1、 2019 年高考数学讲练测【新课标版 】 【讲】【考纲解读】考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 2014新课标 II.6,7,18;2015新课标I.6,11,18;II.6,10,19; 2016新课标I.7,18;II.4,7,19;III.10,11,19;2017新课标I.16,18;II.6,15,18；III.9，192018新课标 I. 5,10,18; II.16；III12.1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；
2、也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3.几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想4.备考重点：(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握等积转换的方法.【知识清单】1 几何体的表面积圆柱的侧面积 rlS2圆柱的表面积 )( 圆锥的侧面积 l圆锥的表面积 )(rS 圆台的侧面积 l圆台的表面积 )(2rl球体的表面积 24RS柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积
3、之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.2.几何体的体积圆柱的体积 hrV2圆锥的体积 31圆台的体积 )(2rrh球体的体积 34RV正方体的体积 3a正方体的体积 bc【重点难点突破】考点 1 几何体的表面积【1-1】 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑， PA平面 BC， 2PA， 4AC，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O的球面上，则球
4、的表面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0 D. 24【答案】C【1-2】 【2018 届四川省成都市龙泉第二中学高三 10 月月考】已知 ,PABC是球 O球面上的四点， ABC是正三角形，三棱锥 PABC的体积为 934，且 30APOBCP，则球 O的表面积为（ ）A. 4 B. 12 C. 6 D. 23【答案】C【解析】 【1-3】三棱锥 ABCS中， S平面 ABC， 5S， ABC是边长为 3的正三角形，则三棱锥S的外接球的表面积为（ ）A 3 B 5 C 9 D 12【答案】CGOCABS【领悟技法】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析
5、，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【触类旁通】【变式 1】 【2018 届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥 SABC中，底面 是直角三角形，其斜边4AB， SC平面 AB，且 3SC，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 25 B. 0 C. 16 D. 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于 43ABSC， ，且 AB是直角三角形， S
6、C平面 ABC， 长方体的对角线长为 2222435C， 三棱锥的外接球的半径 52R， 三棱锥的外接球的表面积为 54，故选 A.【变式 2】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A 32B 3C 532D 32【答案】D【变式 3】 【河南省洛阳市 2018 届三模】在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B由勾股定理得 三棱锥 的外接球的表面积是 故选 B.综合点评：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，
7、“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.考点 2 几何体的体积【2-1】 【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A 12B 32 C 123 D 32【答案】A【2-2】 【黑龙江省 2018 年仿真模拟（十） 】在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥 被平面 QBD 截去三棱锥 Q-BCD（ Q 为 PC 中点)后的部分，【2-3
8、】 【2018 年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 ，所以该多面体的体积为【领悟技法】(1)已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解【触类旁通】【变式 1】 【2017 课标 II，文 6】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一
9、部分所得，则该几何体的体积为（ ）A 90 B 63 C 42 D 36【答案】B【解析】【变式 2】 【2018 年天津卷文】如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱柱 A1BB1D1D 的体积为_【答案】积为： .【变式 3】已知空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积是_ ；几何体的体积是_ .【答案】 28 14综合点评：求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何
10、图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.考点 3 几何体的展开、折叠、切、截问题【3-1】 【2018 届河南省林州市第一中学高三 8 月调研】如图，已知矩形 ABCD中， 483BC，现沿 AC折起，使得平面 ABC平面 D，连接 B，得到三棱锥 ，则其外接球的体积为（ ）A. 509 B. 2503 C. 103 D. 503【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为 AC 的中点，则外接球半径： 2211865RABC，则外接球的体积： 340VR.本题选择 D 选项.【3-2
11、】 【2018 届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， 平面 ，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，AB平面 BCD，OGBG，在 RtBGO 中，求得 OB= ，球 O 的表面积为 4 故选 D【3-3】 【2018 届福建省数学基地校】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 32，则这个三棱柱的体积是（ ）A. 48 B. 6 C. 243 D. 83【答案】D【3-4】 【四川省双流中学 2018 届高三第一次模拟考试】在三棱锥 ABCD 中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4
12、，ABBD，则三棱锥 ABCD 外接球的体积的最小值为_【答案】【解析】：如图所示，三棱锥 的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线 ，设，那么 , ,所以 。由题意，体积的最小值即为 最小，所以当 时， 的最小值为 ，所以半径为 ，故体积的最小值为 。【领悟技法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，
13、哪些不变研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题【触类旁通】【变式 1】 【湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【变式 2】正三棱柱的底面边长为 3，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 4 B 8 C 12 D 16【答案】B【解析】因底面边长为 3,故底面中心到顶点的距离是 ,即球的截面圆的半径为 1,所以 2R,其表面积为 824S,故应选 B.【变式 3】 【2018 届河北省衡水市武
14、邑中学高三上第三次调研】在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 MABC中, 平面 ABC, 2MBC,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_【答案】 248【解析】由题意，MC 为球 O 的直径，MC=2 3，球 O 的半径为 3，球 O 的表面积为 43=12，内切球的半径设为， 11*22*23r 得到 21r 内切球的体积为 128 ，故结果为 48.【变式 4】 【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分
15、别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_.【答案】 415【解析】【易错试题常警惕】易错典例：有一棱长为 a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状） ，则气球表面积的最大值为_.错解：依题意，球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为 a，球的表面积为 2a.错因：这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为 a. 正解：正方体骨架是一个空架子，球最大时
16、与正方体的各棱相切，直径应为 2. 所以气球表面积的最大值为 224()a.温馨提醒：1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.4.对于求解简单的组合体的表面积，要注意各几何体重叠部分的处理.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形
17、的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答几何体体积、表面积计算问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算如：【典例】 【四川省 2018 届冲刺演练（一） 】某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B
