1、立体几何 -平行与垂直练习题1. 空间四边形 SABC 中， SO 平面 ABC，O 为 ABC 的垂心，求证：（1）AB 平面 SOC（2）平面 SOC 平 面 SABO SD CBA2. 如图所示，在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中，E，M 分别为 BB1， A1C 的中点，求证：（1） EM 平面 A A1C1C; （2）平面 A1EC 平面 AA1C1C；EMA1B1C1ABC3. 如图,矩形 ABCD 中,AD平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的点,且 BF平面 ACE,G为 AC 与 BD 的交点.(1)求证:AE平面 BCE.(2)求证:AE平面 BFD.4. 设 P
2、,Q 是边长为 a 的正方体 AC1 的面 AA1D1D,面 A1B1C1D1 的中心,如图,（1）证明 PQ平面 AA1B1B；（2）求线段 PQ 的长.5. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中， ， ， ， ，PDABC面 /DAB5C， ， （）当主视图方向与向量 的方向相同时，画出3DC4A60四棱锥 的三视图.( 要求标出尺寸);（）若 为 的中点，求证： 面PBMPM/6. 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，且DAB=60,AD=AA 1，F 为棱 BB1的中点，M 为线段 AC1 的中点.求证：（1）直线 MF平面 ABCD；（2）平面 AFC1平面 ACC1A
3、1.7. 如图，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：MN平面 PAD；（2）求证：MNCD；（ 3）若二面角 P-DC-A=45，求证：MN平面 PDC.8. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M，N 分别是 AB，A1C 的中点(1) 求证：MN平面 BCC1B1；(2)求证：MN平面 A1B1C；(3)求三棱锥 MA1B1C 的体积9. 如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC底面 ABCD，且AB=2，SC=SD= . 求证：平面 SAD平面 SBC.21
4、0. 如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACBC(1) 求证：平面 AB1C1平面AC1；(2) 若 AB1A 1C，求线段 AC 与 AA1 长度之比；(3) 若 D 是棱 CC1 的中点，问在棱AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，试确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由11. 如图，把等腰 RtABC 沿斜边 AB 旋转至ABD 的位置，使 CDAC,（1）求证：平面 ABD平面 ABC；（2）求二面角 C-BD-A 的余弦值.A1ABCD1B112. 如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面ABCD
5、是边长为 2 的菱形，BAD=60，N 是 PB 中点，过 A、D 、N 三点的平面交 PC 于M，E 为 AD 的中点.（1）求证：EN平面 PCD；（2）求证：平面 PBC平面ADMN；（3）求平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的正切值.13如图,AB 为O 直径,C 为O 上一点,PA平面 ABC,A 在 PB,PC 上的射影分别为 E,F,求证:PB 平面 AFE.14在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ABCD,ABBC,AB=BC=1,DC=2,点 E 在PB 上.(1)求证:平面 AEC平面 PAD.(2)当 PD平面 AEC 时,求 PEEB 的值.15.
6、如图，已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PA=AC= AB，N 为 AB 上12一点，AB=4AN，M，D，S 分别为 PB，AB，BC 的中点(1)求证：PA平面 CDM；(2)求证：SN 平面 CDM.16. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M，G 分别是 AB，DF 的中点(1)求证：CM平面 FDM；(2)在线段 AD 上(含 A，D 端点 )确定一点 P，使得 GP平面 FMC，并给出证明1 （2014山东）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面PCD，AD BC，AB=BC= AD，E ，F 分别为线段 AD，PC 的中点（）求证：AP平面 BEF；（
7、）求证：BE平面 PAC2 （2014四川）在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形（）若 ACBC，证明：直线 BC平面 ACC1A1；（）设 D、E 分别是线段 BC、CC 1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论3 （2014湖北）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PD CD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD， ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面 PAD；（）求证：BC平面 PBD；（）设 Q 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 的值，使得二
8、面角 QBDP 为 454 （2014江苏）如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PAAC，PA=6，BC=8 ，DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC5 （2014黄山一模）如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E 、F 分别是 AB、PD 的中点（1）求证：AF平面 PCE；（2）求证：平面 PCE平面 PCD；（3）求四面体 PEFC 的体积6 （2014南海区模拟）如图，四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABCD，ABAD ，PAB 和 PAD 是两个边长为 2
9、的正三角形，DC=4，O 为 BD 的中点，E 为 PA 的中点（）求证：PO 平面 ABCD；（）求证：OE 平面 PDC；（）求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值7 （2014天津模拟）如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，下底 ABCD 是边长为 2 的正方形，上底 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形，侧棱 DD1平面 ABCD，DD 1=2（1）求证：B 1B平面 D1AC；（2）求证：平面 D1AC平面 B1BDD18 （2013北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD ，CD=2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAADE 和 F 分别是 CD
10、 和 PC 的中点，求证：（）PA 底面 ABCD；（）BE平面 PAD；（）平面 BEF平面 PCD9 （2013天津）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等D，E，F 分别为棱 AB，BC ，A 1C1 的中点（）证明：EF平面 A1CD；（）证明：平面 A1CD平面 A1ABB1；（）求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值10 （2013浙江）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD= ，PA= ，ABC=120，G 为线段 PC 上的点（）证明：BD平面 PAC；（）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与
11、 PAC 所成的角的正切值；（）若 G 满足 PC面 BGD，求 的值11 （2013湖南）如图在直棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90，AB=AC= ，AA 1=3，D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB1 上运动（1）证明：ADC 1E；（2）当异面直线 AC，C 1E 所成的角为 60时，求三棱锥 C1A1B1E 的体积12 （2012山东）如图，几何体 EABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形，CB=CD，ECBD （）求证：BE=DE；（）若BCD=120 ，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面 BEC13 （2012江苏）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A
12、 1B1=A1C1，D，E 分别是棱BC，CC 1 上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为 B1C1 的中点求证：（1）平面 ADE平面 BCC1B1；（2）直线 A1F平面 ADE14 （2011天津）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ADC=45，AD=AC=1，O 为 AC 中点，PO 平面 ABCD，PO=2，M 为 PD 中点（）证明：PB 平面 ACM；（）证明：AD平面 PAC；（）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值15 （2011北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2，BAD=60 （）求证：BD平面 PAC；（）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长16 （2010深圳模拟）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面ABCD，E 、F 分别是 AB、SC 的中点（1）求证：EF平面 SAD（2）设 SD=2CD，求二面角 AEFD 的大小17 （2010重庆）如图，三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是 PB上一点，且 CD平面 PAB（1）求证：AB平面 PCB；（2）求二面角 CPAB 的大小的余弦值
