1、 第一章 解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色1数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示
2、范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研
3、究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。2注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的
4、关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容
5、的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方
6、，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”3重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。（三）教学内容及课时安排建议1.1 正
7、弦定理和余弦定理（约 4 课时）1.2 应用举例（约 4 课时）（四）评价建议1要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可
8、以直接应用的算法。2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题: 11 正弦定理（二课时）第 1 课时教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导
9、学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入复习引入：(师)同学们知道，初中三角形的学习中，有哪些边的关系，角的关系，边角关系呢？（生）边的关系：两边之和大于第三边。角的关系：三角和等于 1800。边角关系：大边对大角，小边对小角（师）很好
10、，那我们知道，三角形有六个元素：三个角，三条边。请问需要知道几个元素才能确定一个三角形呢？一个够不够？一条边？一个角？两个呢？讨论后（生）要三个元素：三边，两边一夹角，两边一对角，两角一对边，两角一夹边（师）好，那么是不是三个元素就能确定一个三角形呢？好，我们今天来研究一下如何解三角形。.讲授新课探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsin1cCA则 b ciiic从而在直角三角形
11、 ABC 中， C a BsinisinabcAB(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c BsiniAsin(图 11-3)从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即siniabBsincC思考：是否可以用其它方法证明这一等式？事实上，任意一个三角形，设外接圆半径为 R,则
12、有结论： ,证明如下：2iiiRA如图所示：圆 O 是 是外接圆，AB 为直径，所以 是直角三角形ABCACM则：sin,22isn=,2isinbAMBRRacAC则 ：又同 理 ：理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；siasibkBsinck（2） 等价于 ， ，siniABincCiiabAisicbCBinaAsicC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求
13、其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1 在 中，已知ABC003,12,4,Bbac求评述：这是两角一边的情况，只有一解。.课堂练习变式在 中，已知 00,5,c求.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；siniabABsinC0isiniabkABC或 ， ，sinakbkck(0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。.课后作业300000040,45=-2-,1,352=PCcABABDP1、 导 学 巩 固 提 升 演 练 第 2题 、 在 中 ， A=6， b， 则 此 三 角 形的 最 小 边 长
14、 为 （ ）、 、 、 1、 （ ）第 5题 、 在 中 ， 已 知 a， 则 等 于 （ ）、 1、 6、 、 或、 课 本 练 习 第 题在 C中 ， 已 知 下 列 条 件 ， 解 三 角 形（ 角 度 精 确 到 ， 边 长 精 确 到 1cm）（ 1） 5， 3，0=,42B（ 2） A6，第二课时教学过程一、讲评上节课作业 3 00000=21=35PABCcABD导 学 巩 固 提 升 演 练 第 题在 中 ， 已 知 a5， ， ， 则 等 于 （ ）、 1、 6、 、 或二、讲解新课 00()=2 261632ABCbBaAD 、 无 解 ， b,、 （ 一 个 解 ） 的
15、内 角 、 、 的 对 边 分 别 a,bc若 =， ， 则 等 于 （ ） 、 、 、 、三、课堂练习 20014,5()63,12PbaBA导 学 例（ ）四，课时小结五、课后作业 2 034 0-1=3=27 =39 ,6, -PCab1、 导 学 迁 移 训 练第 （ ） 题 、 已 知 a， b6， A， 解 三 角 形、 导 学 巩 固 提 升 演 练第 题 、 在 ABC中 ,若 ， c， ， 则 a（ ）、 导 学 巩 固 提 升 演 练第 题 、 在 中 ， 角 ,的 对 边 分 别 是 ,b， 且 A6， 那 么 满 足 条 件 的 B的 个 数 是第三课时课题: 1.1.
16、2 余弦定理教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入C如图 11-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求
17、边 c b aA c B(图 11-4).讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CababbcC B 22 c a从而 (图 11-5)2coscabC同理可证 2A2B于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabABcC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出
18、）从余弦定理，又可得到以下推论： 22cosbaAcB22cosbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析112=-ABCB例 、 在 中 ， ， ， 则例 2、 在 中 ， 已 知 a=7,b3求 最 大 角 和 sin课时小结（1）余弦
19、定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。.课后作业0100101 2,=153sin,3549,26,79,=5ABCCAaabCabc、 （ 导 学 ） 在 中 ， 已 知 a=,b， 求2、 （ 导 学 ） 在 中 ， i， 且 ，b=5,求 c3、 课 本 P组 第 3题 ()在 AB中 ， 已 知 下 列 条 件 ， 解 三 角 形（ 角 度 精 确 到 ， 边 长 精 确 到 1cm）、 课 本 组 第 题 ()在 中 ， 已 知 下 列 条 件 ， 解 三 角 形（ 角 度 精 确
20、到 ）第四课时1、讲评作业2、补充面积公式： 111sinsinsin222abCcAacBA3、继续在刚才讲评的作业中讲解如何求面积4、作业：课本 P18 练习第 1 题导学 P7 巩固提升演练第 6 题3=432ABCBD在 中 ， ， ， ，则 在 边 上 的 高 为 （ ）、 、 、 、导学 P12 巩固提升演练第 7、8 题0075-23=-ABCABCS、 已 知 中 ， 1， ， ，则 的 面 积 是8、 在 中 ， 3， ， 面 积 ，则第 5 课时课题: 2.2 解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用
21、的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，
22、得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程.课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三
23、角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解例 1、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出
24、另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得BCA= ，ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得AC = = )(180sina)sin(aBC = = i计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = cos22BCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=4
25、5 ， BDA =60略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。例 2、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度 CD.师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在 BCD 中师：在 BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求
26、出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC 边解:在 ABC 中, A=15 , C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理,= ,ABCsiniBC = =is10in5 7.4524(km)CD=BC tan DBCBC tan8 1047(m)答:山的高度约为 1047 米例 3、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01
27、n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 CAB。解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22= 1370.54670.54.67113.15根据正弦定理,= CABsinsinsin CAB = C= 15.37si040.3255,所以 CAB =19.0 ,75 - CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mil
28、e。.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课后作业课本第 19 页第 1、2、4 题课题：1.3 解三角形的综合问题课型：新授课 课时：三课时教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决恒等式证明，判断三角形形状及综合运用求角或边的题型。过程与方法：让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握
29、正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力，进一步培养学生研究与发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。教学重点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题、判断三角形形状及综合运用求角或边。教学难点：证明及综合运用教学过程：第一课时 判断三角形形状1. 讲授新课例 1：在 中，若 ，判断 的形状。ABCcosaAbBAC证：法一：将边化为角由正弦定理 2inR2sin可知 co得 s由于 、 为 的内角A故 或B即 或 2所以 是等腰三角形或直角三角形。C法二：将角化为边由余弦定理可得 222bcacb2
30、222()()44abcabc4220222()()0baabc或222c即 或ba故 是等腰三角形或直角三角形。ABC例 2：在 中，已知 ，确定 的形状。2cosinsiCAB分析：直接从角的角度： ()sin()或转化为边：22baccR让生练习。结论：等腰三角形变式：在上题已知的基础上加上条件 ，判断 的形状。()()3bcabABC分析：若转化为角，则(2sinsi2sin)(i2sinsi)(2sin)(i)RABRCARBR不好处理。故直接从边的角度分析： ，化简得 可)3abcabca进一步求解。结论：等边三角形2.小结：判断三角形形状同样有两个途径：将角化为边，将边化为角。但
31、要学会根据条件选择适当的方向。3.作业：1）在 中，边 所对的角分别为 ，且ABC,abc,ABC，判断 的形状；2）已知在 中， ，sincosab 22abc且 ，试判断 的形状A第二课时 证明恒等式1、 课题导入利用正弦定理、余弦定理可以证明恒等式2、 讲授新课例 1. 在 中，求证：ABC222siniabABcC分析：法一：可以从左边证到右边。根据 ，可得 。同理siaRsinaA， 。代入消去 即可得。2sinbRB2sincC2()R法二：可以从右边证到左边。根据 ，可得 。同理iaAsinaA， 。代入消去 即可得。si2si2R2()例 2. 在 中，求证：ABCcoscos
32、)abaBbC分析：法一：从右证到左，利用余弦定理的推论，将角化成边。法二：从左边分析： 22AcosbcaB22bC将三式相加得： 22222coscoscosabcAaBbaC两边同时消去 ，并移向，可得：ab22(cscs)BbC练习：在 中，求证：ABC222)tan(tan0AB分析：关于边的平方要联想到余弦定理，故变形处理可得： 22222()()abcabcc便可求证了。3小结证明三角恒等式，可以把角都化为边，也可以把边都化为角，统一后好求证。4作业1）在 中，求证：ABC()sin()sin()sin0bcAaBbC2）书 P20 14；3）在 中，求证：2i()snacC第三
33、课时 综合应用1. 复习巩固练习 1 在 中，若 ，求 。ABCsincoBab解：由 得 ，由于 是 的内角，故siniABabsincoBABC45o练习 2 在 中，若 ，求 。C223a解： ，由于 得cosccBa018oo30o2. 讲授新课例：在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且ACCabcsincsACa（1）求角 的大小（2）如果 ， ，求 的值。6ab4Bc解：（1）由于 得 ，由于 得sinicsin3oscs0Ctan3由于 得018ooC60（2）由 = 得|sAB1cs42ab8b由 得 6ab22o()caba36*8故 中 ABC33 作业（1）在 中
34、，若 且 ，tant3tan3ABAB72c，求 .（答案： ）32ABCSb12（2）在 中，已知 ， ，且最长边为 1，求角 的大小和tanta3C最短边的长。（3）已知 的三边满足 ，求角AB()()bcab（4）在 中，已知 ，Csin:sin:(sin)4:56CAB求 的最大角。A2.1 数列的概念与简单表示法教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前
35、 n 项和与 的关系na过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程课题导入三角形数：1，3，6，10，正方形数：1，4，9，16，25，讲授新课 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
36、 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1项（或首项） ，第 2 项，第 n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中， “4”是这个数列的第 1 项（或首项） ， “9”是这个数列中的第 6 项.数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第 n 项 ,321nanan结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1” ， “”是这个数列的第“3”项，等等 奎 屯王 新 敞新 疆14数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2
37、，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察：课本 P28 的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 151432 序号 1 2 3 4 5这个数
38、的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系na1即：只要依次用 1，2，3代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系5 数列的通项公式：如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，a那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是 ，也可以是 .2)(1nna |21cos|nan数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这
39、个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项6.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。()naf反过来，对于函数 y=f(x),如果 f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)， f(n)， .课堂练习根据下面数列的通项公式，写出它的四项。（1） (2)na12 2)1(nnb.课后作业课本 P33 习题 2.1A 组 1、2 导学 p19 迁
40、 1：下列数列那些是有穷数列？那些是无穷数列？那些是递增、递减数列？那些是摆动数列、那些是常数列？（1）1,0.84,0.84 2,0.843,0.844.。（2）2,4,6,8，10，。（3）7,7,7,7，。（4）0,0,0,0，。（5） ,.817,9（6）0，-1,2，-3,4，-5.。（第课时）课题导入复习引入数列及有关定义讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法如果数列 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公na式就叫做这个数列的通项公式。例 1.写出下列数列的一个通项公式，是它的前 4 项分别是下列各数。（1） (2)41,32,0,2练习：书 p31 4 2
41、、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势例 2 图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。3、 递推公式法 递推公式：如果已知数列 的第 1 项（或前
42、几项），且任一项 与它的前一项nana（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推1na公式递推公式也是给出数列的一种方法。例 3 设数列 满足 写出这个数列的前五项。na1().nna练习：课本 P31 练习 2课后作业书 33 页习题 2。1A 组的第 4、6 题 导学 22 页 （1）2,4,2,4,2,4，。（2） ,.15,3,（3）0.6,0.66,0.666,0.6666，。（4）9，99，999，99992.2等差数列教学目标知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的
43、各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点等差数列的性质教学过程课题导入创设情境上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本 P41 页的 4 个例子：0，5，10，15，20，25，48，53，58，6318，15.5
44、，13，10.5，8，5.510072，10144，10216，10288，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列讲授新课1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 。 公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ,若 =d (与 n 无关的数或字母)，n2，nN
45、，则此数na1n 列是等差数列，d 为公差。思考：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2等差数列的通项公式： 【或 】dn)(1nadm)(等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 奎 屯王 新 敞新 疆 若一等差数列 的首项是 ，公na1差是 d，则据其定义可得：即：a12 da12即：3 213即：d4 34由此归纳等差数列的通项公式可得： dnan)1(也可介绍累加法)已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差 d，便可求得其通项 。1 na由上述关系还可得： dma)(1即： dam)(1则： =n dmnanm )()1()( 即等差数列的第二通项公式 d= annam
46、例 1 求等差数列 8，5，2的第 20 项 -401 是不是等差数列-5，-9，-13 的项？如果是，是第几项？例 2 已知数列 的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定naqpnapq是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n2）是n 1a不是一个与 n 无关的常数。注：若 p=0，则 是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，na若 p0, 则 是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上 ,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q.数列 为等差数列的充要条件是其
47、通项 =pn+q (p、q 是常数) ，称其为第 3nana通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。课堂练习课本 P39 练习 1、2、3、4课后作业课本 P40 习题 2.2A 组的第 1 题导学 P25 第 4 题等差数列 中， 求 na,2,574a第 2 课时课题导入首先回忆一下上节课所学主要内容：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 =d ， （n 2，nN ） ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等na1差数列的公差（常用字母“d”表示） 奎 屯王 新 敞新 疆 2等差数列的通项公式：( 或 =pn+q (p、q 是常数)dn)(1nadm)(na3
