1、德阳市高中 2015 级“二诊”考试数学试卷（文史类）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 为虚数单位，实数 ， 满足 ，则 （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】 ，则 故选 D.2. 已知集合 ，集合 ，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 得到 ， 故选 A.3. 函数 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题函数 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，即平
2、移后得到的函数为奇函数，即 为奇函数，对照选项可知选 B.4. 实验测得四组数对 的值为 ， ， ， ，则 与 之间的回归直线方程是（ ）参考公式： ， .A. B. C. D. 【答案】A【解析】样本中心点为 ,计算得 ,代入验证可知 选项正确.5. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则 ，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为 故这个几何体的外接球的表面积为 故选 C【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判
3、断几何体的形状是解答的关键属于中档题6. 九章算术是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中 表示 除以 的余数，例如 .若输入 的值为 8 时，则输出 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得： 满足条件 ，满足条件满足条件 ，不满足条件 ， ，满足条件 ，满足条件 ，可得：2， 4， 8， 共要循环 3 次，故 故选 B.7. 已知 ，则 、 、 的大小排序为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为正实数，且 ，可得： 即 因为函数 单调递增， .故选 A.8. 以等腰直角三角形 的斜边 上
4、的中线 为折痕，将 与 折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论： 平面 ； 为等边三角形；平面 平面；点 在平面 内的射影为 的外接圆圆心.其中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于三角形 为等腰直角三角形,故 ,所以 平面 ,故正确,排除 选项.由于 ,且平面 平面 ,故 平面 ,所以 ,由此可知 ,三角形为等比三角形,故正确,排除 选项.由于 ,且为等边三角形,故点 在平面 内的射影为 的外接圆圆心, 正确,故选 .9. 已知双曲线 的离心率为 ，其一条渐近线被圆 截得的线段长为 ，则实数 的值为（ ）A. 3 B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】双曲线 的离
5、心率为 ，则 故其一条渐近线不妨为 ，圆 的圆心 ，半径为 2，双曲线 的一条渐近线被圆 截得的线段长为 ，可得圆心到直线的距离为：故选 D10. 已知函数 ，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于 ,函数为增函数,且 ,函数为奇函数,故,即 在 上存在.画出 的图象如下图所示,由图可知,故选 .【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.11.
6、如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 ， 与抛物线及其准线从上到下依次交于 、 、 点，令 ， ，则当 时， 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】设 ，则 又 ，可得同理可得 ， 故选 B.12. 已知 、 是函数 （其中常数 ）图象上的两个动点，点 ，若 的最小值为 0，则函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题 ，当点 、 分别位于分段函数的两支上，且直线 分别与函数图像相切时， 最小，设 当 时， 直线 因为点 在直线直线 上， 解得同理可得 则 ，且函数在 上单调递增， 在 上单调递见，故函数的最大值为 .故选 B.第卷
7、（非选择题 共 90 分）二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上.13. 已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值为_【答案】8【解析】 画出可行域如图所示，则当目标函数 y 经过点 时取代最大值， 即答案为 4.14. 为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为_【答案】【解析】 ,解得 ,根据中位数为 ,可知 ,故 .15. 如图，在三角形 中， 、 分别是边 、 的中点，点 在直线 上，且，则
8、代数式 的最小值为_【答案】【解析】不妨设 为直角,且 ,以 分别为 轴,此时 为 点的坐标, 表示 到原点 的距离,最短时为点 到直线 的距离,由于 是中位线,故最短的 等于点 到 距离的一半,即 .16. 已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 且 ， ， ，若为 的内心，则 的面积为_【答案】【解析】由于 ,所以 ,展开化简得 .由正弦定理得,所以 ,解得 .设 ,设外切圆半径为 ,根据海伦公式有 ,解得 ,故.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形的面积公式,包括海伦公式及有关内切圆的面积公式.首先根据 ,及 ,得到 ,利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式
9、,化简这个式子可求得 的值.利用海伦公式可求得面积.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列 满足 ， .（1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】(1)利用配凑法将已知配凑成等比数列的形式,由此证得 为等比数列.(2)由(1)求得 的通项公式,利用裂项求和法求得数列的前 项和.【试题解析】（1） ， .又 ， ， . 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 .（2）由（1）知 ， , .18. 省环保厅对 、 、 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有 1
10、80 个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：城 城 城优（个） 28良（个） 32 30已知在这 180 个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录 城市空气质量为优的数据的概率为 0.2.（1）现按城市用分层抽样的方法，从上述 180 个数据中抽取 30 个进行后续分析，求在 城中应抽取的数据的个数；（2）已知 ， ，求在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.【答案】 （1）9；（2） .【解析】 【试题分析】(1)由 计算出 ,再由总数计算出 ,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知 ， 且 ， ，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.【试题解析】（1）由题
11、意得 ，即 . ，在 城中应抽取的数据个数为 .（2）由（1）知 ， 且 ， ，满足条件的数对 可能的结果有 ， ， ， ， ， ， 共 8 种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有 ， ，共 3 种.在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为 .19. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 平面 ，点 、 分别为 和 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】(1) 取 的中点 ，连结 、 ，通过证明四边形 为平行四边形,得到 ,由此证得 平面 .(2)利用等体积法,通过 建立
12、方程,由此求得点到面的距离.【试题解析】（1）取 的中点 ，连结 、 ，由题意， 且 ， 且 ，故 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，又 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .（2）设点 到平面 的距离为 .由题意知在 中，在 中 ，在 中 ，故 ， ，所以由 得： ，解得 .20. 已知椭圆 ： 的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为 ，且椭圆 的离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）过点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于两点 、 ，点 ，试探究：直线与 的斜率之积是否为常数.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】 【试题分析】(1)根据三角形面积公式和离心率建立方程,解
13、方程组可求得 的值.(2)设出直线 的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算 .化简后可得 为常数 .【试题解析】（1）由题意得 （其中 椭圆的半焦距） ，解得 .所以椭圆 的方程为： .（2）由题意设直线 的方程为： ， ， ，由 得： ，所以 ，故 ，（常数）.21. 已知函数 .（1）若 是 的一个极值点，求 的最大值；（2）若 ， ，都有 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】 【试题分析】(1)求出函数的导数,通过 求得 的值,根据单调区间求得函数的最大值.(2)将原不等式转化为 ,构造函数 ,对 求导,对两者比较大小,分成两类,利用分离常数法求
14、得 的取值范围.【试题解析】（1） ，由题意得 ，即 ，所以 ，所以 ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 .（2）由题意得 ， 都有，令函数 ，当 时， 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即在 上恒成立，令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，故 ，所以实数 的取值范围为 .同理，当 时， 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，即在 上恒成立，令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，故 .所以实数 的取值范围为 ，综上，实数 的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查函数导数与不等式恒成立问题. 与函数最值有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的
15、单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系 中，直线 ： （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ： .（1）求直线 的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；（2） 记射线 与直线 和曲线 的交点分别为点 和点 （异于点 ） ，求的最大值.【答案】 （1）直线 的极坐标方程为
16、： ，曲线 的直角坐标方程为：；（2） .【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案；（2）由（1） ， ，所以 ，即可得到 的最大值.试题解析：（1）由题意得直线 的普通方程为： ，所以其极坐标方程为： .由 得： ，所以 ，所以曲线 的直角坐标方程为： .（2）由题意 ， ，所以 ，由于 ，所以当 时， 取得最大值： .23. 已知函数 .（1）解关于 的不等式 ；（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意 或 ，由此可解不等式；（2）由于关于 的不等式 的解集非空，函数 的最小值为-1，由此解得的范围试题解析：（1）由题意 或 ，所以 或 ，即 或 ，或 或 ，故原不等式的解集为 .（2） ，由于 ，所以当 时， 的最小值为-1.所以实数 的取值范围为： . 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题
