1、1(六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线 y24 x的焦点 F作抛物线的两条弦 AB， CD，设直线 AC与 BD的交点为P，直线 AC， BD分别与 y轴交于 M， N两点(1)求证：点 P恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形 PMFN是平行四边形证明 (1)由题意知 F(1,0)，不妨设 A(a2,2a)， D(b2,2b)， a0， b0)过点(2,1)，直线 l过点 P(0，1)与抛物线 C交于A， B两点，点 A关于 y轴的对称点为 A，连结 A B.(1)求抛物线 C的标准方程；(2)问直线 A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解 (1)将点(2,1)代入
2、抛物线 C的方程，得 p2，所以抛物线 C的标准方程为 x24 y.(2)设直线 l的方程为 y kx1，又设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A( x1， y1)，由Error! 得 x24 kx40，则 16 k2160， x1,2 ，4k16k2 162x1x24， x1 x24 k，所以 kA B ，y2 y1x2 x1 x24 x214x1 x2 x2 x14于是直线 A B的方程为 y (x x2)，x24 x2 x14所以 y (x x2) x1，x2 x14 x24 x2 x14当 x0 时， y1，所以直线 A B过定点(0,1)33.如图，已知定点 R(0，3
3、)，动点 P， Q分别在 x轴和 y轴上移动，延长 PQ至点 M，使 ，且 0.PQ 12QM PR PM (1)求动点 M的轨迹 C1；(2)圆 C2： x2( y1) 21，过点(0,1)的直线 l依次交 C1于 A， D两点(从左到右)，交 C2于B， C两点(从左到右)，求证： 为定值AB CD (1)解 方法一 设 M(x， y)， P(x1,0)， Q(0， y2)，则由 0， 及 R(0，3)，得PR PM PQ 12QM Error!化简得 x24 y.所以动点 M的轨迹 C1是顶点在原点，开口向上的抛物线方法二 设 M(x， y)由 ，得 P ， Q .PQ 12QM ( x
4、2， 0) (0， y3)所以 ， .PR (x2， 3) PM (3x2， y)由 0，得 0，PR PM (x2， 3) (3x2， y)即 x23 y0，化简得 x24 y.34所以动点 M的轨迹 C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(2)证明 由题意，得 ABCD， C2的圆心即为抛物线 C1的焦点 F.AB CD 设 A(x1， y1)， D(x2， y2)，则 AB FA FB y111 y1.同理 CD y2.直线 l的斜率显然存在，设直线 l的方程为 y kx1，联立Error! 得 x24 kx40，所以 x1,2 ，4k16k2 162所以 x1 x24 k， x1x24，所
5、以 ABCD y1y2AB CD ( kx11)( kx21) k2x1x2 k(x1 x2)144 k24 k211，所以 为定值 1.AB CD 4.如图，已知抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F的直线 l与抛物线 C交于 A(x1， y1)(y10)，B(x2， y2)两点， T为抛物线的准线与 x轴的交点(1)若 1，求直线 l的斜率；TA TB (2)求 ATF的最大值解 (1)因为抛物线 y24 x的焦点为F(1,0)， T(1,0)，当 l x轴时， A(1,2)， B(1，2)，此时 0，与 1 矛盾，TA TB TA TB 所以可设直线 l的方程为 y k(x1)，代入 y24 x，得 k2x2(2 k24) x k20，x1,2 ，2k2 42k2 42 4k42k2则 x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2故 y y 16 x1x216， y1y24.212因为 1，所以( x11)( x21) y1y21，TA TB 将代入并整理，得 k24，所以 k2.(2)因为 y10，所以 tan ATF 1，y1x1 1 y1y214 1 1y14 1y1当且仅当 ，即 y12 时取等号，y14 1y1因为点 A在第一象限，所以 ATF的最大值为 .4
