1、21.2.4一元二次方程的 根与系数的关系,韦达,教学目标,1、掌握一元二次方程根与系数的关系。 2、能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 3、 根据方程求代数式的值。 4、学生经历观察发现猜想证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。,重点难点,重点：一元二次方程根与系数的关系。难点：运用根与系数的关系解决问题。,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(4) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,算一算：,（3）3x2-4x+1=0,1,-,若一元二次方程 ax2+
2、bx+c=0(a0)的两根为x1、x2, 则,.,.,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 =,-,注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写。,如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= , X1X2= .,P,q,一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦
3、达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理.,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,(1) x2 - 2x - 1=0,(3) 2x2 - 6x =0,(4) 3x2 = 4,(2) 2x2 - 3x + =0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,说一说：,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.,解法一：,设方程的另一个根为x2.,由根与系数的关系，得,2 x2 = k+1,2 x2 = 3k,解这方程组，得,x2 =3,k =2,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.
4、,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x2.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与系数的关系，得2 x23k,即2 x26, x2 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.,例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：（1） ; （2) ; (4) .,另外几种常见的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.,解：设方程的另一个
5、根为x2,则x2+1= , x2= ,又x21= , m= 3x2 = 16,解：,由根与系数的关系,得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,试一试：,4,1,14,12,则：,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,4.已知方程 的两个实数根是 且 ， 求k的值.,解：由根与系数的关系得x1+x2=-k， x1x2=k+2又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4K2-2k-8=0, =
6、K2-4k-8 当k=4时， =-80 k=4(舍去） 当k=-2时，=40 k=-2,解得：k=4 或k=2,探究：,5.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x22=0时，求m的值.,6.（2013荆州）已知：关于x的方程kx2(3k1)x+2(k1)=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2,且x1x2=2,求k的值.,2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.,1.一元二次方程根与系数的关系？,小结：,教学反思,选学内容，要求学生熟记根与系数关系的两个式子，归纳总结考试类型与解答方法，同时加强训练提高学生计算能力；,
