1、第 9 模块 第 4 节知能演练一、选择题1对于平面 和共面的直线 m、n，下列命题中真命题是( )A若 m ，mn，则 n B若 m，n，则 mnC若 m，n，则 mnD若 m、n 与 所成的角相等，则 mn解析：对于平面 和共面的直线 m、n，真命题是“若 m，n ，则 mn” ，选 C.答案：C2若实数 x、y 、z 满足 x2 y2z 21，则 xyyz zx 的取值范围是( )A1,1 B ，112C1， D ， 12 12 12解析：xyyzzx x 2y 2z 21，x2 y22 y2 z22 x2 z22又2(xyyz zx )(xy z) 2(x 2y 2z 2)011，xy
2、yzzx .12答案：B3设函数 f(x)是定义在 R 上，周期为 3 的奇函数，若 f(1)0 D10，即 3a(a1)0.3aa 1a0.故选 C.答案：C4设 a，b，c( ，0)，则 a ，b ，c 1b 1c 1a( )A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：a b c 6，三者不能都大于1b 1c 1a2.答案：C二、填空题5已知 a，b 是不相等的正数，x ，y ，则 x，y 的大小关系是a b2 a b_解析：y 2( )2ab x 2.a b2(a b)2 (r(a) r(b)22答案：xb，cd，abcd0 ；ac bdab0 b0，c d
3、0 .其中为真命题的是_(填所有正确命题的代号)ad bc解析：利用不等式的性质可证得是真命题答案：三、解答题7设数列a n是公比为 q 的等比数列，S n 是它的前 n 项和(1)求证：数列S n不是等比数列；(2)数列S n是等差数列吗？为什么？解：(1)假设数列S n是等比数列，则 S S 1S3，即 a (1q) 2a 1a1(1qq 2)，2 21因为 a10，所以(1q) 21qq 2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列S n不是等比数列(2)当 q1 时，S n是等差数列；当 q1 时， Sn不是等差数列，否则 2S2S 1S 3，即 2a1(1q) a1a 1(1qq 2
4、)，得 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列S n不是等差数列8已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.求证： .1a b 1b c 3a b c解：要证原式，只需证 3，即 1，a b ca b a b cb c ca b ab c即只需证： 1，而 AC2B ，B60，bc c2 a2 abab b2 ac bcb2a 2c 2ac. bc c2 a2 abab b2 ac bc 1.bc c2 a2 abab a2 c2 ac ac bc bc c2 a2 abab a2 c2 bc从而原式得证高考模拟 预测1 a，b，c 为互不相
5、等的正数，且 a2c 22bc ，则下列关系中可能成立的是( )Aa bc BbcaCbac Da cb解析：由 a2c 22ac2bc 2acb a，可排除 A、D ，令 a2，c1，可得 b ，可52知 C 可能成立答案：C2用反证法证明“如果 ab，那么 ”假设内容应是3a3b( )A. 3a 3bB. 的否定是 ，即 或 1; (2)ab2；(3)ab2; (4)a2b 22；(5)ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是( )A(2)(3) B(1)(2)(3)C(3) D(3)(4)(5)解析：若 a ，b ，则 ab1，12 23但 a2，故(4)推不出；若
6、a2，b3，则 ab1，故(5)推不出；对于(3)，即 ab2 ，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，a，b 中至少有一个大于 1.答案：C4凸函数的性质定理为：如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意 x1，x 2，x n，有 f(x1) f(x2) f(xn)nf( )，已知函数 ysin x 在区间(0 ，)上是凸函数，则在ABC 中，x1 x2 xnnsinAsin BsinC 的最大值为_解析：f(x) sinx 在区间(0，) 上是凸函数，且 A、B、C (0， )， f( )f
7、( )，f(A) f(B) f(C)3 A B C3 3即 sinAsinBsinC3sin ，3 332所以 sinAsinBsinC 的最大值为 .332答案：3325 (1)设 x 是正实数，(1)求证：(x1)( x21)( x31)8x 3；(2)若 xR，不等式(x 1)(x 21)(x 31)8x 3 是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的 x 的值解：(1)x 是正实数，由均值不等式知x12 ，1x 22x，x 312 ，x x3故(x1)(x 21)(x 31)2 2x2 8x 3(当且仅当 x1 时等号成立)x x3(2)若 xR，不等式(x
8、 1)(x 21)(x 31)8x 3仍然成立由(1)知，当 x0 时，不等式成立；当 x0 时，8x 30，而(x1)(x 21)(x 31)(x 1) 2(x21)( x2x1)(x1) 2(x21)(x )2 0，12 34此时不等式仍然成立备选精题6点 P(x0，y 0)在椭圆 1( ab0)上，x 0acos，y 0bsin ，0 .直线 l2 与直x2a2 y2b2 2线 l1： x y1 垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 l2 的倾斜角为 .x0a2 y0b2(1)证明点 P 是椭圆 1 与直线 l1 的唯一交点；x2a2 y2b2(2)证明 tan，tan
9、，tan 构成等比数列解：(1)解法一：由 x y1 得 y (a2x 0x)，代入椭圆方程 1，x0a2 y0b2 b2a2y0 x2a2 y2b2得( )x2 x( 1) 0.1a2 b2x20a4y20 2b2x0a2y20 b2y20将Error! 代入上式，得 x22acosxa 2cos20，从而 xacos.因此，方程组Error!有唯一解Error!即 l1与椭圆有唯一交点 P.解法二：显然 P 是椭圆与 l1的交点，若 Q(acos1，bsin 1),0 12 是椭圆与 l1的交点，代入 l 的方程 x y1，得 coscos1sinsin 11，cosa sinb即 cos( 1)1， 1，故 P 与 Q 重合解法三：在第一象限内，由 1 可得 yx2a2 y2b2，y 0 ，baa2 x2 baa2 x20椭圆在点 P 处切线的斜率 ky ( x0) ，bx0aa2 x20 b2x0a2y0切线方程为 y (xx 0)y 0，b2x0a2y0即 1.xx0a2 yy0b2因此，l 1就是椭圆在点 P 处的切线根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 l1的唯一交点(2)tan tan，l 1的斜率为 ，l 2的斜率为 tan tan，y0x0 ba x0b2y0a2 y0a2x0b2 ab由此得 tantantan 20，tan，tan，tan 构成等比数列
