1、2.1.2 数列的递推公式(选学)课后篇巩固探究1.在数列a n中,a 1=1,an+1= -1(n1),则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( )2A.-1 B.1 C.0 D.2解析: 由已知 an+1= -1=(an+1)(an-1),2得 a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1.则 a1+a2+a3+a4+a5=1+0-1+0-1=-1.答案: A2.在数列a n中,a 1=b(b 为任意正数),a n+1=- (n=1,2,3,),能使 an=b 的 n 的数值可以是( )1+1A.14 B.15 C.16 D.17解析: a1=b,an+1=- ,1+1 a2=- ,a3=-
2、 ,a4=b.1+1 +1 an为周期为 3 的数列.由于 a1=a4=b, a16=b.答案: C3.若数列a n满足:a n+1=1- ,且 a1=2,则 a2 018 等于 ( )1A.1 B.2 C. D.212解析: 由 an+1=1- ,a1=2,得 a2=1- ,a3=1-2=-1,a4=2,由此可见 ,数列 an的项是以 3 为周期重复1 12=12出现的,故 a2 018=a3672+2=a2= ,故选 D.12答案: D4.若a n的前 8 项的值互异,且 an+8=an,对于 nN +都成立, 则下列数列中,可取遍 an前 8 项的值的数列为 ( )A.a2k+1 B.a
3、3k+1C.a4k+1 D.a6k+1答案: B5.数列a n的前 9 项是 1,5,7,17,31,65,127,257,511,则这个数列所隐含的递推关系式为 . 解析: 1+5=6,5+7=12,7+17=24,12 与 17 差 5,24 与 31 差 7,那么下一项是否差 17 呢?17+31+17= 65正符合,这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案: a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n3)6.已知数列a n满足:a 4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN +,则 a2 016= ,a2 017= . 答案: 0 17.若数列a n满足 a1a2a3an
4、=n2+3n+2,则数列 an的通项公式为 . 解析: a1a2a3an=n2+3n+2, 当 n2 时,a 1a2a3an-1=(n-1)2+3(n-1)+2=n(n+1). ,得 an= =1+ (n2).2+3+2(+1) =+2 2又 a1=12+31+2=6,不满足 an=1+ ,2 数列a n的通项公式为 an=6,=1,1+2,2.答案: an=6,=1,1+2,28. 导学号 93924018 已知数列a n满足 a1= ,an-1-an= (n2), 则该数列的通项公式12 -1(-1)an= . 解析: an-1-an= (n2), . ,-1(-1) -1-1= 1(-1
5、) 1 1-1=1-11 , .1211=1112,1312=1213 1 1-1=1-11 =1- , =3- .111 1 1 1 an= .3-1当 n=1 时,a 1= .131-1=12答案:3-19.已知数列a n满足 a1=1,an+1=an+,且 a2=3,a4=15,求 , 的值.解: 由 a2=a1+=+=3,得 =3-.故 a3=a2+=3+=2+3,a4=a3+=(2+3)+3-=22+2+3=15.化简得 2+-6=0.解得 =-3 或 =2,代入 =3-,得 =6 或 =1.代入检验皆成立.故 =-3,=6,或 =-3,=6.10.已知 a,b 为两个正数,且 ab,设 a1= ,b1= ,当 n2,nN +时,a n= ,bn= .求+2 -1+-12 -1-1证:(1)数列a n是递减数列,数列 bn是递增数列;(2)an+1-bn+10,bn0.由 ab,可知( )20,则 ,即 a1b1. +2同理, ,即 a2b2.1+12 11可知对任意 nN +,anbn.所以 an+1-an= -an= 0, ( 所以数列b n是递增数列.(2)an+1-bn+1= (an-bn).+2 +2 =12 an+1-bn+1 (an-bn).12
