1、186 分项练 12 圆锥曲线1(2018大连模拟)设椭圆 C： y21 的左焦点为 F，直线 l： y kx(k0)与椭圆 C 交x24于 A， B 两点，则 AFB 周长的取值范围是( )A. B.(2， 4) (6， 4 23)C. D.(6， 8) (8， 12)答案 C解析 根据椭圆对称性得 AFB 的周长为|AF| AF| AB|2 a| AB|4| AB|(F为右焦点)，由 y kx， y21，得 x ，x24 2A 41 4k2| AB| 2|xA|41 k21 k21 4k24 (2,4)( k0)，14 341 4k2即 AFB 周长的取值范围是 .(4 2， 4 4) (
2、6， 8)2(2018烟台模拟)已知双曲线 y21( a0)两焦点之间的距离为 4，则双曲线的渐近x2a2线方程是( )A y x B y x33 3C y x D y x233 322答案 A解析 由双曲线 y21( a0)的两焦点之间的距离为 4，可得 2c4，所以 c2，x2a2又由 c2 a2 b2，即 a212 2，解得 a ，3所以双曲线的渐近线方程为 y x x.ba 333(2018重庆模拟)已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于 M， N两点，与抛物线的准线交于 P， Q 两点，若四边形 MNPQ 为矩形，则矩形 MNPQ 的面积是( )A16
3、B12 C4 D33 3 3答案 A解析 根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得| PQ| MN|，从而得到圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距离是相等的，所以 M 点的横坐标为 3，代入抛物线方程，设 M 为 x 轴上方的交点，从而求得 M(3,2 )， N(3，2 )，3 3所以| MN|4 ， 4，3 |NP|从而求得四边形 MNPQ 的面积为 S44 16 .3 34(2018重庆模拟)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，以x2a2 y2b2OF2为直径的圆 M 与双曲线 C 相交于 A， B 两点，其中 O 为坐标原点，若 AF1与圆 M 相切
4、，则双曲线 C 的离心率为( )A. B.2 362 2 62C. D.32 62 32 262答案 C解析 根据题意，有| AM| ， ，c2 |MF1| 3c2因为 AF1与圆 M 相切，所以 F1AM ， 2所以由勾股定理可得 c，|AF1| 2所以 cos F1MA ，|AM|F1M| 13所以 cos AMF2 ，且| MF2| ，13 c2由余弦定理可求得3 c，|AF2|c24 c24 2c2c2( 13) 63所以 e .2c2a 2c2c 6c3 32 625已知点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 2( y4) 21 上，则| PQ|的最小值为( )(x12)A.
5、1 B. 1352 332C2 1 D. 13 10答案 A解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2， m)圆心 与抛物线上的点的距离的平方(12， 4)d2 2( m4) 2 m42 m28 m .(m212) 654令 f(m) m42 m28 m ，654则 f( m)4( m1)( m2 m2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，函数的最小值为 f(1) ，由几何关系可得| PQ|的最小值为 1 1.454 454 3526已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭 4圆和双曲线的离心率乘积的
6、最小值为( )A. B. C1 D.12 22 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，半焦距为 c， P 为第一象限内的公共点，则Error!解得| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2，所以 4c2( a1 a2)2( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos ， 4所以 4c2(2 )a (2 )a ，2 21 2 24所以 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2所以 e1e2 ，故选 B.227(2017全国)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若
7、 C 上存在点 M 满足x23 y2m AMB120，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在 x 轴上，则 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.8已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点x2a2 y2b2(异于右顶点)， PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2,0)过 F2作直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，若使
8、| AB| b2的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A(1， ) B(1,2)2C( ，) D(2，)2答案 C解析 | F1F2|2 c(c2 a2 b2)，设 PF1F2的内切圆分别与 PF1， F1F2， PF2切于点 G， H， I，则| PG| PI|，| F1G| F1H|，| F2H| F2I|.由双曲线的定义知2a| PF1| PF2| F1G| F2I| F1H| F2H|，又| F1H| F2H| F1F2|2 c，故| F1H| c a，| F2H| c a，所以 H(a,0)，即 a2.注意到这样的事实：若直线 l 与双曲线的右支交于 A， B 两点，
9、则当 l x 轴时，| AB|有最小值 b2；2b2a若直线 l 与双曲线的两支各交于一点( A， B 两点)，则当 l y 轴时，| AB|有最小值 2a，于是，由题意得 b22a4， b2， c 2 ，a2 b2 2所以双曲线的离心率 e .故选 C.ca 29(2018湖南省岳阳市第一中学模拟)设抛物线 y24 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直6线 l：3 x4 y120 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为_答案 2解析 由Error!得 3y216 y480， 25612480)，过其焦点F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点
10、M 与 x 轴上一点 N(7,0)AF FB 关于直线 l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为_答案 6解析 抛物线 y22 px(p0)的准线为 l： x ，p2如图所示，当直线 AB 的倾斜角为锐角时，分别过点 A， B 作 AP l， BQ l，垂足为 P， Q，过点 B 作 BD AP 交 AP 于点 D，则| AP| AF|，| BQ| BF|，| AF|3| BF| |AB|，34| AP| BQ| AD| AF| BF| |AB|，12在 Rt ABD 中，由| AD| |AB|，12可得 BAD60，7 AP x 轴， BAD AFx60， kABtan 60 ，3直线 l
11、的方程为 y ，3(xp2)设 M 点坐标为( xM， yM)，由Error!可得 xM p ， yM ，34 72 32(7 p2)代入抛物线的方程化简可得3p24 p840，解得 p6(负值舍去)，该抛物线的焦点到准线的距离为 6.11(2018三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点 ，且 C 的一个焦点坐标为(1，255)(2,0)，则 C 的标准方程为_答案 y21x25解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(2,0)，则 2a 1 22 45 1 22 45 2 ，75 355 5所以 a ，因为 c2，所以 b 1，5 5 4从而得到椭圆的标准方程为 y21.x2512在平面
12、直角坐标系 xOy 中，点 M 不与点 O 重合，称射线 OM 与圆 x2 y21 的交点 N 为点 M 的“中心投影点” (1)点 M(1， )的“中心投影点”为_；3(2)曲线 x2 1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_y23答案 (1) (2)(12， 32) 43解析 (1)| OM| 2，| ON|1，12 32所以 ，则 N 点坐标为 .ON 12OM (12， 32)(2)双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点y23 38是单位圆上夹在两渐近线之间的与 x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为 ，因此弧 3长为 2 1 .23
13、 4313已知点 F1， F2分别是双曲线 C： x2 1( b0)的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 在y2b2双曲线 C 的右支上，且满足| F1F2|2| OP|，tan PF2F14，则双曲线 C 的半焦距的取值范围为_答案 (1，173解析 由| F1F2|2| OP|可得 PF1F2为直角三角形， F1PF290，tan PF2F14，即| PF1|4| PF2|，| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，又| PF1| PF2|2 a，可得| PF2| a，23由(| PF2|2 a)2| PF2|24 c2化为(| PF2| a)22 c2 a2 2，可得 c ，(23
14、a a) 173又双曲线中 ca1，所以双曲线 C 的半焦距的取值范围为 .(1，17314(2018威海模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， P， Q 是抛物线上的两个动点，线段 PQ 的中点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 N，若| MN| PQ|，则 PFQ 的最大值为_答案 3解析 如图所示，分别过 P， Q 作抛物线准线的垂线，垂足为 A， B，设| PF|2 a，| QF|2 b，由抛物线定义，得| PF| PA|，| QF| QB|，在梯形 ABQP 中，2| MN| PA| QB|2 a2 b，| MN| a b.若 PQ 过焦点 F，则| PQ| PF| QF|2 a2 b，9又| MN| a b，且| MN| PQ|，2 a2 b a b， a b0，显然不成立， PQ 不过焦点 F.| MN| PQ|，| PQ| a b，设 PFQ ，由余弦定理得，(a b)24 a24 b28 abcos ， a2 b22 ab4 a24 b28 abcos ，cos ，3a2 3b2 2ab8ab 6ab 2ab8ab 12当且仅当 a b 时取等号，又 (0，)，0 ， 3 PFQ 的最大值为 . 3
