1、 ADCBE高 考 数 学 大 题 训 练 151. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 中， ， ， ， ABCDEEBACDBCDA2（）求证： ；（）线段 上是否存在点 ，使 / 平面 ？若存在，F求出 的值；若不存在，说明理由F1. (本小题满分 14 分)（）证明：取 中点 ，连结 ， ABOED因为 ，所以 2 分E因为 ， ，CD2所以 ， 又因为 ，所以四边形 为矩形， C所以 4 分 因为 ，所以 平面 6 分OEABEOD所以 7 分 DAB（）解：点 满足 ，即 为 中点时，有 / 平F12FF面 8 分C证明如下：取 中点 ，连接 ， 9EGC分因为 为 中点，所以
2、， AAB21因为 ， ，所以 ， BD21FDG所以四边形 是平行四边形，所以 12 分CFGC因为 平面 ， 平面 ， 13 分EE所以 / 平面 14 分 2. (本小题满分 14 分)如图，现有一个以 为圆心角、湖岸 与 为半径的扇形湖面 .现欲在AOBOABAOB弧 上取不同于 的点 ，用渔网沿着弧 （弧 在扇形 的弧 上） 、半AB,CC径 和线段 （其中 ） ，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域OCD/和养殖区域. 若 ， ， .cm13（1）用 表示 的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧 、半径 和线段 长度之和）的取值范围.ACOCD2. (本小题满分 14 分)解：(
3、1) 由 CDOA，AOB ， AOC，得 OCD，3ODC ，COD .23 3在OCD 中，由正弦定理，得 CD sin ， (6 分)23 (3 ) (0，3)(2) 设渔网的长度为 f()由(1) 可知，f() 1 sin .(8 分)23 (3 )所以 f()1 cos ，因为 ，所以 ，23 (3 ) (0，3) 3 (0，3)令 f()0，得 cos ，所以 ，所以 .(3 ) 32 3 6 6 (0，6) 6 (6，3)f() 0 f() 极大值 所以 f() .(2， 6 236 故所需渔网长度的取值范围是 .(14 分)(2， 6 236 18. (本小题满分 16 分)3
4、 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点2:1(0)xyCab1(2,0)F2(,)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1,0)M（）求椭圆 的方程；（）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点,设点 ，记直线 ，(1,0)lCAB(3,2)NAN18. (本小题满分 16 分)BN解:（）依题意，由已知得 ， ，由已知易得 ,2c2ab1bOM解得 . 3 分3a则椭圆的方程为 . 4 分21xy(II) 当直线 的斜率不存在时，由 解得 .l 2, 3xy61,3xy设 ， ，则 为定值. 6 分6(1,)3A(,)B1262k当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： .l l(1)ykx将
5、 代入 整理化简，得 .7 分(1)ykx213y223630k依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设 ， ，lC1(,)Axy2(,)B则 ， . 9 分212631kx23kx又 ， ，1()y2()y所以 10 分12123ykx12211()()3x22111()()9()kxkx122211()4()63()12223() 1691kkx.15 分2().61k综上得 为常数 2. .16 分2的斜率分别为 ， ， 求证： 为定值1k12k4. (本小题满分 16 分)已知：函数 ，在区间 上有最大值 4，baxxg12( )1,0(3,2最小值 1，设函数 f)(（1）求 、 的值
6、及函数 的解析式；abxf（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围；02)(xkf 1,k（3）如果关于 的方程 有三个相异的实数根，求实0)34()1xxtf数 的取值范围t4. (本小题满分 16 分)解：（1） ，由题意得：baxxg12(得 或 得1413)(20bag0a213)(40bag（舍）b， 1a0， 4 分2)(xg21)(xf（2）不等式 ，即 ，0(xkf xxk1)2)1xxk设 ， ， ， 10 分,t2)(tk0)1(min2tk（3） ，即 0314)(xxtf 02314txxx令 ，则 012xu 0)14()2(2tut(记方程 的根为 、 ，当
7、 时，原方程有三个相异实根，)(u2210记 ，由题可知，)()32tt或 14 分0)1(4t1230)(4tt时满足题设 16 分4t5. (本小题满分 16 分)已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，满足anS2anT.2141,()3nnaTpS（1）求 p 的值及数列 的通项公式；（2） 问是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，,()mkn,nmka指出 的关系，若不存在，请说明理由.,nmk若 成等差数列，求正整数 的值.12,xynna ,xy5. (本小题满分 16 分)解：（1）n=1 时， ，即 ， .2114()3TpS241()3p
8、02或当 时， .将 n=2 代入，得 . .0p2nn22aa1或 -与条件 矛盾. a0当 时， .2241()3nnTS将 n=2 代入，得 . .22a21,a由，得 11()nn-，得 222()3naS则 ，即1113(4)(nnn1113(4)nnaSa.则 014n则 221nnaS-，得 213,(*)nnnaaaN数列 是等比数列，则 ，符合题意. 8 分21,n (2) 假设存在正整数 ，使得 成等差数列. ,()mk,nmka则 ，当且仅当 且 成立.11122knmnk即 0,1即 时取等号，与 矛盾.k假设不成立，则不存在正整数 ，使得 成等差数列. ,()k,nm
9、ka若 成等差数列，即 成等差数列.12,xynna 12,nxnya由 知， 160,xy分6 （本题满分 14 分）已知函数 （ ， ）的图像如图所示，直线 ，()2sin()fx0238x是其两条对称轴78（1）求函数 的解析式；()fx（2）若 ，且 ，求 的值6538()8f解：(1) 由题意， ， T .T2 78 38 2又 0，故 2， f( x)2sin(2x )(2 分)由 f( )2sin( )2，解得 2k (kZ)38 34 4又 ， ， f(x)2sin(2x )(5 分)2 2 4 4由 2k 2x 2k (kZ)，知 k x k (kZ)，2 4 2 8 38
10、函数 f(x)的单调增区间为k ，k (kZ)(7 分)8 38(2) 解法 1：依题意得 2sin(2 ) ，即 sin(2 ) ，(8 分)4 65 4 35 ， 02 .8 38 4 2 cos(2 ) ，(10 分)4 1 sin22 4 1 352 45f( )2sin(2 ) 8 4 4 sin(2 ) sin(2 )cos cos(2 )sin ( ) ，4 4 4 4 4 4 2235 45 7210 f( ) .(14 分)8 725解法 2：依题意得 sin(2 ) ，得 sin2cos2 ，(9 分)4 35 325 ， 02 ，8 38 4 2 cos( ) ，(11
11、分)4 1 sin22 4 1 352 45由 cos(2 ) 得 sin2cos2 .4 45 425得 2sin2 ，725 f( ) .(14 分)8 725解法 3：由 sin(2 ) 得 sin2cos2 ，(9 分)4 35 325两边平方得 1sin4 ，sin4 ，1825 725 ， 4 ，8 38 2 32 cos4 ，(11 分)1 sin242425 sin 22 .又 2 ， sin2 ，1 cos42 4950 4 34 7210 f( ) .(14 分)8 7257 （本题满分 14 分）设函数 (kN *，aR) 2()cos(1)lnfxakx(1) 若 ，
12、，求函数 的最小值； 01kf(2) 若 是偶数，求函数 的单调区间f解：（1）因为 ， ，所以 ， （201ka2()lnfxx21()xf） ，0x由 得 ，且当 时， ， 在 上是增函数；当 时，()fxx()0f()f1,)x， 在 上是减函数故 （5 分）()f0,1minx（2）当 是偶数时， ， k2lfxa2()2axf所以当 时， ， 在 上是增函数；（9 分）0a()0f()f,当 时，由 得 ，且当 时， ，当 时，xaxa()0fxa，所以 在 上是减函数， 在 上是增函数 （13 分）()fx()f,)()f,综上可得当 时， 的增区间为 ；0a()fx(0,)当 时
13、， 的减区间为 ，增区间为 （14 分）f,a(,)a8 （本题满分 15 分）中， 、 、 所对的边为 、 、 已知 ，ABCbc(2cos,3in)mA， (cos,2)nA1mn（1）若 ， ，求 的面积 的大小；3acABCS（2）求 的值os(60)b（1）由 可知， ， （4 分）2c3sinco1AAsin216A因为 ，所以 ,所以 ，即 （6 分）063由正弦定理可知： ，所以 ，因为siniacAC1sin220,C所以 ，所以 （8 分）6C2B所以 （10 分）13ABS（2）原式 =0sinico6C0sin2i3co6BC0sin(12)sin3co6C= = （1
14、4 分）03sin2co6C0s3co62C29 （本题满分 15 分）某厂家拟在 2011 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用 万元满足 （ 为常数） ，如果不搞促销活动，x0()m31kxm则该产品的年销售量是 1 万件. 已知 2011 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用） （1）将 2011 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；y（2）该厂家 2011 年的促销费用投入
15、多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当 时， ， 即 ，0m1x3k2 ，每件产品的销售价格为 元.31x86.5x2009 年的利润 )168(5.1mxxy（8 分）m2348 )0(29)1(m（2） 时， .06()1 ，当且仅当 ，即 时， .（15 分）92y13maxy答：该厂家 2011 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元.（16 分）10 （本题满分 16 分）已知函数 ， ，其中 ， 且 函数2()lnfxax()2gbxabR2在 上是减函数，函数 在 上是增函数f1,41,4（1）求函数 ， 的表达式；()fx（2）若不等式
16、对 恒成立，求实数 的取值范围 ()mg,1xm（3）求函数 的最小值，并证明当 ， 时()2hxf*nN2()3fng解：（1） 对任意的 恒成立，所以 ，所以 ；20afx1,4x2axa同理可得 ；b,;b；（4 分）2ln,2fxxgx（2） ， ，且函数 在 上是减函数，函数 在(1)017()04()fx1,4()gx上是增函数所以 时， ， ， （6 分）,4,xf0g()fm有条件得 ， ；（8 分）2min()(1)ln1ffgx2（3） ，当 时，2()()hx ()1()xx0， 当 时， 当 时，2(1)102xx0,1x0,hx(1,)0h在 递减，在 递增 （12
17、分）x,1(1,)x当 时， ；2n27ln23ln423h，所以 ， 时 成立；（16 分）3h*nN()fg11 （本题满分 16 分）设数列 、 满足 ， ， ， nab14a2512nab12nnab（1）证明： ， （ ） ；2n0n*N（2）设 ，求数列 的通项公式；3lognnacnc（3）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为nSnbnTnab，求证： nP83nSTP2（1） ， 两式相乘得 ， 为常数列，12nab1nnab1nnabnab；（2 分）14nb；na1()2nna；0nb（若 ，则 ，从而可得 为常数列与 矛盾） ；（4 分）2n1nna1a（2） ，3lognnca211333322 2llloglognn nnn nnaaac c 又因为 ， 为等比数列， （8 分）1cn12nc（3）由 可以知道， ，2n1112223433nnna令 ，数列 的前 项和为 ，很显然只要证明 ，124ndndnD8nD23n因为 ，124nd222 1431nnn nd n223nn 21244nnd所以 nD123()nd 21 1nd2248182134343nnn 所以 （14 分）8nS又 ，故 ，4,2ab4,2nnP且 T所以 （16 分）833nT
