1、1.1.1 正弦定理课后篇巩固探究一、A 组1.已知在ABC 中,a=1,C=60,若 c= ,则A 为 ( )3A.30 B.60C.30或 150 D.60或 120答案: A2.在ABC 中,若A=60, B=45,BC=3 ,则 AC= ( )2A.4 B.2 C. D.3 3 332解析: 根据正弦定理,得 ,=则 AC= =2 .=3222323答案: B3.在ABC 中,a=1,b=x,A=30,则使 ABC 有两解的 x 的取值范围是 ( )A. B.(1,+)(1,233)C. D.(1,2)(233,2)答案: D4.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b
2、,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则B=( )12A. B. C. D.6 3 23 56解析: 根据正弦定理得,sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B,即 sin Acos C+sin Ccos A= ,12 12 sin(A+C)= ,即 sin B= ,12 12 B= 或B= .6 56又 ab, B= .故选 A.6答案: A5.在ABC 中,AC= ,BC=2, B=60,则C= . 6解析: 由正弦定理,得 ,2= 660 sin A= .22 BCAC, A 为锐角, A=45, C=75.答案: 7
3、56.在平地上有 A,B 两点,点 A 在山的正东,点 B 在山的东南,且点 B 在点 A 的南偏西 25距离为 300 m 的地方,在点 A 测得山顶的仰角是 30,则山高约为 m.(结果保留整数) 解析: 如图,设山高为 CD.由题意得 AB=300 m,ABD= 180-(45+65)=70.在ABD 中,AD= =300sin 70 .7045 2在ACD 中,CD=ADtan 30230(m).答案: 2307.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= . 45 513解析: 因为 cos A= ,cos C= ,且
4、A,C 为 ABC 的内角,所以 sin A= ,sin C= ,sin B=sin-(A+C)=sin 45 513 35 1213(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .6365又因为 ,所以 b= .= =2113答案:21138.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求B.13解: 由题设和正弦定理,得 3sin Acos C=2sin Ccos A,故 3tan Acos C=2sin C. tan A= , cos C=2sin C, tan C= .13 12 tan B=tan180-(A
5、+C)=-tan(A+C)= =-1, B=135.+-19. 导学号 93924002 已知 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 的对边,p =(cos C,sin C),q=(1,),且 pq.3(1)求C 的大小;(2)若 sin B=cos 2B,且 c=3,求 a,b 的值.解: (1) pq, . tan C= .1=3 3又 C(0, ), C= .3(2) sin B=cos 2B=1-2sin2B, 2sin2B+sin B-1=0. sin B= 或 sin B=-1(舍去).12 B , B= . A= .(0,23) 6 2由正弦定理,得 b= ,=31232
6、=3a= =2 .=31323二、B 组1.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,B=2A,则 b 的取值范围为( )A.( ) B.(1, )2, 3 3C.( ,2) D.(0,2)2解析: 由 ,得 b=2acos A.= 2 A+B=3A,2 A ,又B=2A ,6 3 2 A , A cos A ,4 6 4, 22 32 b .2 3答案: A2.设 a,b,c 分别是ABC 中A ,B,C 所对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0的位置关系是( )A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直
7、解析: 由题设条件可知 a0,sin B0,从而两条直线的斜率分别是 k1=- ,k2= .由正弦定理知 ,从而有 k1k2=-1,所以两条直线垂直.=答案: C3.(2017 湖南永州高三模拟)在 ABC 中,c=2,acos C=c sin A,若当 a=x0 时ABC 有两解,则 x0 的取值范围是( )A.(1,2) B.(1, )3C.( ,2 ) D.(2,2 )2 2 2解析: acos C=csin A,由正弦定理可知 sin Acos C=sin Csin A. A(0,), sin A0, cos C=sin C.又C(0,), tan C=1,解得 C= .4 当 a=x
8、0 时 ABC 有两解, x0sin 2x0,4解得 2x02 ,2则 x0 的取值范围是(2,2 ).2答案: D4.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csin A= acos C,则 sin A+sin B 的最大值为( )3A.1 B. 2C. D.33解析: 由 csin A= acos C 及正弦定理 ,3得 sin Csin A= sin Acos C,3即 sin C= cos C,因为C(0,),3所以 tan C= ,C= ,A= -B,33 23所以 sin A+sin B=sin +sin B(23-)= sin ,3 (+6)又 0B
9、,所以 B+ ,23 6 656所以当B+ ,即B= 时 ,sin A+sin B 的最大值为 .故选 C.6=2 3 3答案: C5.在ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是 三角形. 解析: 由 a=2bcos C 及正弦定理,得 sin A=2sin Bcos C, sin(B+C)=2sin Bcos C, sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, sin(B-C)=0, B=C, ABC 为等腰三角形.答案: 等腰6. 导学号 93924003 在 ABC 中,已知A= ,边 BC=2 ,设B=x,面积为 y.3 3(1)求函数 y=f(x)的
10、解析式和定义域;(2)求 y 的最大值. (注 : =12)解: (1)由正弦定理,得 AC= =4sin x,233 y=f(x)= 2 sin 4sin x=4 sin xsin ,12 3 -(+3) 3 (+3)定义域为 .|023(2)函数 y=f(x)=4 sin xsin3 (+3)=2 sin2x+6sin xcos x3= cos 2x+3sin 2x3 3= +2 sin .3 3 (2-6) 0x , - 2x- ,23 6 676 当 2x- ,6=2即 x= 时,y 的最大值为 3 .3 37.(2017 广东东莞月考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 asin 2B= bsin A.3(1)求角 B;(2)若 cos A= ,求 sin C 的值.13解: (1)在ABC 中,由 ,=可得 asin B=bsin A.又 asin 2B= bsin A= asin B,3 3 cos B= ,得B= .32 6(2)由 cos A= ,得 sin A= ,13 223则 sin C=sin-(A+B)=sin(A+B), sin C=sin sin A+ cos A= .(+6)=32 12 26+16
