1、第 7 讲 三角函数的图像与性质1.(1)2015全国卷 函数 f(x)=cos(x+)的部分图像如图 M2-7-1 所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( )图 M2-7-1A. ,kZB. ,kZC. ,kZD. ,kZ(2)2016全国卷 将函数 y=2sin 2x+ 的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin 2x+ B.y=2sin 2x+C.y=2sin 2x- D.y=2sin 2x-试做_命题角度 三角函数图像平移问题和求解析式问题(1)解决三角函数图像平移问题:关键一,有两种途径,“先平移后伸缩 ”和“先伸缩后平移”;关键二,x+= x+ .利用图
2、像变换求三角函数解析式问题:关键一,确定图像的变换方向(左加右减、上加下减、横纵坐标的伸长或缩短);关键二,根据不同的变换形式变换已知解析式.(2)利用图像求函数 y=Asin(x+)的解析式时,常采用待定系数法:由图像的最高点或最低点求A,由函数的周期求 ,确定 时常根据“五点法”中的五个点求解, 或由图像上的某一特殊点求出 的值.2.2016全国卷 函数 f(x)=cos 2x+6cos -x 的最大值为 ( )A.4 B.5 C.6 D.7试做 _命题角度 三角函数的有界性利用三角函数的有界性求最值问题:方法一,利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x 和 cos x 的二次
3、函数,采用配方法求最值;方法二,利用诱导公式、辅助角公式将函数化为 f(x)=Asin(x+)+b(或 f(x)=Acos(x+)+b)的形式,根据三角函数的有界性运用整体思想求最值.3.【 引全国卷】2014全国卷 在函数y=cos| 2x|,y=|cos x|,y=cos 2x+ ,y=tan 2x- 中,最小正周期为 的所有函数为 ( )A. B. C. D.试做_【荐地方卷】2018江苏卷 已知函数 y=sin(2x+) - 0,0)的形式;关键二,把 x+ 看作一个整体 t,根据 y=sin t 或 y=cos t 的单调区间或图像的对称轴, 求得原函数的单调区间或原图像的对称轴;关
4、键三,最小正周期为 .(2)对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻对称中心与对称轴之间的距离是 个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是 个周期.小题 1 三角函数的定义、诱导公式及同角关系式1 (1)已知 sin + = ,则 sin - = ( ) A. B.-C. D.-(2)已知 sin +cos = ,则 sin cos 的值为 . 听课笔记 _【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的易失分点:(1) 确定不了函数值的符号,如由 sin2= 求 sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】
5、1.已知角 的终边经过点(m, -2m),其中 m0,则 sin +cos 等于 ( )A.- B. C.- D.2.已知 cos + = ,则 sin - 的值等于 ( )A. B.- C. D.3.已知 sin + cos = ,则 tan = ( )A. B.C.- D.-小题 2 三角函数的图像及应用2 (1)为了得到函数 y=cos 的图像,只需将函数 y=sin + 的图像 ( )A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位(2)函数 f(x)=sin(x+) |0)的图像向右平移 个单位后,所得图像对应的函数解析式为 ( )A.y=2sin 2
6、x-B.y=2cos 2x-C.y=2sin 2xD.y=2cos 2x-3.函数 f(x)=Asin(x+) A0,0, 0,00,否则易出错;二是一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.函数 f(x)=sin x-cos x(0)在 - , 上单调递增, 则 的取值不可能为 ( )A. B. C. D.2.设函数 f(x)=cos( x+),其中常数 满足-0,0)图像上相邻两个最高点的距离为 6,P ,-2 是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是 ( )A.(1,0) B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)小题 4 三角函数的值域与最值问题4 函数 f(x)=co
7、s xsin x+ - cos2x+ 在闭区间 - , 上的最小值是 . 听课笔记 _【考场点拨】求三角函数的值域与最值问题的类型与求解策略:(1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为 y=Asin(x+)+B 的形式,再借助三角函数图像与性质确定值域与最值;(2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,转化为二次函数去求解;(3 )形如 y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin xcos x,再转化为关于 t 的二次函数去求解.【自我检测】1.已知函数 y=sin x+ cos x(
8、0)在区间 0, 上的最小值为-1, 则 = . 2.已知函数 y=cos2x+ sin 2x- ,x 0, ,则该函数的值域为 . 第 7 讲 三角函数的图像与性质典型真题研析1.(1)D (2)D 解析 (1)由图知 = - =1,所以 T=2,即 =2,所以 =.因为函数 f(x)的图像过点 ,所以当 = 时, += +2k,kZ,解得 = +2k,kZ;当 =- 时, +=- +2k,kZ,解得=- +2k,kZ.所以 f(x)=cos ,由 2k0 时,sin = =- ,cos = =,sin +cos =- ;当 m0),令- +2kx- 2k+ ,kZ,即- + x + ,kZ
9、.f(x)=sin x-cos x(0)在 - , 上单调递增, - - 且 ,0 .故选 D.2.A 解析 由题意得 g(x)=f(x)+f(x)=cos( x+)- sin( x+)=2cos x+ ,函数 g(x)为偶函数, + =k,kZ.又-0, =- .故选 A.3.C 解析 由题意可得函数的最小正周期 T=6,则 = = = ,结合点 P 的坐标可得 A=2,且x+= +=2k- (kZ),得 =2k-(kZ),所以函数的解析式为 y=2sin x+2k- =-2sin x,故其图像对称中心的横坐标满足 x=k(kZ),x=3k(kZ).取 k=1,可得该函数图像的一个对称中心为
10、(3,0).故选 C.小题 4例 4 - 解析 f(x)=cos xsin x+ - cos2x+ =cos x sin x+ cos x - += sin 2x- cos 2x= sin 2x- .因为 x - , ,所以 2x- - , ,因此当 2x- =- 时, f(x)取得最小值- .【自我检测】1.5 解析 由题意可得 y=2sin x+ ,x 0, ,x+ , + ,又 函数的最小值为-1, + = ,=5.2. - ,1 解析 函数 y=cos2x+ sin 2x- = + sin 2x- = sin 2x+ cos 2x=sin 2x+,因为 x 0, ,所以 2x+ , ,
11、 故值域为 - ,1 .备选理由 有时会把一个代数式看成一个角,再利用诱导公式去化简,灵活性更强,把握已知和结论之间的联系,备用例 1 是对例 1 的拓展和延伸; 对于三角函数的单调性的考查,在某一个区间或者在某几个区间上单调是个难点问题,备用例 2 是对例 3 的拓展和补充.例 1 配例 1 使用 已知 sin x+ = ,则 sin -x -cos 2x- 的值为 . 答案 解析 sin -x -cos 2x- =sin 2- x+ -cos 2 x+ - =- sin x+ +cos 2 x+ =-sin x+ +1-2sin2 x+ =- +1- = .例 2 配例 3 使用 将函数 f(x)=cos 2x 的图像向右平移 个单位得到 g(x)的图像,若 g(x)在-2m,- 和 3m, 上都单调递减, 则实数 m 的取值范围为 ( )A. , B. ,C. , D. ,解析 A 由题意可得 g(x)=cos 2 x- ,其单调递减区间为 +k, +k ,kZ,所以3m, , , -2m,- - ,- ,所以 得 m , ,故选 A.
