1、第 3 讲 等比数列及其前 n 项和A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1在等比数列a n中，a 18，a 4a 3a5，则 a7 ( ) A. B. C. D.116 18 14 12解析 在等比数列a n中 a a 3a5，又 a4a 3a5，24所以 a41，故 q ，所以 a7 .12 18答案 B2已知等比数列a n的前三项依次为 a1，a1 ，a4，则 an ( )A4 n B4 n(32) (23)C4 n1 D4 n1(32) (23)解析 (a1) 2(a1)( a 4)a5，a 14，q ，32an4 n1 .(32
2、)答案 C3(2013西安模拟 )已知等比数列a n为递增数列若 a10，且 2(ana n2 )5a n1 ，则数列a n的公比 q ( )A2 B. C2 或 D312 12解析 2( ana n2 )5a n1 ，2a n2a nq25a nq，化简得，2q 25q20，由题意知，q1.q2.答案 A4(2013江西盟校二模 )在正项等比数列a n中，S n是其前 n 项和若a11，a 2a68，则 S8( )A8 B15( 1)2C15( 1) D15(1 )2 2解析 a 2a6a 8， a q68，q ，S 8 15( 1)24 21 21 q81 q 2答案 B二、填空题(每小题
3、 5 分，共 10 分)5(2013广州综合测试 )在等比数列a n中，a 11，公比 q2，若 an64，则 n的值为_解析 因为 ana 1qn1 且 a11，q2，所以 642 612 n1 ，所以 n7.答案 76(2012辽宁 )已知等比数列a n为递增数列，且 a a 10，2(a na n2 )5a n1 ，25则数列 an的通项公式 an_.解析 根据条件求出首项 a1和公比 q，再求通项公式由 2(ana n2 )5a n1 2q 25q20q2 或 ，由 a a 10a 1q90a 10，又数列a n递12 25增，所以 q2.a a 100(a 1q4)2a 1q9a 1
4、q2，所以数列a n的通项公25式为 an2 n.答案 2 n三、解答题(共 25 分)7(12 分)(2013 上饶调研 )已知数列 an满足 a11，a n1 2a n1(nN *)(1)求证：数列a n1是等比数列，并写出数列 an的通项公式；(2)若数列b n满足 4b114b 214b 314b n1(a n1) n，求数列 bn的前 n 项和 Sn.(1)证明 a n1 2a n1，a n1 12(a n1) ，又 a11，a 1120，a n10， 2，an 1 1an 1数列 an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列a n12 n，可得 an2 n1.(2)解 4b 114b
5、 214b 314b n1(a n1) n，4b 1b 2b 3b nn2n 2，2(b 1 b2b 3b n)2nn 2，即 2(b1b 2b 3b n)n 22n，S nb 1b 2b 3b n n2n.128(13 分) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，在数列b n中，b1a 1，b na na n1 (n2)，且 anS nn.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数列b n的通项公式(1)证明 a nS nn， a n1 S n1 n1， 得 an1 a na n1 1，2a n1 a n1，2(a n1 1)a n1， .an 1 1an 1 12首项 c1
6、a 11，又 a1 a11.a 1 ，c 1 ，公比 q .12 12 12c n是以 为首项，公比为 的等比数列12 12(2)解 由(1)可知 cn n1 n，( 12)(12) (12)a nc n1 1 n.(12)当 n2 时，b na na n1 1 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1a 1 代入上式也符合，b n n.12 (12)B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2012全国 )已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S n2a n1 ，则 Sn ( ) A2
7、 n1 B. n1(32)C. n 1 D.(23) 12n 1解析 当 n1 时，a 11.当 n2 时，a nS nS n1 2a n1 2a n，解得 3an2a n1 ， .an 1an 32又 S1 2a2， a2 ， ，12 a2a1 12an从第二项起是以 为公比的等比数列，32anError!Sn n1 .(32)答案 B2(2013威海模拟 )在由正数组成的等比数列a n中，若 a3a4a53 ，则sin(log3a1log 3a2log 3a7)的值为( )A. B. C1 D12 32 32解析 因为 a3a4a53 a ，所以 a43 .343log3a1log 3a2
8、log 3a7log 3(a1a2a7)log 3a 7log 33 ，所以743 73sin(log3a1log 3a2log 3a7) .32答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，且对任意的实数 x，yR，都有f(x)f(y)f(x y)，若 a1 ，a nf(n)(nN *)，则数列a n的前 n 项和 Sn的取12值范围是_解析 由已知可得 a1f(1) ，a 2f(2) f(1) 2 2，a 3f (3)f(2) f(1)12 (12)f(1) 3 3，a nf(n)f(1) n n，(12) (12)Sn 2 3 n12 (
9、12) (12) (12) 1 n，121 (12)n1 12 (12)n N*， S n0，则 Sn一定有最大值nn 12其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析 对于，注意到 an1 a n d是一个非零常数，因此数(12)an 1(12)an (12) (12)列 是等比数列，正确对于(12)an，S 13 13，因此正确对于，注意到13a1 a132 13a2 a122Snna 1 dna n( n1)d dna n d，因此正nn 12 nn 12 nn 12确对于，S nna 1 d，d0 时，S n不存在最大值，因此不正nn 12确综上所述，其中正确命题的序号是.答案 三
10、、解答题(共 25 分)5(12 分)(2011 江西)已知两个等比数列 an，b n，满足 a1a(a0)，b1a 11，b 2a 22，b 3a 33.(1)若 a1，求数列 an的通项公式；(2)若数列a n唯一，求 a 的值解 (1)设数列 an的公比为 q，则b11a2，b 22aq2q，b 33aq 23q 2，由 b1，b 2，b 3 成等比数列得(2 q) 22(3q 2)即 q24q20，解得 q12 ，q 22 .2 2所以数列 an的通项公式为 an(2 )n1 或 an (2 )n1 .2 2(2)设数列a n的公比为 q，则由(2aq) 2(1a)(3aq 2)，得a
11、q24aq3a10(*) ，由 a0 得 4a 24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列 an唯一，知方程(*) 必有一根为 0，代入(*)得 a .136(13 分)(2012 合肥模拟 )数列 an的前 n 项和记为 Sn，a 1t，点( Sn，a n1 )在直线 y3x 1 上，nN *.(1)当实数 t 为何值时，数列a n是等比数列(2)在(1)的结论下，设 bn log4an1 ，c na nb n，T n是数列c n的前 n 项和，求 Tn.解 (1)点(S n，a n1 )在直线 y3x1 上，a n1 3S n1，a n3S n1 1(n1，且 nN *)a n1 a n3(S nS n1 )3a n，a n1 4a n(n1， nN *)，a23S 113a 113t1，当 t1 时，a 24a 1，数列a n是等比数列(2)在(1)的结论下，an1 4a n，a n1 4 n，b nlog 4an1 n，c na nb n4 n1 n，T nc 1c 2c n(4 01)(4 12)(4 n1 n)(1 44 24 n1 )(123n) .4n 13 1 nn2特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
