1、1回扣 2 复数、程序框图、平面向量与数学文化1复数的相关概念及运算法则(1)复数 z a bi(a， bR)的分类 z 是实数 b0； z 是虚数 b0； z 是纯虚数 a0 且 b0.(2)共轭复数复数 z a bi 的共轭复数 a bi.z(3)复数的模复数 z a bi 的模| z| .a2 b2(4)复数相等的充要条件a bi c dia c 且 b d(a， b， c， dR)特别地， a bi0 a0 且 b0( a， bR)(5)复数的运算法则加减法：( a bi)(c di)( ac)( bd)i；乘法：( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法：(
2、a bi)(c di) i.ac bdc2 d2 bc adc2 d2(其 中 a， b， c， d R)22复数的几个常见结论(1)(1i)22i.(2) i， i.1 i1 i 1 i1 i(3)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4ni 4n1 i 4n2 i 4n3 0( nZ)(4) i，且 01， 2 ， 31,1 20.12 32 3程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示4平面向量的数量积(1)若 a， b 为非零向量，夹角为 ，则 ab| a|b|cos
3、.(2)设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2.5两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则(1)a ba b(b0) x1y2 x2y10.(2)a bab0 x1x2 y1y20.6利用数量积求长度(1)若 a( x， y)，则| a| .aa x2 y2(2)若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| | .AB x2 x12 y2 y127利用数量积求夹角若 a( x1， y1)， b( x2， y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2
4、 y28三角形“四心”向量形式的充要条件3设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，则(1)O 为 ABC 的外心| | | | .OA OB OC a2sin A(2)O 为 ABC 的重心 0.OA OB OC (3)O 为 ABC 的垂心 .OA OB OB OC OC OA (4)O 为 ABC 的内心 a b c 0.OA OB OC 1复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0( z a bi， a， bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧2复数的运算与多项式运算类似，要注意利用 i21 化简合并同类项3在解决含有循环结构
5、的框图时，要弄清停止循环的条件注意理解循环条件中“”与“”的区别4解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是” “否”的对应5在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果6 ab0 是 a， b为锐角的必要不充分条件；ab5，解得 n31，所以输出的 n 为 32.914已知平面内三个单位向量 ， ， ， ， 60，若 m n ，则 m n 的最OA OB OC OA OB OC OA OB 大值是_答案 233解析 由已知条件 m n ，两边平方可得 1 m2 mn n2( m n)2 mn，( m n)OC OA OB 21 mn，根据向量加法的平行四边形法则，判
6、断出 m， n0，( m n)21 mn (m n)142，当且仅当 m n 时取等号， (m n)21，则 m n ，即 m n 的最大值为 .34 233 23315现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图 1)，即可求得球的体积公式请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 1，将此椭圆绕 y 轴旋转y225 x24一周后，得一橄榄状的几何体(图 2)，其体积等于_答案 803解析 椭圆的长半轴长为 5，短半轴长
7、为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V2( V 圆柱 V 圆锥 )2 .( 22513 225) 80316已知 O 是锐角 ABC 外接圆的圆心， A60， 2 m ，则 mcos Bsin C AB cos Csin B AC AO 的值为_答案 32解析 如图所示，取 AB 的中点 D，10则 ， OD AB，所以 0，设 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为OA OD DA OD AB a， b， c，由 2 m ，得 2 m( )，两cos Bsin C AB
8、cos Csin B AC AO cos Bsin C AB cos Csin B AC OD DA 边同乘 ，得 2 2 m( ) ，AB cos Bsin C AB cos Csin B AC AB OD DA AB 即 c2 bccos A mc2，所以 c bcos A mc，cos Bsin C cos Csin B cos Bsin C cos Csin B由正弦定理 2 R(R 为 ABC 外接圆半径)，asin A bsin B csin C得 b2 Rsin B， c2 Rsin C，代入上式整理，得 cos Bcos Ccos A msin C，所以 mcos B cos Ccos Asin C sin A， cosA C cos Ccos Asin C又 A60，所以 msin 60 .32
