1、课时规范练A 组 基础对点练1(2018嘉兴调研)已知 an (nN *)，数列a n的前 n 项和为 Sn，则使 Sn0 的 n32n 101的最小值为( )A99 B100C101 D102解析：由通项公式得 a1a 100a 2a 99a 3a 98a 50a 510，a 101 0，故 选 C.3101答案：C2(2018昆明七校调研)在等比数列 an中，S n是它的前 n 项和，若 q2，且 a2 与 2a4 的等差中项为 18，则 S5( )A62 B62C32 D32解析：依题意得 a22a 436，q2， 则 2a116a 136，解得 a12，因此S5 62， 选 A.21
2、251 2答案：A3已知等差数列a n的各项均为正数，a 11，且 a3，a 4 ，a 11 成等比数列若52pq10，则 apa q( )A14 B15C16 D17解析：设等差数列a n的公差为 d，由 题意分析知 d0，因为 a3，a4 ，a11成等比数列，所52以 2a 3a11，即 2(12d)(110d)，即 44d236d450，所以 d(a4 52) (72 3d) 32，所以 an .所以 apa q (pq)15.(d 1522舍 去 ) 3n 12 32答案：B4已知数列a n满足 an2 a n1 a n1 a n，nN *，且 a5 ，若函数 f(x)sin 2x2c
3、os 22，记 ynf(a n)，则数列y n的前 9 项和为( )x2A0 B9C9 D1解析：由已知可得，数列a n为等差数列，f (x)sin 2x cos x1， f 1.(2)f(x )sin(22x )cos(x )1sin 2xcos x1，f(x)f(x) 2.a1 a9a 2a 82a 5 ，f(a1)f (a9)2419，即数列y n的前 9 项和为 9.答案：C5等差数列a n的公差为 2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则 an的前 n 项和 Sn( )An(n1) Bn(n1)C. D.nn 12 nn 12解析：因为 a2，a4，a8成等比数列，所以 a a
4、2a8，所以(a 16) 2(a 12)(a 114)，解得24a12.所以 Snna 1 2n( n1)故 选 A.nn 12答案：A6已知a n是等差数列，a 11，公差 d0，S n为其前 n 项和，若 a1，a 2，a 5 成等比数列，则 S8_.解析：因为a n为等差数列，且 a1，a2，a5成等比数列，所以 a1(a14d)(a 1d) 2，解得d2a 12，所以 S864.答案：647对于数列a n，定义数列a n1 a n为数列a n的“差数列” ，若 a12，a n的“差数列”的通项公式为 2n，则数列a n的前 n 项和 Sn_.解析：a n1 a n2 n，an(a na
5、 n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 12 n1 2 n2 2 222 22 n222 n.Sn 2 n1 2.2 2n1 2 2 2n 11 2答案：2 n1 28设 Sn为等比数列a n的前 n 项和若 a11，且 3S1,2S2，S 3 成等差数列，则an_.解析：由 3S1,2S2，S3成等差数列，得 4S23S 1S 3，即 3S23S 1S 3S 2，则 3a2a 3，得公比q3，所以 ana 1qn1 3 n1 .答案：3 n19已知数列a n的首项为 1，S n为数列a n的前 n 项和，S n1 qS n1，其中 q0，nN *.(1)若 a2，a 3，a 2
6、a 3 成等差数列，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e22，求 e e e .y2a2n 21 2 2n解析：(1)由已知，S n1 qS n1， Sn2 qS n1 1，两式相减得到 an2 qa n1 ，n1.又由 S2qS 11 得到 a2qa 1，故an1 qa n对所有 n1 都成立所以数列a n是首项为 1，公比 为 q 的等比数列从而 anq n1 .由 a2，a3，a2a 3成等差数列，可得 2a3a 2a 2a 3，所以 a32a 2，故 q2，所以 an2 n1 (nN*)(2)由(1)可知，a nq n1 .所以双曲线 x2 1 的
7、离心率 en .y2a2n 1 a2n 1 q2n 1由 e2 2 解得 q .1 q2 3所以 e e e (1 1)(1q 2)1q 2(n1) 21 2 2nn1 q 2q 2(n1) nq2n 1q2 1n (3n1) 1210(2018西安质检)已知等差数列 an的各项均为正数，a 11，前 n 项和为 Sn，数列 bn为等比数列，b 11，且 b2S26，b 2S 38.(1)求数列a n与b n的通项公式；(2)求 .1S1 1S2 1Sn解析：(1)设等差数列a n的公差为 d，d0，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，b nq n1 .依题意有Error!，解得Error
8、!，或 Error!(舍去)故 ann，b n2 n1 .(2)由(1)知 Sn12n n(n1)，12 2( )，1Sn 2nn 1 1n 1n 1 1S1 1S2 1Sn2(1 )( )( )12 12 13 1n 1n 12(1 )1n 1 .2nn 1B 组 能力提升练1设函数 f(x)(x3) 3x 1， an是公差不为 0 的等差数列，f(a 1)f(a 2)f (a7)14，则 a1a 2a 7( )A0 B7C14 D21解析：f( x)(x 3) 3x 1(x3) 3(x 3)2，而 yx 3x 是 单调递增的奇函数，f(x)(x3) 3( x3)2 是关于点 (3,2)成中
9、心对称的增函数又 an是等差数列，f(a1)f(a 2)f(a 7)1472，f(a4)2，即(a 43) 3(a 43)22，a4 3，a1 a2a 77a 421.答案：D2已知等差数列a n的公差和首项都不等于 0，且 a2，a 4，a 8 成等比数列，则( )a1 a5 a9a2 a3A2 B3C5 D7解析：等差数列a n中，a 2，a4，a8成等比数列，a a 2a8，(a13d) 2(a 1d)( a17d)，24d2 a1d，d0，da 1， 3.故选 B.a1 a5 a9a2 a3 15a15a1答案：B3定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项
10、为 0，m 项为 1，且对任意k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个解析：由题意可得 a10，a 8 1，a2，a3，a7中有 3 个 0、3 个 1，且满足对任意 k8，都有 a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，利用列举法可得不同的“规范 01 数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101
11、,01010011,01010101，共 14 个答案：C45 个数依次组成等比数列，且公比为2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A B22120C D2110 215解析：由题意可设这 5 个数分别为 a， 2a,4a， 8a,16a，故奇数项和与偶数项和的比值为 ，故选 C.a 4a 16a 2a 8a 2110答案：C5若 a，b 是函数 f(x)x 2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_解析：依题意有 a，b 是方程 x2pxq0 的两根， 则 abp， abq，由 p0，q0 可知a
12、0，b0.由题意可知 ab(2) 24q，a22b 或 b22a，将 a22b 代入 ab4 可解得 a4，b1，此 时 ab5 ，将 b22a 代入 ab4 可解得a1，b4，此时 ab5，则 p5，故 pq9.答案：96已知 an3 n(nN *)，记数列 an的前 n 项和为 Tn，若对任意的nN *， k3n6 恒成立，则实数 k 的取值范围是_(Tn 32)解析：T n ，所以 Tn ，则 原不等式可以转化为 k31 3n1 3 32 3n 12 32 3n 12 恒成立，令 f(n) ，当 n1 时，f(n) ，当 n2 时，f(n)0，当3n 623n 1 2n 43n 2n 4
13、3n 23n3 时，f(n) ，当 n4 时，f (n) ，即 f(n)是先增后减，当 n3 时，取得最大 值 ，所227 481 227以 k .227答案：k2277为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆(1)求经过 n 年，该市被更换的公交车总数 S(n)；(2)若该市计划 7 年内完成全部更换，求 a 的最小值解析：(1)设
14、an，bn分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依题意，得a n是首项为 128，公比为 150% 的等比数列，b n是首项为 400，公差 为 a32的等差数列所以a n的前 n 项和 Sn 256 ，1281 (32)n1 32 (32)n 1bn的前 n 项和 Tn400n a.nn 12所以经过 n 年，该市被更换的公交 车总数为S(n)S nT n256 400n a.(32)n 1 nn 12(2)若计划 7 年内完成全部更换，则 S(7)10 000，所以 256 4007 a10 000，(32)7 1 762即 21a3 082，所以 a146 .1621
15、又 aN*，所以 a 的最小值为 147.8已知数列a n的前 n 项和为 Sn，点(n，S n)(nN *)在函数 f(x) x2 x 的图象上12 12(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，不等式 Tn loga(1a) 对任意正整数 n 恒成立，求实1anan 2 13数 a 的取值范围解析：(1)点( n，Sn)在函数 f(x) x2 x 的图象上， Sn n2 n.12 12 12 12当 n2 时，S n1 (n1) 2 (n1)，12 12两式相减得 ann.当 n1 时，a 1S 1 1 ，符合上式，12 12an n(nN*)(2)由(1)得 ，1anan 2 1nn 2 12(1n 1n 2)Tn 1a1a3 1a2a4 1anan 2 12(1 13) 12(12 14)12( 1n 1 1n 1) 12(1n 1n 2)12(1 12 1n 1 1n 2) .34 12( 1n 1 1n 2)Tn 1T n 0，1n 1n 3数列 Tn单调递 增，Tn中的最小 项为 T1 .13要使不等式 Tn loga(1a) 对任意正整数 n 恒成立，只要 loga(1a)，即 loga(1a)0，a0，0a，0a ，12即实数 a 的取值范围为 .(0， 12)
