1、第 8 题 函数的解析式I题源探究黄金母题【 例 1】如图， 是边长为 2 的正三角形，记 位于直线OABOAB左侧的图形的面积为 ，试求 的解析式，并画(0)xt()fx()fx出函数 的图象yft【解析】当 时， ；当123()tan602fttA时， 12t 1()3)(tftt；当 时， 综上知，3(32f2,013()(),2ttft t 精彩解读【试题来源】人教版 A 版必修一第13 页 复习参考题 B 组第 2 题【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象本类考查方式是近几年高考试题常 常采用的命题形式，达到对学生能力的考查【思路方法
2、】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解II考场精彩真题回放【例 2】 【2018 高考全国 1，文 13 改编】设常数 ，函数aR，若 的反函数的图象经过点 ，则logfxafx3,1【答案】 2l7fx【解析】由已知可得 经过点 ，解得 ，f21,3log3a72logfx【例 3】 【2018 高考上海，7 改编】已知 ，1,23【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，
3、中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等 知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量 ？哪个是因变量 ，xy它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后结合分类讨论的思想进行若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 fx0,fx【答案】 1fx【解析】由函数 为奇函数得 ，又 在1,3fx上递减， 0,1,axf【例 4】 【2018 高考上海，19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 中 的成%01x员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟） ，而公交群体的30
4、,1829301xfxx人均通勤时间不受 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析 结果回答下列问题：（1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体x的人均通勤时间？（2）求该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的Sgxgx单调性，并说明其实际意义【答案】 （1） ；（2）45,023,810501xgxx【解析】 （1）由已知 即 ，4f8294031x解得 4x（2）在2140,30,581%1xgxfxx求解上单调递增，在 上单调递减，说明当0,32.532.5,10以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加%III理论基础解题原理考点一 函数解析式概念（1）函数解析式定义：
5、就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值考点二 基本初等函数的解析式（1）一次函数： ；,(0)ykxb（2）反比例函数： ；（3）二次函数： ；2,()yaxc（4）指数函数： ；,(01且（5）对数函数： ； log,)ayx且（7）幂函数： ；,()R（8）三角函数： sincs,tan,()2yxyxk题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导
6、数问题应用【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法） 、消元法（方程法） 、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法【易错指导】（1）解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，这类题主要涉及到复合函数问题；（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，这类题实质上是涉及到分段函数问题（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义
7、域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义举一反三触类旁通考向 1 利用待定系数法求解析式【例 1】已知二次函数 满足条件 ，及 ，则求()fx(0)1f()(2fxfx_()fx【解析】设 ，则由题 又 2()fxabc()c211fxfaxb，于是由已知条件，得 ，解得 ，2caxbc 20abb 21f【例 2】 【改编题】已知函数 在点 处的切线方程为 ，2n(1)laxf(,)f4120xy则函数 _()fx【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等) ，求 函数解析式
8、其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数【跟踪练习】1 【2018 安徽安庆模拟】已知单调函数 ，对任意的 都有 ，则 ( )A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】分 析：设 ，根据条件求出函数的解析式，再令 代入 求解即可详解：设 ，则 ，且 ，令 ，则 ，解得 ， ， 故选 C【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力2 【2018 山西运城模拟】已知 ， 是二次函数，且 为奇函数，当23gxfxfxg时， 最小值为 1，求 的解析式1,xfxf【答案】 或232xx【试题解析】设
9、， ，则20fxabcFxfgx为奇函数， 对任意 恒成立，即2313FxabcxFx， 对任意 恒成立，21xc2130axc， ， 的图象的对称轴为直线 ,cfxbfx2b当 时， 的最小值为 1， 或 或 ，1,2xf1 2bf 12bf 1f或 或 ， 13b4 22b4 31b即 或 或 （舍） 3综上可知： 或2fx2fxx【名师点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得 的值,ac b考向 2 利用换元法
10、（或配凑法）求解析式【例 3】 【改编题】 （1）若 ，则 （ ）21()fxx()fA B C D2()fx 2(1)x2()1fx（2）已知 ，则 _xflg)1()f【解析】 （1） ， ，故选 A221)x2()fx（2）令 ，则 ，代入条件中的解析式，则 ，即 txt log1att2()log1afx【点评】已知复合函数 的表达式，要求 的解析式时，可考虑令 ，反解出()fgx()fxt，将其代入 的表达式中，再用 替换 便可得到函数 的表达式；（2）已知复合函数()xht t()fx的表达式，要求 的解析式时，若 的表达式右边易配成 的运算 形式，则可用配fg()fx()fgxg
11、凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化【跟踪练习】1 【2018 四川双流中学期中考试】已知 ，则 的值为（ ）1fx2fA B C D3232【答案】B【解析】令 ，则 ， ，故选 B1x1132f2 【2018 山西实验中学 10 月月考】若 ，则 的解析式为（ ）fxfxA B2,1fxx2,1C D00fxx【答案】A考向 3 利用函数性质求解析式【例 4】已知 为奇函数， 为偶函数，且 ，则函数)(xf)(xg )1(log2)(xxf_， _()fx【解析】 为奇函数， 为偶函数， 又)(xf)(x )(),(xxff，故 ，即 1log2)(xf 1log2)f )1(log2)(
12、xf由得： ， )1,(,log)1(l)(log)( 222 xxxxf 22(log(1)l()xxx， 22log1,【例 5】函数 是 上的奇函数，满足 ，当 时， ，则)(xfyR)3()(xff 3,0xf)(当 时， _3,6x【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等) ，可利用 这些性质求解常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将 转换为 、 （ 为常数）转化为 等()fx()fx)fm()fx【跟踪练习】1 【2018 江西六校第五次联考】设函数 是定义在 上的奇函数，且fxR= ，
13、则 （ ）fx, 0logx8gfA1 B2 C1 D2【答案】A【解析】函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）= ，f （ 8）=f（8）=log39=2， gf（8）=g（ 2）=f（2）= f（2）=log 33=1故选：A2 【2018 河南六市第一次联考】已知 是定义在 上的偶函数，且 恒成立，当时， ，则当 时， （ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析： ， ， ，即是最小正周期为 的函数，令 ，则 ，当 时， ， ， 是定义在 上的偶函数，令 ，则 ， ， ，当 时，函数的解析式为：B 选项是正确的【思路点睛】根据 将 换为 ，再将 换为 ，得到函数的最小正
14、周期为 ，由当 时， ，求出 的解析式，再由 是定义在 上的偶函数，求出的解析式，再将 的图象向左平移 个单位即得 的图象，合并并用绝对值表示 的解析式考向 4 利用方程法（消元法）求函数解析式【例 6】 【改编题】定 义 在 上 的 函 数 满 足 ： ，则(1,0),)()fx 21()2lnxfxf_()fx【例 7】 【改编题】定义在 上的函数 及二次函数 满足： ，R()gx()hx2()2)9xgxe则 _()gx【解析】 （1） ， ，即2()2)9xgxe()(xgxe由联立解得 ()2(9xxe 3【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数 混合运算，则充分利
15、用变量()fx代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数 的表达式()fx【跟踪练习】1 【2018 江西樟树中学模拟】若函数 对于任意实数 恒有 ，则fx231ffxfxA B C D1x21x3x【答案】A【解析】 对任意实数 恒有 ，用 代替式中的 可得fxx231ffxxx，联立可解得 ，故选 A231fx【名师点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：待定系数法，已知函数类型 （如一次函数、二次函数） ；换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此fgx时要注意新元的取值范围；配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表fgxFgx达式；消去法：已知 与
16、或 之间的关系，通过构造方程组得解fx1ff2 【2018 豫南九校联考二】若 对于任意实数 恒有 ，则 （ fx3251ffxfx）A B C D1xx21x【答案】A【解析】 ， ，解得 ，故选35ff3251fxfx1fxA3 【改编题】若 对 恒成立，则曲线 在点 处的2fxf3xRyf2,f切线方程为_【答案】 （或 ）135y150y考向 5 根据图象确定解析式【例 8】 【2018 山东枣庄模拟】函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）()fx()fxA B C D()sinfxcos()xf()cosfx3()(2fxx【解析 】根据已知条件可知，函数 为奇函数，应排
17、除 ；函数的图象过原点，应排除 ；B图象过 ，排除 ；故选 (,0)2A【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求 出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决【跟踪练习】1 【2018 陕西汉中 模拟】如图所示的图像表示的函数的解析式为( )Ay |x1|(0x 2) By |x1|(0 x2) 3232Cy |x1|(0x2) Dy1|x 1|(0x2)【答案】B【解析】当 ，排除 选项当 ，排除 选项，故选 B0,
18、AC31,2yD考向 6 建立解析式识别图象【例 9】如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射OPxOA线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示成 的函数 ，则PMO()fx在 上的图象大致为( )()yfx0,A B C D【例 10】 【2018 百 校联盟届 TOP20 一月联考】已知 ，则函数 的图象大致31lnxffx为（ ）A BC D【答案】A【名师点睛】本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷 、
19、巧妙而获解【跟踪练习】1 【2018 广西模拟】函数 的图象大致为（ ）24logxfxA B C D【答案】A【名师点睛】本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数， 进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确 答案2 【2018 贵州遵义航天中学一模】已知 P 是圆 上异于坐标原点 O 的任意一点，直线21xyOP 的倾斜角为 ，若 ，则函数 的大致图象是（ ）OPdfA B C D【答案】D【解析】 ，对应图象是 D2cos,0,
20、2,d【名师点睛】 （1）运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向 （2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系“”f考向 7 建立解析式解决实际问题【例 11】 【2018 湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶 1 中的水按一定规律流入桶 2 中，已知开始时桶 1 中有 升水，桶 2 是空的， 分钟后桶 1 中剩余的水量符合指数衰减曲线 （其中 是at 1ntya
21、e常数， 是自然对数的底数） 假设在经过 5 分钟时，桶 1 和桶 2 中的水恰好相等求：e（1）桶 2 中的水 （升）与时间 （分钟）的 函数关系式；2yt（2）再过多少分钟，桶 1 中的水是 升?8a【点评】在函数应用题中，建立函数的解析 式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第（1）题后面的其它小题而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域【例 12】 【2018 福建三明一中模拟】楚天汽车销 售公司 5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为 30 万元/辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进
22、价均降低 01 万元/辆根据市场调查，月销售辆不会突破 30 台（1）设当月该型号汽车的销售量为 辆（ ，且 为正整数） ，实际进价为 万元/辆，求 与x30xyy的函数关系式；x（2）已知该型号汽车的销售价为 32 万元/辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价- 进价）【答案】 （1） （2）该月需售出 10 辆汽车30(5,) .1.30xy为 整 数为 整 数【解析】试题分析：（1）根据条件分段讨论进价：当 时，为常函数， 当5x30y时，为一次函数（2）根据得销售利润=销售价- 进价，分段列方程：当 时，530x 5x；当 时， ，解出方程
23、的解即得结果530x20.13.2x试题解析：解：（1）由题意，当 时， 5y当 时， 30x.1yxx ；(5,) .1.30y为 整 数为 整 数当 时， ，不符合题意，05x212当 时， ，解得： （舍去） ， 530x20.13.52x125x210x答：该月需售出 10 辆汽车【例 13】 【2018 江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务，每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有 x 人，他们加工完甲
24、型装置所需时间为 t1 小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2 小时设 f(x)t 1t 2（）求 f(x)的解析式，并写出其定义 域；（）当 x 等于多少时，f( x)取得最小值？【答案】 （1） 定义域为 x|1x99，xN *（2）当 x75 时，f(x )取得最小901值试题解析：解：（1） ， ， ，90tx23010tx12901fxtx定义域为x|1x 99，x N * （2）f(x) ， 90191090110xxx1 x99，xN *， 0， 0， 2 6xx10xx，当且仅当 ，即当 x75 时取等号910答：当 x75 时，f( x)取得最小值【名师点睛】在利用基本
25、不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数) 、 “定”(不等式的另一边必须为定值 )、 “等”(等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误【跟踪练习】1 【2018 河北石家庄一模】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 55 单没有奖励，超过 55 单的部分每单奖励 12 元（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；yn（2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，
26、发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数 52 54 56 58 60频数（天） 20 30 20 20 10回答下列问题：根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元） ，试分别求出这 100 天中甲、乙两种方案的X日薪 平均数及方差；X结合中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由（参考数据： ， ， ， ， ，20.6.321.4962.7623.41.5623.1.96， ， ， ）24.61.25.6431【答案】 （1） ；（2）见解析1,5, 0nNy由表格可知，甲方案中，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 15
27、4 元的有 30 天，日薪为 156 元的有 20天，日薪为 158 元的有 20 天，日薪为 160 元的有 10 天，由此可求出这 100 天中甲方案的日薪 平均数及X方差：同理可求出这 100 天中乙两种方案的日薪 平均数及方差，X不同的角度可以有不同的答案试题解析：（1）甲方案中派送员日薪 （单位：元）与送货单数 的函数关系式为： yn，乙方案中派送员日薪 （单位：元）与送单数 的函数关系式为： ，yn（2）由表格可知，甲方案中，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 154 元的有 30 天，日薪为 156 元的有 20 天，日薪 为 158 元的有 20 天，日薪为 160 元的
28、有 10 天，则，1=520+4315620+8160x甲 （ ） =5.4，2222.45.1+0158.4+.S甲乙方案中，日薪为 140 元的有 50 天，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 176 元的有 20 天，日薪为 200元的有 10 天，则，1=405+20176+201x乙 （ ） =5.62222.5.715.+015.64S乙答案一：由以上的计算可知，虽然 ，但两者相差不大，且 远小于 ，即甲方案日薪x甲 乙2S甲 2乙收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案答案二：由以上的计算结果可以看出， ，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以甲 乙小明应选择乙方案【名
29、师点睛】解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数，确定函数的解析式，求出了问题 燃气的燃气费320m中而获解2 【2018 江苏高邮一中一调】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1） ；投资股票等风险型产品 的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2） （注：收益与投资额单位：万元）（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】 （1） ； （2） ， 万元108fx102gxmax3y试题解析： （1）设 ， ， ， ，1fxk2gxk18fk2gk即 ， ； 08fx0（2）设投资债券类产品 万元，则股票类投资为 万元，xx依题意得： ， 2yfg128x20令 ，则 ，20tx5t0ty38t当 ，即 万元时，收益最大， 万元t16max3【名师点睛】本题（1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式要使用这种方法需要知道函数的类型，根据类型写出 的解析式，再结合其它已知条件确定函数的系数即可fx
