1、基础过关1.已知 sin = ,sin -cos 1,则 sin 2= ( )A. B.-C. D.-2.在 ABC 中,a,b 分别为内角 A,B 所对的边,且 a=2 ,b=2 ,B=45,则 A= ( )A.60或 120 B.60C.30或 150 D.303.已知 sin = ,那么 cos = ( )A.- B.-C. D.4.已知 tan =-3 ,则 tan 的值是 ( )A. B.-C. D.5.已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足( a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,则 A= ( )A. B.C. D.6.已知在锐角A
2、BC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 + = ,则 b= ( )A. B.2C. D.7.一艘海警船从港口 A 出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,这时候接到从 C 处发出的求救信号,已知 C 在 B 的北偏东 65方向上,在港口 A 的东偏南 20方向上 ,则 B,C 之间的距离是( )A.10 海里 B.10 海里C.20 海里 D.15 海里8.已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,b=2,则ABC 面积的最大值是 ( )A.1 B.C.2 D.4
3、9.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ABC 的面积为 S,且 4S=(a+b)2-c2,则sin = ( )A.1 B.-C. D.10.在 ABC 中,AB=2 ,C= ,则 AC+ BC 的最大值为( )A. B.2C.3 D.411.若 ABC 的内角 A,B,C 满足 sin Asin Bsin C=233,则以 2B 为一内角且其对边长为 2 的三角形的外接圆的面积为 . 12.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos 2A+3cos A=1,b=5,且ABC 的面积 S=5,则ABC 的周长为 . 能力提升13.若 =
4、 sin 2,则 sin 2= ( )A. B.-C. D.-14.已知在平面四边形 ABCD 中, AB=AD=2,BC=CD,BCD=90,则四边形 ABCD 的面积的最大值为( )A.6 B.2+2C.2+2 D.415.已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2-bc,且ABC 的面积为 ,则 a的最小值为 . 图 X8-116.如图 X8-1 所示,在ABC 中 ,BC=2,ABC= ,AC 的垂直平分线 DE 与 AB,AC 分别交于 D,E 两点,且DE= ,则 BE2= . 限时集训(八)基础过关1.D 解析 sin = ,且 sin -
5、cos 1,cos b,AB,A=60或 A=120.故选 A.3.A 解析 由题意得 cos =cos 2 - =1-2sin2 = ,所以 cos +2 =cos=-cos -2 =- .4.C 解析 tan = =-3,tan x=2,tan = = = .5.C 解析 (a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得 (a-b)(a+b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得 cos A= ,A(0,),A= .6.A 解析 由正弦定理和余弦定理得 + = ,化简得 b= .7.A 解析 如图所示,由已知可得, BAC=30,ABC=105
6、,AB=20,所以 ACB=45.在ABC 中,由正弦定理可得 BC= sin 30=10 .故选 A.8.B 解析 由正弦定理得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin(-B)=sin B,因为B(0,),所以 cos B= ,所以 B= ,所以由余弦定理得,ac=a 2+c2-42ac-4,即 ac4,当且仅当 a=c 时,等号成立,故 SABC= acsin B .故选 B.9.C 解析 S= absin C,cos C= ,2S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,又 4S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2a
7、b,2absin C=2abcos C+2ab.ab0,sin C=cos C+1.sin2C+cos2C=1,(cos C+1)2+cos2C=1,解得 cos C=-1(舍去)或 cos C=0,sin C=1,则 sin = (sin C+cos C)= .10.D 解析 由正弦定理可得, = = = =4,又 A+B=-C= ,AC+ BC=4sin B+4 sin A=4sin B+4 sin =4sin B+4 =2 cos B+10sin B=4 sin(B+), .B ,B+ ,sin(B+) ,AC+ BC 的最大值为 4 .11. 解析 设内角 A,B,C 所对的边分别为
8、a,b,c,由题设 a=2k(k0),则 b=c=3k,cos B= ,cos 2B=2cos2B-1=- .2B 为三角形的一个内角, 2B(0,),sin 2B0,sin 2B= .设所求三角形的外接圆的半径为 R,则 =2R,解得 R= ,所求三角形的外接圆的面积为 R2=.12.9+ 解析 cos 2A+3cos A=1,2cos2A+3cos A-2=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去).A(0,),sin A= .又 S=5 ,b=5, bcsin A= 5c =5 ,c=4.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-254 =21,即 a= ,
9、ABC 的周长为 5+4+ =9+ .能力提升13.B 解析 由题意得 = =2(cos +sin )= sin 2,将上式两边同时平方,得 4+4sin 2=3sin22,即 3sin22-4sin 2-4=0,解得 sin 2=- 或 sin 2=2(舍去),故选 B.14.C 解析 如图所示 ,设DAB=, (0,),BC=CD=x,四边形 ABCD 的面积为 S,则 BD= x.在ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos ,即( x)2=4+4-8cos =8-8cos ,x2=4-4cos ,S= 22sin + x2=2sin +2-2cos =2 sin
10、 +2,0,- - ,当 - = ,即当 = 时,S 有最大值 ,且最大值为 2 +2.故选 C.15. 解析 由题意得 b2+c2-a2=bc,cos A= ,A(0,),A= .ABC 的面积为 , bcsin A=,bc=3.a2=b2+c2-bc,a22bc-bc=bc=3,当且仅当 b=c 时,等号成立, a .16. + 解析 由题意得, BDC=2A,所以 = = ,故 CD= .又因为 DE=CDsin A= ,所以 cos A= ,因为 A(0,),所以 A= ,因此 ADE 为等腰直角三角形,所以 AE=DE= .在ABC 中,C=- - = ,所以 = ,故 AB= +1.在 ABE 中,BE 2=AB2+AE2-2ABAEcos A=( +1)2+ -2( +1) = + .
