1、第二节 函数的单调性与最值考纲传真 1.理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1增函数、减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI，如果对于任意 x1，x 2D，且 x1x 2，则都有：(1)f(x)在区间 D 上是增函数f(x 1)f(x 2)；(2)f(x)在区间 D 上是减函数f(x 1)f(x 2)2单调性、单调区间的定义若函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf (x)在这一区间上具有( 严格的 )单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间3函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I，如
2、果存在实数 M 满足条件对于任意的 xI，都有f(x)M ；存在 x0I，使得 f(x0)M对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得f(x0)M结论 M 是 yf( x)的最大值 M 是 yf( x)的最小值1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x 2D，x 1x 2 且(x 1x 2)f(x1)f (x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数( )(2)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)( )1x(3)函数 y|x |是 R 上的增函数( )(4)所有的单调函数都有最值( )答案 (1)
3、(2) (3) (4)2(2016北京高考 )下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是 ( )Ay11 xBycos xCyln( x1)Dy2 xD 选项 A 中，y 在 (，1)和(1，)上为增函数，故 y11 x在( 1,1)上为增函数；11 x选项 B 中，ycos x 在( 1,1)上先增后减；选项 C 中，yln(x 1)在(1，)上为增函数，故 yln( x1)在(1,1)上为增函数；选项 D 中，y 2 x x在 R 上为减函数，故 y2 x 在(1,1)上是减函(12)数3(教材改编) 函数 f(x) 在1,2上的最大值和最小值分别是2xx 1_，1 f (x) 2 在1
4、,2上是增函数，f(x) maxf (2)43 2xx 1 2x 1 2x 1 2x 1 ，f( x)minf(1)1.434函数 y(2k 1) xb 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是_. 由题意知 2k10，得 k .( ， 12) 125f(x)x 22x，x 2,3的单调增区间为_，f (x)max_.1,3 8 f(x)(x 1) 21，故 f(x)的单调增区间为1,3，f(x) maxf (2)函数单调性的判断(1)函数 f(x)log 2(x21)的单调递减区间为 _(2)试讨论函数 f(x)x (k0)的单调性kx(1)(，1) 由 x210 得 x1 或 x1，即函数
5、 f(x)的定义域为(， 1) (1，)令 tx 21，因为 ylog 2t 在 t(0 ，)上为增函数，tx 21 在 x(，1)上是减函数，所以函数 f(x)log 2(x21)的单调递减区间为( ，1) (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0， ) 内任取 x1，x 2，令 0x 1x 2，那么 f(x2)f (x1) (x 2x 1)k (x 2 x1) .2 分(x2 kx2) (x1 kx1) (1x2 1x1) x1x2 因为 0x 1 x2，所以 x2x 10，x 1x20.故当 x1，x 2( ，)时，f(x 1)f (x2)，k即函数在( ， )上单
6、调递增 .6 分k当 x1，x 2(0， )时，f(x 1)f (x2)，k即函数在(0 ， )上单调递减k考虑到函数 f(x)x (k0) 是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同kx的单调性，故在( ， )上单调递增，在( ，0)上单调递减k k综上，函数 f(x)在(， )和( ，)上单调递增，在 ( ，0)和k k k(0， )上单调递减.12 分k法二：f( x)1 .2 分kx2令 f( x)0 得 x2k，即 x(， )或 x( ，)，故函数的单调k k增区间为( ， )和( ，).6 分k k令 f( x)0 得 x2k，即 x( ，0)或 x(0， )，故函数的单调减区间k
7、k为( ，0)和(0， ).10 分k k故函数 f(x)在(， )和( ，)上单调递增，在 ( ，0)和(0 ， )k k k k上单调递减.12 分规律方法 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确WWW易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练 1 (1)(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )Ayx 3 B.y x$来&源：Cy D.y x1x (12)Z(2)函数 f(x)log (x24)的单调递增区间是( )12A(
8、0， ) B.(，0)C(2，) D.(，2)(1)C (2) D (1)选项 A，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项 D为在定义域内为单调递减函数，选项 C 中，设 x1 x2(x1，x 20)，则y2y 1 ，因为 x1x 20，当 x1， x2 同号时1x2 1x1 x1 x2x1x2x1x20， 0，当 x1，x 2 异号时 x1x20， 0，所以函数 y 在定1x2 1x1 1x2 1x1 1x义域上不是单调函数，故选 C.(2)由 x240 得 x2 或 x2，所以函数 f(x)的定义域为(，2)(2， ) ，因为 ylog t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区
9、12间，即求函数 tx 24 的单调递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知 f(x) ，x1，) ，且 a1. x2 2x ax(1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值；12(2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围思路点拨 (1)先判断函数 f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据 f(x)min0 求 a 的范围，而求 f(x)min 应对 a 分类讨论解 (1)当 a 时，f(x)x 2，f(x)1 0，x 1，)，12 12x 12x2即 f(x)在1 ， ) 上是增函数，f(x) minf(1)1 2 .4 分121 72(
10、2)f(x) x 2，x 1， ) ax法一：当 a0 时，f(x )在1，)内为增函数f(x)minf(1) a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，3a0.7 分当 0a1 时，f(x )在1，)内为增函数，f(x)minf(1) a3，a30，a3，0a1.综上所述，f(x )在1， )上恒大于零时，a 的取值范围是 (3,1.10 分法二：f( x)x 20，x1，x 22x a0，8 分axa(x 22x )，而(x 22x) 在 x1 时取得最大值3，3a1，即 a 的取值范围为(3,1.12 分规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(
11、x)在闭区间 a，b 上是增函数，则 f(x)在a，b 上的最大值为 f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数 f(x)在闭区间 a，b上是减函数呢？变式训练 2 (2016 北京高考 )函数 f(x) (x2)的最大值为_xx 2 法一： f( x) ，x2 时，f( x)0 恒成立， 1x 12f(x)在2 ， ) 上单调递减，f(x)在2 ， ) 上的最大值为 f(2)2.法二：f( x) 1 ，xx 1 x 1 1x 1 1x 1f(x)的图象是将 y 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到1x的y 在 2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故 f(x)在1x2
12、， ) 上的最大值为 f(2)2.法三：由题意可得 f(x)1 .1x 1x2，x11，0 1，1x 111 2，即 1 2.1x 1 xx 1故 f(x)在2 ， ) 上的最大值为 2.函数单调性的应用角度 1 比较大小(2015山东高考)设 a0.6 0.6，b0.6 1.5，c 1.5 0.6，则 a，b，c的大小关系是( )Aa0.60.60.61.5，即 b10.61，即 c1.综上，bac.角度 2 解不等式f( x)是定义在(0， )上的单调增函数，满足 f(xy)f (x)f(y)，f(3)1，则不等式 f(x)f(x8)2 的解集为_(8,9 因为 211f(3)f(3)f(
13、9)，由 f(x)f(x8)2 可得 fx(x8)f(9) ，f( x)是定义在(0，)上的增函数，所以有Error!解得 8x9.角度 3 求参数的取值范围(1)如果函数 f(x)ax 22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )A. B.( 14， ) 14， )C. D. 14，0) 14，0(2)已知函数 f(x)Error!若 f(x)在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_(1)D (2)(2,3 (1)当 a0 时，f(x )2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在( ，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x ，1a资*源
14、%库 因为 f(x)在(，4) 上单调递增，所以 a0，且 4，解得 a0.1a 14综上所述，实数 a 的取值范围是 . 14，0(2)要使函数 f(x)在 R 上单调递增，则有Error!即 Error!解得 2a3，即实数 a 的取值范围是(2,3规律方法 1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警
15、示：(1)若函数在区间a，b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值易错与防范1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点3函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“， ”隔开，不能用“”连接
