1、第1讲 空间几何体,专题二 立体几何,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.,热点一 三视图与直观图,例1 (1)(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的
2、凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是,解析,答案,解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.,(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地 的面积为_.,解析,答案,解析 如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E， 则在RtABE中，AB1，ABE45，,而四边形AECD为矩形，AD1，,由此可还原原图形如图所示.,且ADBC，ABBC，,空间几何体的三视
3、图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.,跟踪演练1 (1)(2018浙江省台州中学模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为,解析,答案,解析 由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的
4、半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D选项中的图形，故选D.,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为,解析,答案,解析 取AA1的中点H，连接GH， 则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线. 延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N， 则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线. 同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M， 则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线. 所以过点E，F，
5、G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN. 故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示.,热点二 几何体的表面积与体积,空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.,例2 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为,解析,答案,(2)(2018杭州质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_.,解析,答案,(1)求多面
6、体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和. (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,跟踪演练2 (1)(2018宁波期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r等于 A.1 B.2 C.4 D.8,解析,答案,解析 由三视图得该几何体为一个半球和一个半
7、圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，,(2)(2018绍兴质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是 A.2 B.3 C.4 D.6,解析,答案,热点三 多面体与球,与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接
8、点”)作出截面图.,例3 (1)已知正三棱锥SABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 则球O的表面积为A.16 B.18 C.24 D.32,解析,答案,解析 设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，,解得R2，所以球的表面积为S4R216.,(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为,解析,答案,解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20，24，16的长方体ABCDA1B1C1D1中， 三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥，其中KC19，C1LLB112，B1B16，,则KC1
9、LLB1B，KLB90， 故可求得三棱锥各面面积分别为SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250， 故表面积为S表800.,三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点. (2)PABC为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线.,跟踪演练3 (1)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.13 B.20 C.25 D.29,解析,答案,解析 把三棱锥PABC放到长方体中，如图所示，,(2)已知一个圆锥的侧面
10、积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则 等于 A.12 B.13 C.14 D.18,解析,答案,解析 如图， 由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，,故ADC30，则DEF为等边三角形， 设B为DEF的重心，过B作BCDF， 则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，,真题押题精练,真题体验,1.(2018全国改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_.,解析
11、,答案,解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示.,圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.,2.(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_.,解析,答案,解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱. 由三视图可知，正方体的棱长为2，,3.(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.,解析,答案,4.(2017全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SC
12、A平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_.,解析,答案,36,解析 如图，连接OA，OB. 由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知，OASC，OBSC. 由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA平面SCA， OA平面SCB. 设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r， 三棱锥SABC的体积,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点.此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积.,1.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为,因为P
13、D平面ABCD，且四边形ABCD是正方形， 易得BCPC，BAPA，,答案,解析,押题依据,押题依据 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点.,2.在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB 则正三棱锥SABC的外接球的表面积为 A.6 B.12 C.32 D.36,解析 因为三棱锥SABC为正三棱锥， 所以SBAC， 又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC， 所以SB平面SAC， 所以SBSA，SBSC， 同理SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，,所以SASBSC2， 所以(2R)232212， 所以球的表面积S4R212，故选B.,押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注.,3.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_.,答案,解析,押题依据,解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r，,
