1、第 6 讲 平面向量1.(1)2018全国卷 在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 =( )A. - B. -C. + D. +(2)2014全国卷 设 D,E,F 分别为ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 + =( )A. B. C. D.(3)2018全国卷 已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,),若 c(2a+b),则 = . 试做_命题角度 平面向量的线性运算解题策略:观察各向量的位置 ;寻找相应的三角形或平行四边形 ;运用法则找关系; 用好平面向量基本定理和向量共线定理.2.【 引全国卷】(1)2018全国卷 已知向量 a
2、,b 满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)= ( )A.4 B.3 C.2 D.0(2)2013全国卷 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 中点, 则 = . 试做_【荐地方卷】2017山东卷 已知 e1,e2 是互相垂直的单位向量, 若 e1-e2 与 e1+e2 的夹角为 60,则实数 的值是 . 命题角度 平面向量数量积的公式及应用定义法;坐标法;将向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.小题 1 平面向量的线性运算1 (1)已知 D,E,F 分别是ABC 的边 BC,CA,AB 的中点, 且 =a, =b, =c,则有下列各式:
3、 = c- b; =a+ b; =- a+ b; + + =0.其中正确的等式有 ( )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个(2)在ABC 中,点 D 是边 BC 上任意一点 ,M 是线段 AD 的中点,若存在实数 和 ,使得 =+ ,则 += ( )A. B.-C.2 D.-2听课笔记 _【考场点拨】高考中向量线性运算的关注点:(1)解决向量的线性运算问题时应关注两点: 尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中( 注意已知条件);选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量.(2)向量共线有两个常用结论: 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 平行, 坐标满足的关系为
4、x1y2-x2y1=0;若 O 为直线 AB 外一点 ,点 P 在直线 AB 上,则有 = + 且 +=1.【自我检测】1.下列各组向量中,可以作为基底的是 ( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(2,-3),e2= ,-C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(-1,2),e2=(5,7)2.已知 O 是正ABC 的中心,若 = + ,其中 ,R,则 的值为 ( )A.- B.-C.- D.23.设点 O 在ABC 的外部,且 2 -3 -5 =0,则 SABCSOBC= ( )A.21 B.31C.32 D.41小题 2 平面向量的数量积及应用2 (1)已知向量
5、a 与 b 的夹角是 ,且| a|=1,|b|=2,若( a+b)a,则实数 = ( )A.- B.C. D.-(2)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足( c+a)b,c(a+b),则 c 等于 ( )A. , B. - ,C. , D. - ,-(3)已知向量 m=(1,2),n=(2,3),则 m 在 m-n 方向上的投影为 . 听课笔记 _【考场点拨】高考中数量积的解题策略:(1) 数量积的计算常用方法有三种:数量积的定义,坐标运算, 数量积的几何意义.其中坐标运算是处理问题的主要方法,只要能够建立直角坐标系,把向量的坐标表示出来,从而转化为坐标运算.(2)用数
6、量积可求投影,如 a 在 b 方向上的投影为 ,b 在 a 方向上的投影为 .【自我检测】1.已知向量 a=(-3,2),b=(-1,0), 若 a+b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为 ( )A.- B.C.- D.2.已知两个平面向量 a,b 满足| a|=1,|a-b|= ,且 a 与 b 的夹角为 120,则| b|= ( )A.3 B.2C.1 D.3.在菱形 ABCD 中,BAD=60 ,AB=2,E 为 CD 的中点, 则 = . 4.已知 a=(2,-1),b=(,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 的取值范围是 . 第 6 讲 平面向量典型真题研析1.(1)A (2)A
7、 (3) 解析 (1)如图, = - = - = - ( + )= - ,故选 A.(2) + = + + + = + = .(3)2a+b=(4,2),由 c(2a+b)可得 = ,即 = .2.【引全国卷】(1)B (2)2 解析 (1)a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3,故选 B.(2)如图建立平面直角坐标系,则 =(1,2), =(-2,2),所以 =2.【荐地方卷】解析 由题意不妨取 e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设 a= e1-e2=( ,-1),b=e1+e2=(1,),所以 cos=cos 60= = ,所以 -= ,解得 = .考点考法探究小题 1例
8、 1 (1)C (2)B 解析 (1)D,E,F 分别是ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且=a, =b, =c, = = ( + )= (b+c)= b+ c,不正确;= + = + =a+ b,正确;= + = + = + ( + )= + + = + = b- a,正确;+ + = ( + )+ ( + )+ ( + )= (c-b)+ (-c+a)+ (b-a)=0,正确.故选 C.(2)如图所示,因为点 D 在边 BC 上,所以存在 tR,使得 =t =t( - ).因为 M 是线段 AD 的中点,所以 = ( + )= (- +t -t )=- (t+1) + t ,又 =
9、+ ,所以 =- (t+1),= t,所以 +=- .故选 B.【自我检测】1.D 解析 作为基底的两个向量不能是共线向量, 通过计算可知选项 A,B,C 中的两个向量均为共线向量,故不能作为基底 ,故选 D.2.C 解析 由题知 ,O 是正ABC 的中心, 延长 CO 交 AB 于点 D. = = ( + ) = (-+ - )= - ,= ,=- , =- .故选 C. 3.B 解析 由 2 -3 -5 =0,得 2( - )=3( + ).取 BC 的中点 D,则有 =3 ,由此可得 CAOD,且点 A 到 BC 的距离是点 O 到 BC 的距离的 3 倍,故有 SABCSOBC=31.
10、故选 B.小题 2例 2 (1)A (2)D (3)- 解析 (1)根据题意可知| a|=1,|b|=2,且 ab=|a|b|cos =1,因为( a+b)a,所以( a+b)a= a2+ab= +=0,得 =- .故选 A.(2)设向量 c=(x,y),根据向量平行及垂直的性质, 由( c+a)b,c(a+b),得 解得则 c= - ,- .故选 D.(3)m-n=(1,2)-(2,3)=(-1,-1),则 m 在 m-n 方向上的投影为 = =- .【自我检测】1.A 解析 依题意 ,a+b=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2)
11、,又 a+b 与 a-2b垂直,所以-1(-3- 1)+22=0,得 =- .故选 A.2.C 解析 把| a-b|= 两边平方得 a2+b2-2ab=3,化简得 1+|b|2-2|a|b|cos120=3,|b|2+|b|-2=0,解得| b|=-2(舍)或| b|=1.故选 C.3.-4 解析 在菱形 ABCD 中, BAD=60,AB=2,E 为 CD 的中点,因为 = + = + ,所以 =- + =- - | |2=-22cos 60- 22=- 4.4.(-,-6) -6, 解析 由 ab0,即 2-30,得 .由 ab 得 6=-,即 =-6,此时 b=-3a,ab0,但 a 与
12、 b 的夹角为 .因此 ,且 -6.备选理由 对于向量的综合应用, 例 1 涉及较少,备用例 1 是对例 1 的拓展和延伸;例 2 是向量数量积的基本应用,综合性一般 ,备用例 2 是对例 2 的延伸和补充.例 1 配例 1 使用 已知 P 为ABC 所在平面内一点, + + =0,| |=| |=| |=2,则PBC 的面积等于 ( ) A.3 B.2C. D.4 解析 C 分别取边 BC,AC 的中点 D,E,则 + =2 , =2 ,因为 + + =0,所以 =-,所以 E,D,P 三点共线,且| |=| |=1.又| |=| |=2,所以 ,所以| |=2 ,所以PBC 的面积 S= 2 1= .故选 C.例 2 配例 2 使用 在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点 ,若点 F 满足 = ,且 =0,则 = ( )A. B.C. D.解析 A =0, = ,( + )( + )= + ( + )= + ( + )=0.又 =0, ( + )( + )=(-1)| |2+ | |2=0,即 -1=- ,= .故选 A.
