内角平分线定理得，在ABD 中， ，DFAF BDAB在ABC 中， ，AEEC ABBC在 Rt ABC 中，由射影定理知，AB2BD BC，即 .BDAB ABBC由得： ，DFAF ABBC由得： .DFAF AEEC类题通法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式” 2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法针对训练在 Rt ACB 中，C90 ， CDAB 于 D，若 BDAD 19，求 tanBCD 的值解：由射影定理得CD2ADBD ，又 BDAD 19，令 BDx，则 AD9x (x0)CD 29x 2
9、，CD3x.RtCDB 中， tanBCD .BDCD x3x 13课堂练通考点1如图，ABEM DC，AEED ，EFBC ，EF12 cm，求 BC 的长解：Error! E 为 AD 中点，M 为 BC 的中点又 EFBCEFMC12 cm，BC2MC24 cm.2如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，ECAD ，DE BC，若 SBEC 1，S ADE 3，求 SCDE 的值解：ECAD，S DCE S ADE EC AD，DEBC，S BCE S CDE BCED，又因为ECBDECADE，BEC EAD ，BECEAD，ECADBC ED.S DCE S ADE S
10、BCE S CDE ，于是 SCDE .33(2013广东高考改编)如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC3，BEAC，垂足为3E，求 ED 的值解：tanBCA ，所以BCA 30 ，ECD90BCA60.在 RtBABC 33BCE 中， CEBCcos BCA3cos 30 .在ECD 中，由余弦定理得332ED CE2 CD2 2CECDcosECD .(332)2 32 2332 312 2124.如图，在ABC 中，F 为边 AB 上的一点， (m，n0)，取BFAF mnCF 的中点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E.求 的值BEEC解：如图，作 FGBC 交 AE 于
11、点 G，则 1， FGCE FDDC BEFG ABAF.两式相乘即得 .m nn BEEC m nn5在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且AE EB12，DE 与 AC 交于点 F，若AEF 的面积为 6 cm2，求ABC 的面积解：令 Ea，EF b，则 ab6.12由题意知 EB2a.DF3b.S ABC ABDE 3a4b12 ab12672(cm)12 12 12课下提升考能1如图，已知ABCD 中，G 是 DC 延长线上一点，AG 分别交 BD 和BC 于 E，F 两点，证明： AFADAG BF.证明：因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ABDC，ADBC
12、.所以ABF GCF，GCFGDA .所以ABF GDA.从而有 ，AFAG BFAD即 AFADAGBF .2已知ABC 中，BF AC 于点 F，CE AB 于点 E，BF 和 CE 相交于点 P，求证：(1)BPECPF；(2)EFPBCP.证明：(1)BFAC 于点 F，CEAB 于点 E，BFCCEB.又CPFBPE，CPFBPE.(2)由(1)得CPFBPE， .EPFP BPCP又EPF BPC，EFP BCP.3如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，过 A 作 AHBE .连接 ED 并延长交 AB 于 F，交 AH 于 H.如果AB 4AF，E
13、H8，求 DF 的长解：AHBE ， .HFHE AFABAB4AF， ，HFHE 14HE8，HF2.AHBE， .HDDE ADDCD 是 AC 的中点， 1.HDDEHEHD DE 8，HD 4，DFHD HF 422.4如图，在 RtABC 中，BAC90，AD BC 于D，DF AC 于 F，DE AB 于 E，求证：(1)ABACBCAD；(2)AD3 BCCFBE.证明：(1)在 RtABC 中，ADBC，S ABC ABAC BCAD.12 12AB ACBCAD.(2)RtADB 中 ，DEAB，由射影定理可得BD2BE AB，同理 CD2CFAC，BD 2CD2BE ABC
14、FAC.又在 RtBAC 中，ADBC，AD 2BD DC，AD 4BE ABCFAC，又 ABACBCAD.即 AD3BC CFBE.5如图，在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AD 上的一点，延长 BE 交 AC 于点 F.若 ，求 的值AEAD 14 AFAC解：如图，过点 A 作 AGBC，交 BF 的延长线于点 G. ， .AEAD 14 AEED 13又AGEDBE ， .AGBD AEED 13D 为 BC 中点，BC2BD， .AGBC 16AGFCBF， ， .AFFC AGBC 16 AFAC 176.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上
15、一点，DE CD，BE 与 AD 交于点 F.12(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BAF BCD，ABCD，ABFCEB ，ABF CEB.(2)四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD ，DEFCEB，DEFABF. ( )2， ( )2.SDEFSCEB DECE SDEFSABF DEAB又 DE CD AB，12 12CEDECDDE2DE3DE. ( )2 ， ( )2 .SDEFSCEB DECE 19 SDEFSABF DEAB 14S DEF 2， SCEB 18，
16、S ABF 8.平行四边形 ABCD 的面积 SS ABF S CEB S DEF 818224.第二节 直线与圆的位置关系1圆周角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理 1：圆内接四边形的对角互补定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：
17、如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条
18、线段长的比例中项(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角1易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断2在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误试一试1.如图，P 是圆 O 外一点，过 P 引圆 O 的两条割线PB、 PD，PAAB ，CD 3，求 PC 的长5解：设 PCx，由割线定理知 PAPBPCPD .即 2 x(x3)，解得 x2 或 x5(舍去) 5 5故 PC2.2.如图，EB，EC 是O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是O 上两点，如果E 46，DCF32，求BAD 的值解：由已知，显然EBC 为等腰三角形，因此有ECB 67，180 E2因此BCD180ECBDCF81.
