1、第六节 二次曲面分类,几个具体的二次曲面:,椭圆柱面:,双曲柱面:,抛物柱面:,二次锥面:,2018年12月22日星期六,1. 椭球面,方程:,(1) 对称性:,2018年12月22日星期六,(3) 形状:,与坐标面的交线: 如,是椭圆.,同样, 曲面与另外两个坐标面的交线也是椭圆.,(4) 截线投影:,2018年12月22日星期六,2 单叶双曲面和双叶双曲面,单叶双曲面方程:,(1) 对称性: 三坐标平面是对称面; 三坐标轴是对称轴; 原点是对称中心.,(2) 范围:,曲面上的点均在柱面,的外面或柱面上(相切).,(3) 形状:,与z = 0相截:,为一椭圆(腰圆),2018年12月22日星
2、期六,截口: 与z = h 相截:,为一椭圆.,随 |h| 增大, 截口椭圆的长短半轴,均增大.,2018年12月22日星期六,(4) 渐近锥面:,为渐近锥面.,锥面截口:,为一椭圆. 长短半轴分别为,2018年12月22日星期六,双叶双曲面方程:,(1) 对称性: 同单叶双曲面.,(2) 范围: |z| c .,为双曲线.,截口:,为椭圆.,(4) 渐近锥面:,2018年12月22日星期六,3 椭圆抛物面和双曲抛物面,椭圆抛物面:,方程:,(1) 对称性,对称轴:,( z 轴),(2) 范围: z 0,是抛物线.,截口:,是点或椭圆.,2018年12月22日星期六,双曲抛物面,方程:,(1)
3、 对称性 (同椭圆抛物面),对称轴: z 轴,是开口向下的抛物线.,是开口向上的抛物线.,是两条相交直线.,2018年12月22日星期六,截口:,是双曲线,h 0 , 实轴平行 y 轴.,因此, 鞍面是抛物线,平行移动的轨迹,在移动过程中, 其顶点沿抛物线,滑动.,2018年12月22日星期六,4 二次曲面的种类(注意：共有17种),一般形式:,令:,则二次曲面的一般形式可记为:,2018年12月22日星期六,定义,引理,则原方程化为:,2018年12月22日星期六,1) 不含一次项:,椭球面 虚椭球面 原点,单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面,椭圆柱面 虚椭圆柱面 直线,2018年12月22日
4、星期六,2) 含有一次项(抛物面):,椭圆抛物面:,双曲抛物面:,抛物柱面:,2018年12月22日星期六,5 直纹面,曲面中，有一类曲面是由 直线 按某种规律移动而构成的.,例:,1) 柱面, 锥面.,定义 3.4,2018年12月22日星期六,特点 : 无界, 连通.,下列曲面不构成直纹面:,椭球面(有界), 双叶双曲面(不连通), 椭圆抛物面(有界).,定理 3.4,单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面,证明:,1) 单叶双曲面 S:,或,2018年12月22日星期六,有非零解.,2018年12月22日星期六,或,将其展开后:,或,考虑直线族：,2018年12月22日星期六,2) 双曲抛物面:,类似地考虑直线族:,L1,L2,2018年12月22日星期六,单叶双曲面的直母线族:,L1,2,方向:,2018年12月22日星期六,双曲抛物面的直母线族:,L1,2,类似可求得:,2018年12月22日星期六,第十八次课作业线性代数与解析几何 276页:37( 1), (3),(5), 277页: 38(1),(3),(5),
