1、习题课等差数列习题课课后篇巩固探究一、A 组1.在等差数列a n中,已知 a1= ,a1+a6=4,an=37,则 n 等于( )13A.50 B.49 C.56 D.51解析: 设公差为 d,因为 a1+a6=2a1+5d=4,a1= ,所以 d= ,所以 an= +(n-1) =37,所以 n=56.13 23 13 23答案: C2.在数列x n中 ,x1=8,x4=2,且满足 xn+2+xn=2xn+1,nN +.则 x10=( )A.-10 B.10 C.-20 D.20解析: 由 xn+2+xn=2xn+1,nN +,可知数列x n是等差数列 .又 x1=8,x4=2, 公差 d=
2、 =-2.4-14-1=2-83 x10=x1+9d=8+9(-2)=-10.答案: A3.已知数列a n满足 a1=33, =2,则 的最小值为( )+1- A.10 B.10.5 C.9 D.8答案: B4.在等差数列a n中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列a n前 9 项的和为( )A.297 B.144 C.99 D.66解析: a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,即 a4=13,a6=9. d=-2,a1=19. S9=199+ (-2)=99.982答案: C5.在等差数列a
3、n中,a 1=-2 016,其前 n 项和为 Sn,若 =2 002,则 S2 018 的值等于( )2 0122 0121010A.2 015 B.-2 016C.2 018 D.-2 017解析: 等差数列中,S n=na1+ d, =a1+(n-1) ,即数列 是首项为 a1=-2 016,公差为 的等差数列.因(-1)2 2 2为 =2 002,所以(2 012- 10) =2 002, =1,所以 S2 018=2 018(-2 016)+(2 018-1)1=2 018,故选 C.2 0122 0121010 2 2答案: C6.已知 f(n+1)=f(n)- (nN +),且 f
4、(2)=2,则 f(101)= . 14解析: 令 an=f(n),则 an+1-an=- , an为等差数列,且 a2=2. an=a2- (n-2)= . f(101)=a101=- .14 14 10-4 914答案: -9147.在等差数列a n中,若 a10,故 n 为 12.答案: 128.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若-121 时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21= (n2-41n)+630.3410. 导学号 93924029 已知各项都不相等的等差数列a n的前 6 项和为 60,且满足=a1a21.26(1)求数列a n的通项公式;(2)
5、若数列b n满足 bn+1-bn=an(nN +),且 b1=3,求数列 的前 n 项和 Tn.1解: (1)设等差数列 an的公差为 d(d0),则 61+15=60,1(1+20)=(1+5)2,解得 =2,1=5.则 an=2n+3.(2)由 bn+1-bn=an,得 bn-bn-1=an-1(n2,nN +),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2), bn=n(n+2),nN +. .1= 1(+2)=12(1- 1+2) Tn=12(1-13+12-14+1- 1+2)= .1
6、2(32- 1+1- 1+2)= 32+54(+1)(+2)二、B 组1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且当 x0 时,f(x)单调递减,若数列 an是等差数列,且 a30.又数列a n是等差数列,所以 a1+a5=2a30.由当 x0 时,f(x )单调递减,可知 f(x)在 R 上单调递减.又 a1f(-a5)=-f(a5),即 f(a1)+f(a5)0,故 f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案: C2.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把 100 个面包分给 5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,则最小的
7、1 份为( )17A. B. C. D.53 56 103 116解析: 设这 5 份分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d0),则有 (a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-17d+a+a+d+a+2d=100,故 a=20,d= ,则最小的一份为 a-2d=20- .556 553=53答案: A3.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列a n是等和数列 ,且 a1=2,公和为 5,则 a18 的值为 .解析: 由题意可得 an+an+1=5, an+1+an+
8、2=5. an+2-an=0. a1=2, a2=5-a1=3. 当 n 为偶数时,a n=3;当 n 为奇数时,a n=2. a18=3.答案: 34.在等差数列a n中,a 1=2,S10=15,记 Bn=a2+a4+a8+ ,则当 n= 时,B n 取得最大值. 2解析: S10=10a1+ d=15,a1=2, d=- 19 时,a n0.在 a2,a4,a8, 中,当 n4 时 0,当 n5 时2 20,故 Bn 取最大值时 ,n=4.2答案: 45.设等差数列a n的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n(mn),则它的前(m+n) 项的和 Sm+n= . 解析: 设a n
9、的公差为 d,则由 Sn=m,Sm=n,得 =1+(-1)2 =,=1+(-1)2 =. - ,得( m-n)a1+ d=n-m.(-)(+-1)2 mn, a1+ d=-1.+-12 Sm+n=(m+n)a1+ d=(m+n) =-(m+n).(+)(+-1)2 (1+-12 )答案: -(m+n)6.设数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= +2(n-1),nN +.(1)求数列a n的通项公式 an;(2)是否存在正整数 n,使得 + -(n-1)2=2 017?若存在 ,求出 n 值;若不存在,请说明理由.11+22 解: (1)Sn=nan-2(n-1)n.n2 时,a
10、n=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1)an-an-1=4an为 a1=1,d=4 的等差数列an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得 Sn=n4n-3-2(n-1)=(2n-1)n =2n-1 + =n2 11+22 令 n2-(n-1)2=2 017,解得 n=1 009.因此存在 n=1 009 满足题意.7. 导学号 93924030 一支车队有 15 辆车,某天依次出发执行任务.第 1 辆车于下午 2 时出发,第 2 辆车于下午 2 时 10 分出发,第 3 辆车于下午 2 时 20 分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车
11、,并且都在下午 6 时停下休息.(1)到下午 6 时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是 60 km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?解: 由题意,知第 1 辆车在休息之前行驶了 240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列 an,其中a1=240,公差 d=-10,则 an=240-10(n-1)=-10n+250.(1) a15=-1015+250=100, 到下午 6 时,最后一辆车行驶了 100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为 15=2 550(min)= (h), 这支车队当天总共行驶240+1002 852的路程为 60=2 550(km).852
