1、2.3.2 等比数列的前 n 项和课后篇巩固探究一、A 组1.已知等比数列a n各项为正,a 3,a5,-a4 成等差数列,S n 为 an的前 n 项和,则 =( )63A.2 B. C. D.78 98 54解析: 设等比数列a n的公比为 q,则有 q0,又 a3,a5,-a4 成等差数列 , a3-a4=2a5, a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得 q=-1(舍去) 或 q= , q= ,12 12 =1+q3=1+ .63=1(-6)1-1(-3)1-=1-61-3(12)3=98答案: C2.设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 等于 ( )63
2、 96A.2 B. C. D.373 83解析: 设其公比为 q,由已知可得 =1+q3=3,63=1-61-3 q3=2, .96=1-91-6=1-231-22=73答案: B3.在各项均为正数的等比数列a n中,若 am+1am-1=2am(m2),数列 an的前 n 项积为 Tn,若 T2m-1=512,则 m 的值为( )A.4 B.5 C.6 D.7解析: 因为a n是正项等比数列 ,所以 am+1am-1=2am= ,则 am=2,又 T2m-1=a1a2a2m-1= ,所以 22m-2 2-11=512=29,m=5.故选 B.答案: B4.已知函数 f(x)= (a0,且 a
3、1),若数列a n满足 an=f(n)(nN +),且a n是递增数列,(3-)+2,2,22-9+11,2则实数 a 的取值范围是( )A.(0,1) B.83,3)C.(2,3) D.(1,3)解析: 因为a n是递增数列,所以 a0,1,(3-)2+2,解得 83所以实数 a 的取值范围是 .83,3)答案: B5.在数列a n中,若 a1=-2,an+1=an+n2n,则 an= ( )A.(n-2)2n B.1-12C. D.23(1-14) 23(1-12)解析: 因为 an+1=an+n2n,所以 an+1-an=n2n,运用累加法可得an-a1=2+222+(n-1)2n-1,
4、令 T=2+222+(n-1)2n-1,所以 2T=22+223+(n-1)2n,将两式相减可得 T=-2-22-23-2n-1+(n-1)2n,即 T=-2-22-23-2n-1+(n-1)2n=(n-2)2n+2,所以 an-a1=(n-2)2n+2,所以 an=(n-2)2n,故选 A.答案: A6.已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=m2n-1-3,则 m= . 解析: a1=S1=m-3,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=m2n-2, a2=m,a3=2m,又 =a1a3,22 m2=(m-3)2m,整理得 m2-6m=0,则 m=6 或 m=0(舍去).答案:
5、67.等比数列a n中,若前 n 项和 Sn=2n-1,则 + = .21+22 2解析: 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当 n=1 时,a 1=S1=21-1=1 适合上式, an的通项公式为an=2n-1. =4n-1,即数列 构成以 1 为首项,4 为公比的等比数列. 前 n 项和 Tn= +2 2 21+22(4n-1).2=1(4-1)4-1 =13答案: (4n-1)138.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且对任意 nN +,有 2Sn=3an-2,则 a1= ;Sn= . 解析: 令 n=1,则 2S1=3a1-2,得 a1=2
6、;由 2Sn=3an-2,得 当 n2 时,2S n-1=3an-1-2, - 得 2an=3an-3an-1,即当 n2 时,a n=3an-1,又 a1=2,故数列a n是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, an=23n-1, Sn= =3n-1.2(1-3)1-3答案: 2 3n-19.已知数列a n是首项为 1 的等差数列,且公差不为零.等比数列 bn的前三项分别是 a1,a2,a6.(1)求数列a n的通项公式 an;(2)若 b1+b2+bk=85,求正整数 k 的值.解: (1)设数列a n的公差为 d, a1,a2,a6 成等比数列, =a1a6.22 (1+d)2=1(1
7、+5d). d2=3d. d0, d=3. an=1+(n-1)3=3n-2.(2)数列b n的首项为 1,公比为 q= =4.21 b1+b2+bk= , =85.1-41-4=4-13 4-13 4k=256. k=4. 正整数 k 的值为 4.10.一个球从 100 m 高处自由落下 ,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.(1)当它第 10 次着地时,经过的总路程是多少?(2)当它第几次着地时,经过的总路程是 293.75 m?解: (1)球第 1 次着地时经过了 100 m,从第 1 次着地到球第 2 次着地时共经过了 m,从第 2 次(21002)着地到球第 3 次着地时共经过了
8、m到球第 10 次着地时,经过的总路程为(210022)100+2 +2 +2 =100+100 =100+ 300(m).1002 10022 10029 (1+12+128) 100(1-129)1-12(2)设第(n+1)次着地时,经过的路程是 293.75 m;由题意得 100+ =293.75.利用计算器计算100(1-12)1-12得 n=5.故第 6 次着地时,经过的总路程是 293.75 m.11. 导学号 93924036 已知a n是首项为 1,公差为 2 的等差数列,S n 表示a n的前 n 项和.(1)求 an 及 Sn;(2)设b n是首项为 2 的等比数列,公比
9、q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0.求b n的通项公式及其前 n 项和 Tn.解: (1)因为a n是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1.故 Sn=1+3+(2n-1)= =n2.(1+)2 =(1+2-1)2(2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0,所以(q-4) 2=0,从而 q=4.又因为 b1=2,bn是公比 q=4 的等比数列,所以 bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而b n的前 n 项和 Tn= (4n-1).1(1-)1-=23二、B 组1.等比数列a
10、n中,公比 q1,它的前 n 项和为 M,数列 的前 n 项和为 N,则 的值为( )2 A.2 qn B. a1qn-121 12C. qn-1 D.2 qn-11221 21解析: an是公比为 q 的等比数列 ,数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,代入等比数列的前 n 项和2 21 1公式得 qn-1.=1221答案: C2.数列a n中,a n0,a1=1,且 3 +2an+1an- =0,则 a1+a3+a5+a2n-1 的值为( )2+1 2A. B.981-(13)2-1 981-(13)C. D.981-(19)2-1 981-(19)解析: 由 3 +2an+1an- =0
11、,得 3 +2 -1=0,解得 =-1.2+1 2 (+1)2 +1 +1=13或 +1因为 an0,所以 =q= .+1 13数列a n为等比数列,且首项为 1,公比为 ,故 a1+a3+a5+a2n-1 是其中的奇数项前 n 项之和,13a1+a3+a5+a2n-1= .1-(19)1-19=981-(19)答案: D3.等比数列a n共有奇数项,所有奇数项和 S 奇 =255,所有偶数项和 S 偶 =-126,末项是 192,则首项 a1=( )A.1 B.2 C.3 D.4解析: 设等比数列a n共有 2k+1(kN +)项,则 a2k+1=192,则 S 奇 =a1+a3+a2k-1
12、+a2k+1= (a2+a4+a2k)+a2k+1= S 偶 +a2k+1=- +192=255,解得 q=-2,而 S 奇 =1 1 126=255,解得 a1=3,故选 C.1-2+121-2 =1-192(-2)21-(-2)2答案: C4.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前 n 项积为 Tn,则 T4, , , 成等比数列. 1612解析: b1b2b3b4=T4, =b5b6b7b8=b1q4b2q4b3q4b4q4=T4q16, =T4q32, =T4q48,故 T4, 成等比8
13、4 128 1612 84,128,1612数列.答案:84 1285.已知数列a n满足:a 1=1,an+1= (nN +).若 bn+1=(n-2) (nN +),b1=-,且b n是单调递增+2 (1+1)数列,则实数 的取值范围是 . 解析: 由 an+1= ,得 +1,+2 1+1=2则 +1=2 ,1+1 (1+1)所以数列 是等比数列,首项为 2,公比为 2,于是有 +1=2n,所以 bn=(n-1-2)2n-1(n2) .1+1 1由 b2b1 得 2(1-2)-,解得 bn 得(n-2)2 n(n-1-2)2n-1,1,即 an+1an;1- +1当 n 时, 1,-1=-
14、1 -1 +1=22-1所以 anan-1, k= =1,+1=+1 +1 +1所以 an=an+1,所以此时数列a n有两项相等的最大项,故 正确.答案: 7.设等比数列a n的公比为 q,前 n 项和 Sn0(n=1,2,).(1)求 q 的取值范围;(2)设 bn=an+2- an+1,记 bn的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 和 Tn 的大小.32解: (1)因为a n是等比数列,S n0,可得 a1=S10,q0.当 q=1 时,S n=na10;当 q1 时,S n= 0,即 0(n=1,2,).1(1-)1- 1-1-上式等价于不等式组: 或 (n=1,2,),1-0,1-0
15、解 式,得 q1;解 式,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-10,且-10,当-12 时,T n-Sn0,即 TnSn;12当- 0,且 0,由 得 ak0 .2-1 (-1-12)2+34 2-1要证 ak ,由 知只要证 .43 2-12-1-1+143即证 3 4( -ak-1+1),即(a k-1-2)20.此式明显成立.2-1 2-1因此 ak (k3).43最后证 ak+1a k,若不然 ak+1= ak,22-+1又因 ak 0,故 1,即(a k-1)20.矛盾.2-+1因此 ak+1a k(k3).法二:由题设知 Sn+1=Sn+an+1=an+1Sn.故方程 x2-Sn+1x+Sn+1=0 有根 Sn 和 an+1(可能相同) .因此判别式 = -4Sn+10.2+1又由 Sn+2=Sn+1+an+2=an+2Sn+1,得 an+21 且 Sn+1= .+2+2-1因此 0,即 3 -4an+20,2+2(+2-1)24+2+2-1 2+2解得 0a n+2 .43因此 0a k (k3).43由 ak= 0(k 3),得-1-1-1ak+1-ak= -ak=ak-1 ( -1-1-1-1)=ak( -1)=-12-1-1-1-1 2-1-1+1=- 0.因此 ak+1a k(k3) .(-1-12)2+34
