1、1透视年高考 反思归纳例谈函数与导数问题的有关解题思想嘉兴三中 顾红俏论文摘要：函数与导数有关的综合问题在高考试卷中属于压轴题，多数学生都为之畏惧作为教师在平时对学生的引导与训练显得尤为重要要培养学生的函数思想，极限思想，等价转化思想，分类讨论思想，倒数曲线思想，数形结合思想，洛比达法则思想透过高考真题，反思归纳，概括总结，达到举一反三、触类旁通的效果关键词：函数，导数，等价转化，分类讨论，反思归纳自从导数进入高中数学教材之后，它给传统的中学数学内容注入了生机和活力它作为一种处理数学问题的重要工具，有着十分广泛的应用在高考试卷中，函数与导数的问题一直是让学生感到棘手和困难的问题，甚至有些学生束
2、手无策如果在平时学习和复习备考中，教师和学生都能以赏析的眼光来看待全国各省市高考真题，不断归纳总结，概括题型与解题方法，便会达到事半功倍的效果现以年部分省市的高考真题为例，谈一谈赏析高考，反思归纳题目（年高考新课标文题）设函数 2axef（）求 的单调区间xf()若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值1ak0x01/xfkk解法：（） 的定义域为 ， ，xfRaefx/若 ，则 ，所以 在 上单调递增0a0/ x,若 ，则当 时， ；当 时， ，所以axln,0/f,lnax0/xf在 单调递减，在 单调递增xfaln,()由于 ，所以111/ xekxxfk故当 时， 等价于 ，0a0/
3、x )0(x令 ，egx1则 由（）知，函数 在 上单22/ xxe2xeh,02调递增，而 ， ，所以 在 上存在唯一的零点，故 在01h2xh,0xg/上存在唯一的零点设此零点为 ，则 ,02,1当 时， ； 时， ，,x0/xg,0/xg所以 在 上的最小值为 又由 可得 ，, /2e所以 ，由于式等价于 ，故整数 的最大值为 3,21g gkk赏析：第（）题是常规题目，通过导函数的正负情况就可以求出原函数的单调性难点是：分类讨论对学生而言，分类的难点在于“为什么要这样分类？” ，本题分类的原因是 恒成立，所以考虑 和 ，即 和 这两类.第（）题，0xe0a0a难点 ：由分离参数思想把
4、（ ）转化成 恒11/xfkx )0(1xekx成立的问题，也就是 ，继而研究新的函数 的最小值.难min1ex gx点 ：求函数 的最小值 的取值范围通过 得 ，也就是 可2gg0/x2ee以用 来替换，所以有 ，这是计算中的难1e3,12点与技巧反思归纳：分类问题要引导学生找出分类的依据，分类要全面细致，不能重复，也不能遗漏，通过参数的分类的交集可知是否重复，通过参数的分类的并集可知是否遗漏关于恒成立的问题在高考试卷中经常出现，如 恒成立，即 ； 恒xfkminxfkxfk成立，即 ，这些想法要经常向学生渗透，使之理解并学会灵活运用函数与导maxfk数问题的解决过程中，计算也是难点，要善于
5、前后观察，化繁为简，从而使问题得以顺利解决题目（年高考全国文题）已知函数 axxf231)(（）讨论 的单调性；()fx（）设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的21,x)(,1xf)(,2xflx交点在曲线 上，求 的值)(xfya3解法：（） ，122/ axxf（）当 时， ，且当 时， ，所以 是 上的增1a0/ ,0/xfxfR函数（）当 时， 有两个根/xf，ax11 a12当 时， ， 是增函数,0/xff当 时， ， 是减函数ax1,1/xf当 时， ， 是增函数,0/xff（）由题设知， 是方程 的两个根，故有21,x/， 1a,2aax2因此 1231xf121
6、3ax123ax23ax同理， xf312因此直线 的方程为 laxy设 与 轴的交点为 ，得 x0, 12012330 aaf 617243a由题设知，点 在曲线 上，故由 ，解得 ，或 ，或0,xxfy0xf 324a赏析：第（）题的解法与题目的第（）题相类似，难点仍然是分类该题的分类依据是：在 中， 恒成立，因此考虑 和 ，12/ axf 02x 01a即 和 两类第（）题的难点：计算化简，能把 化成1a 123xxf的关键是降次，由前面计算可知 所以把 中的 代换成32x ,21ax14难点：由 ， 可知直线 的方程为ax123121axxf2xf312axl，原因是形同变量异3y反思
7、归纳：方程的思想，函数的思想，代换的思想在解题中常见，在平时的练习中要善于归类，达到举一反三的效果题目（年高考湖南文题）已知函数 ，其中 .#中国教axef0（）若对一切 xR， 恒成立，求 的取值集合；z1xfa（)在函数 的图像上去定点 A（x 1, ）,B(x 2, )( )，记直线 AB 的f fxf21斜率为 k，证明：存在 x0（ , ）,使 恒成立.20()k解法：（） ，令 得 aef/ /xfaln当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，axln0/xf0/xff故当 时， 取最小值 于是对任意 ， 恒成falnlR1x立，当且仅当 1l令 ，则 当 时， ， 单调递增；
8、当ttgnttgln/10t0/tgt时， ， 单调递减1t0/故当 时， 取最大值 ，因此，当且仅当 时，式成立ttg1g1a综上所述， 的取值集合为a（)由题意知， axexffk1212令 ，则 ，12/ exfx1212112xexx21122ex令 ，则 ttF/teF当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增00/t0t0/tFt5故当 时， ，即 从而 ，0t0Ft 01te01212xex，又 ， ，所以 ， 因为函1221xex 12x12x12数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使y1, 210,x，即 成立0xkxf0/赏析：本题考查利用导数研究函数的
9、单调性，最值，不等式恒成立问题等，考查运算能力，分类讨论思想，函数与方程思想等数学思想第（）题利用导函数法求出 最xf小值 对一切 ， 恒成立转化为 ，从而得出 的取aflnlRx1f 1minxf a值集合第（)题在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断，实在是妙反思归纳：函数与方程的思想在解决函数与导数的综合问题中经常使用第（）题可以使用参数分离法，由 ，得 ，接下来分三类讨论： 和1axe1xe 0,x，分别求出 的范围再求交集即在这过程中也会有难点，还需要有极限思想，学会0x倒数曲线，如果有机会可以向学生介绍洛比
10、达法则，这样可以使问题从多种角度都可以解决，条条大路通罗马第（)题其实际是大学数学中的拉格朗日中值定理的另一种说法，证明方法是构造函数法，对高中学生来说，构造是很难想到的透过本题可以看到，大学数学中的一些解题思想和技巧也会在今后的高考中再次出现，这就要求教师经常向学生渗透一些大学数学中的证题技巧和解题思想，如极限思想，闭区间套思想，洛比达法则思想等，使学生的解题思想站在一个新的高度，有一览众山小的感觉题目（年高考湖北文题）设函数 ，n 为正整数，01xbaxfna,b 为常数，曲线 y= 在（1， ）处的切线方程为 x+y=1.（）求 a,b 的值；xff（）求函数 的最大值（）证明： .xf
11、ne解法：（）因为 ，由点 在直线 上，可得 ，即 bf1,11y1b0因为 ，所以 又因为切线 的斜率为 ，nnxaxf/ af/ yx所以 ，即 ，故1a0,1b6（）由（）知， ， ，令11nnxxf xnxf1/，解得 ，即 在 上有唯一零点 在 上，0/xfnxf/,00,0，故 单调递增；在 上， ，故 单调递减因此/ff ,1n/xfxf在 上的最大值为 xf,0 1 nnf（）令 ，则 在 上，tt1ln0012/ ttt,，故 单调递减；而在 上， ，故 单调递增因此 在0/t ,/t上的最小值为 ，所以 ，即 , 010t11lntt令 ，得 ，即 ，所以 ，即nt1lne
12、llen由（）知 ，故所证不等式成立en1xfne1赏析：本题考查多项式函数的求导的几何意义，由导函数判断原函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式的综合应用问题考查转化与化归，分类讨论的数学思想，以及运算求解的能力第（） ， （）题比较容易解决第（）题证明不等式，通过构造函数使得问题得以解决难点是：这个函数 是怎样构造出来的？其tt1ln0实这是数学解题重要思想之一：等价转化思想 en1en1en11l 1ln1ln1lntt，通过这一系列的等价转化，便构造了解决问题的函数01lnt反思归纳：导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等用导数
13、证明不等式通常通过构造函数来实现，函数的构造通7常通过以下几种方式产生：移项即可产生；变形之后产生；转化途中产生；挖掘隐含条件产生；借助已知函数产生难点是化成何种函数才能达到证明结论的需要，通常是化成熟悉的函数或化成单调性容易判断的函数教师在教学中要有意识的进行含有 等基本xeln,初等函数的求导运算及不等式证明等综合应用问题的训练，使学生达到对这一类问题不陌生或者熟练的程度题目（年高考陕西文）设函数 ()(,)nnfxbcNbcR（）设 ， ，证明： 在区间 内存在唯一的零点；2n1,bcnf1,2（）设 n 为偶数， ， ，求 b+3c 的最小值和最大值；()f(1)f（）设 ，若对任意
14、，有 ，求 的取值范围212,x,212|()|4fxfb解法：（）当 ， 时， ,bcnn， 在 内存在零点01212nfxf1,2又当 时， ， 在 上是单调递增的,x1/ nxf f,在 内存在唯一零点f1,2（）由题意知， ，即 把 看成是 的函数，再由线性规1f02cbbc划的知识可得 在点 取到最小值 ，在点 取到最大值 cb32,06,0到最小值为 ，最大值为 c6（）当 时， ，对任意 都有 等价于2ncbxf221,x,4212xff在 上的最大值与最小值之差 ，据此分类讨论如下：xf1,4M当 ，即 时， ，与题设矛盾2b221bf当 ，即 时， 恒成立01b 412f8当
15、 ，即 时， 恒成立120b0b4121bffM综上所述， 赏析：本题考查函数的零点，代数式的最值，参数的取值范围第（）题通过单调函数的零点存在性定理较容易解决第（）题利用函数思想和线性规划知识解决问题第（）题利用等价转化思想，对任意 ，有21,x,4212xff4max212fxf，再分类讨论使得问题得以解决in反思归纳：求解函数零点有关的问题，在全国各省市高考题中都曾经出现过，在解答题中多数与函数的单调性相关，或者通过导数这一工具画出函数的大致图像，再根据极大值，极小值的正负情况来确定零点的情况关于代数式的值的取值范围问题，求解方法通常考虑构造函数法，线性规划法，不等式性质法，数形结合法等
16、关于任意的，存在的，恒成立等词语的问题在近几年高考题中经常出现解决问题的办法是：首先弄懂题意，其次找到其等价的可解决的问题这一方面的知识要求教师在平时就经常对学生进行训练纵观高考中的函数与导数的问题，教师要有意识地对知识点及考点进行归纳，同时有意识地引导学生通过类比，推广，变式等方式构造题目，不能就题论题，浅尝辄止解题后的反思是提高解题质量的关键环节，归纳是对解题过程的重新整理，对其中涉及的基础知识、数学思想方法进行高度细致的归纳总结，对不同的解题思路进行比较，并思考优化与创新教师要透视高考，反思归纳，更要培养学生进行反思归纳稳步提高参考文献王翠丽导数在不等式证明中的应用J数学之友，2011（
17、24）：84-86 薛党鹏函数与导数的综合问题J中学数学教学参考，2012（1/2）：116-122许少华导数证明不等式中的函数构造J考试高考文科，2012（）：36-37冯爱银精彩预设显智慧 活学活用才是真关于函数与导数的综合问题点评与教学建议J中学数学教学参考，2012（7）：60-61罗增儒2012 年高考数学陕西卷理科第 题 的数学分析J中学数学教9学参考，2012（10）：10-12曹凤山落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色从数学思想方法考查的视角分析 2012 年高考数学浙江卷理科试题J中学数学教学参考，2012（11）：47-48刘文娣如何发挥典型题的典型性不等式证明中导数的应用J中学数学，2013（4）：60-61
