1、知识回顾1带电粒子在磁场中做圆周运动引起多解的原因(1)带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹(2)磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹(3)临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同分别求解(4)圆周运动的周期性形成多解2带电粒子在磁场中运动临界问题的特点(1)带电粒子进入磁场时的速度方向不同，射出磁场的位置就会不同(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小不同，粒子的轨迹半径和运动时间就会不同(3)粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切规律方法1多解问题的解题方法和技巧(1)找出多解的原因(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心半径的可能情
2、况(3)对于周期性形成的多解问题，注意 n 的可能限定范围2临界问题常用的结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切(2)当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3)当速度 v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长3.处理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的技巧带电粒子进入有界磁场区域，其轨迹往往是一残缺圆，存在临界和极值问题，处理的方法是根据粒子的运动轨迹，运用动态思维，作出临界轨迹图，寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律求解，分析临界问题时应注意：(1)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住
3、题干中“恰好” “最大” “至少” “不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律；(2)数学方法和物理方法的结合，如利用“矢量图” “边界条件”等求临界值利用“三角函数、不等式的性质、二次方程的判别式”等求极值例题分析【例 1】 (2017 年石家庄毕业检测)如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为 B， MM和 NN是它的两条边界现有质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入要使粒子不能从边界NN射出，求粒子入射速率 v 的最大值可能是多少【答案】 v 2 2 Bqdm若 q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与 NN相切的 圆弧，则有： R ， d R Rcos45，解34 m
4、vBq得 v . 2 2 Bqdm【例 2】 如图所示，两垂直纸面向里的匀强磁场以 MN 为边界， MN 边界上方磁场的磁感应强度大小 B1大于下方磁场的磁感应强度大小 B2(未知)有一长为 l 的平直挡板与 MN 重合，一比荷为 c 的带正电粒子从挡板的中点 O 处沿垂直挡板方向以速度 v (k 为偶数)进入上方磁场中，假设粒子与挡板发生碰撞并cB1lk反弹过程没有能量损失，且粒子在下方磁场中运动时不会与挡板发生碰撞，粒子最终能回到出发点 O，不计粒子重力若 k4，则粒子从挡板边缘进入下方磁场中(1)试画出 k10 时粒子的运动轨迹；(2)求两磁场的磁感应强度大小的比值 .B1B2【答案】
5、1B1B2 k2【解析】 (1)粒子在上方磁场中运动时，有 qvB1mv2R1得轨迹半径 R1 vcB1 lk当 k10 时， R1l10【例 3】 如图所示，在 xOy 平面内，有一个圆形区域，其直径 AB 与 x 轴重合，圆心 O的坐标为(2 a,0)，其半径为 a，该区域内无磁场在 y 轴和直线 x3 a 之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴上某点射入磁场不计粒子重力(1)若粒子的初速度方向与 y 轴正向夹角为 60，且粒子不经过圆形区域就能到达 B 点，求粒子的初速度大小 v1；(2)若粒子的初速度方向与
6、 y 轴正向夹角为 60，在磁场中运动的时间为 t ，且粒子也能到达 B 点， m3Bq求粒子的初速度大小 v2；(3)若粒子的初速度方向与 y 轴垂直，且粒子从 O点第一次经过 x 轴，求粒子的最小初速度 vmin.【解析】 (1)因要求粒子不经过圆形区域就能到达 B 点，故粒子到达 B 点时速度方向竖直向下，则其轨迹的圆心必在 x 轴正半轴上，如图 (1)所示设粒子做圆周运动的半径为 r1，由几何关系得 r1sin303 a r1，又 qv1B m ，解得 v1v21r1 2qBam(3)设粒子从 C 点进入圆形区域，如图 (3)所示， O C 与 O A 的夹角为 ，轨迹半径为 r，由几
7、何关系得2a rsin acos ，故当 60时，半径最小为 rmin a3又 qvminB ，解得 vmin 。mv2minrmin 3aBqm专题练习1(2017 年高考课标全国卷)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30，其横截面(纸面)如图 98 所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q0)粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30角已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场不计重力粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离
8、为( )A. B. C. D.mv2qB 3mvqB 2mvqB 4mvqB【答案】：D2. (2017 年高考课标全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场， P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场若粒子射入的速度为 v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为 v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上不计重力及带电粒子之间的相互作用，则 v2 v1为( )A. 2 B. 13 2C. 1 D33 2【答案】：C【解析】：由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由 qvB m 可知，
9、R ，即粒子在磁v2R mvqB场中做圆周运动的半径相同若粒子运动的速度大小为 v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点 A 离 P 点最远时，则 AP2 R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点 B 离 P 点最远时，则 BP2 R2，由几何关系可知， R1 ， R2 Rcos30 R，则R2 32 ，C 项正确v2v1 R2R1 33. (2017 年高考课标全国卷)一圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度 顺时针转动在该截面内，一带电粒子从小孔 M 射入筒内，射
10、入时的运动方向与 MN 成 30角当筒转过 90时，该粒子恰好从小孔 N 飞出圆筒不计重力若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )A. B. C. D.3B 2B B 2B【答案】：A4(多选)在 x0、 y0 的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里，大小为 B.现有一质量为 m、电量为 q 的带正电粒子，从在 x 轴上的某点 P 沿着与 x 轴成 30角的方向射入磁场不计重力影响，则下列说法中正确的是( )A粒子在磁场中运动所经历的时间可能为5 m3BqB粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 m2BqC粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 mBqD粒子一
11、定不能通过坐标原点【答案】ACD粒子在磁场中要想到达 O 点，转过的圆心角肯定大于 180，而因磁场为有界，故粒子不可能通过坐标原点，故 D 正确5(2017 年广州市一模)不计重力的两个带电粒子 M 和 N 沿同一方向经小孔 S 垂直进入匀强磁场，在磁场中的径迹如图.分别用 vM和 vN， tM与 tN， 与 表示它们的速率、在磁场中运动的时间、荷质比，则( )qMmM qNmNA如果 ，则 vMvNqMmM qNmNB如果 ，则 tMqMmMqNmND如果 tM tN，则 qMmMqNmN【答案】：A6(多选)如图所示， S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面
12、，在纸面内的长度 L9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d4.55 cm， MN 与 SO 直线的夹角为 ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B2.010 4 T.电子质量 m9.110 31 kg，电荷量 e1.610 19 C，不计电子重力电子源发射速度 v1.610 6m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )A 90时， l9.1 cm B 60时， l9.1 cmC 45时， l4.55 cm D 30时， l4.55 cm答案：AD7(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B，其
13、边界为一边长为 L的正三角形(边界上有磁场)， ABC 为三角形的三个顶点今有一质量为 m、电荷量为 q 的粒子(不计重力)，以速度 v qBL 从 AB 边上的某点 P 既垂直于 AB 边又垂直于磁场的方向射入，然后从 BC 边上某点 Q 射34m出若从 P 点射入的该粒子能从 Q 点射出，则( )A PBy0)，速度大小为 v，方向沿 x 方向，此时撤去电场 t t0 t1 t2时刻，粒子经过 x 轴上 x x0点，速度沿 x 方向不计粒子重力，求： (1)0 t0时间内 OA 两点间电势差 UOA；(2)粒子在 t0 时刻的加速度大小 a0；(3)B1的最小值和对应 t2的表达式(2)设
14、电场强度大小为 E，则UAO Ey0t0 时刻，由牛顿第二定律有qv0B0 qE ma解得 a qv0B0m v20 v22y0(3)t0 t0 t1时间内，粒子在小的虚线圆上运动， t0 t1时刻粒子从 C 点切入大圆，大圆最大半径为x0，相应小圆最大半径为 R，则R2x0 y02又 qvB1 mv2RB1的最小值 Bmin2mvq 2x0 y0对应于 B1取最小值，带电粒子由 C 点到经过 x 轴上 x x0点的时间 t2满足t2 (k0,1,2，)(k12)2 x0v10如图所示，在平面直角坐标系 xOy 的第一象限内有一个方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的圆形磁场区域，一质量为
15、 m、带电荷量为 q 的粒子从 y 轴上的 A 点以速度 v0水平向右射出，经磁场偏转后，打在 x 轴上的 C 点，且其速度方向与 x 轴正方向成 60角斜向下若 A 点坐标为(0,2 d)， C 点坐3标为(3 d,0)，粒子重力不计试求该圆形磁场区域的最小面积 S 及粒子在该磁场中运动的时间 t.设粒子从 E 点进入磁场，从 D 点离开磁场，则其运动轨迹如图所示因为 60，由几何关系可知 EO D60，所以三角形 EO D 为正三角形， ED R，以 ED 为直径时圆形磁场区域面积最小设圆形磁场区域的半径为 r，则有r R2 mv02qB所以圆形磁场区域的最小面积为S r 2 m2v204
16、B2q2带电粒子在该磁场中运动的时间为 t .T6 m3qB11如图所示，在无限长的竖直边界 AC 和 DE 间，上、下部分分别充满方向垂直于 ADEC 平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为 B0， OF 为上、下磁场的水平分界线质量为 m、带电荷量为 q 的粒子从 AC 边界上与 O 点相距为 a 的 P 点垂直于 AC 边界射入上方区域，经 OF 上的 Q 点第一次进入下方磁场区域， Q 与 O 点的距离为 3a.不考虑粒子重力(1)求粒子射入磁场时的速度大小；(2)要使粒子不从 AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；(3)若下方区域的磁感应强度 B3 B0，
17、粒子最终垂直 DE 边界飞出，求边界 DE 与 AC 间距离的可能值【答案】：(1) (2)不小于 B05aqB0m 83(3)4na(n1,2,3)【解析】：(1)设粒子在 OF 上方做圆周运动的半径为 R，由几何关系可得： R5 a由牛顿第二定律可知 qvB0 mv2R整理得 v5aqB0m(2)当粒子恰好不从 AC 边界飞出时，设粒子在 OF 下方做圆周运动的半径为 r1，由几何关系得 r1 r1cos 3 a而 cos ，所以 r1 a.35 158根据 qvB1 ， B1 B0.mv2r1 83当 B1 B0时，粒子不会从 AC 边界飞出8312 2018山东滨州一模)如图所示，半径
18、为 R 的圆形区域位于正方形 ABCD 的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子以速率 v0沿纸面从 M 点平行于 AB 边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过 90从 N 点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计求：(1)磁场的磁感应强度 B；(2)正方形区域的边长；(3)粒子再次回到 M 点所用的时间【答案】：(1) (2)4 R (3)mv0qR 4 Rv0【解析】：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，qv0B m ，由几何关系 r1 R，解得 B .v20r1 mv0qR(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为 r2，粒子恰好不从 AB 边射出， qv0B m ， r2 R，v20r2 mv0Bq正方形的边长 L2 r12 r24 R.
