1、基础过关1.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a= b 且 sin B=sin C.(1)求角 A 的大小;(2)若 a=2 ,角 B 的平分线交 AC 于点 D,求线段 BD 的长度.2.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A= ,C=2A.(1)求 sin B 的值;(2)若 a=4,求 ABC 的面积.3.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 + = .(1)求 b 的值;(2)若 cos B+ sin B=2,求ABC 面积的最大值.4.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,
2、c,且 acos B=(2c-b)cos A.(1)求角 A 的大小;(2)若 b=3,点 M 在线段 BC 上, + =2 ,| |= ,求ABC 的面积.能力提升5.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 bcos A-acos B=2c.(1)求证:tan B=-3tan A;(2)若 b2+c2=a2+ bc,ABC 的面积为 ,求边 a 的长.6.在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且( b2-a2-c2)sin(B+C)= accos(A+C).(1)求角 A 的大小;(2)求 的取值范围.限时集训(九)基础过关1.解:(
3、1)由 sin B=sin C 及正弦定理知 b=c,由 a= b 及余弦定理得 cos A= = =- .A(0,),A= .(2)由(1)知 B=C= ,角 B 的平分线交 AC 于点 D,在 BCD 中,BDC= ,BCD= ,故由 BC=2 及正弦定理得 = ,BD= .2.解:(1)由 cos A= ,得 sin A= ,C=2A,cos C=cos 2A=cos2A-sin2A= ,sin C= = .又 A+B+C=,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .(2)由正弦定理 = 得 b= =5,则ABC 的面积 S= ab
4、sin C= .3.解:(1)由正弦定理及余弦定理得 + = ,即 = ,整理得 b= .(2)由 cos B+ sin B=2 得 2sin B+ =2,即 sin B+ =1,B(0,),B+ = ,B= .b2=a2+c2-2accos B,3=a2+c2-ac2ac-ac=ac,得 ac3,当且仅当 a=c= 时等号成立,S= acsin B 3 = ,ABC 面积的最大值为 .4.解:(1)由题知 acos B=(2c-b)cos A,由正弦定理得 sin Acos B=(2sin C-sin B)cos A,即 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A,即
5、 sin C=2sin Ccos A.在ABC 中,因为 sin C0,所以 cos A= ,得A= .(2)据题意知| |= ,cos A= , + =2 ,两边平方可得 c2+9+2c3 =63,解得 c=6 或 c=-9(舍),所以ABC 的面积 S= 63 = .能力提升5.解:(1)证明: bcos A-acos B=2c,A90,B90,sin Bcos A-sin Acos B=2sin C.又 A+B+C=,sin Bcos A-cos Bsin A=2sin(A+B),sin Bcos A-cos Bsin A=2(sin Bcos A+cos Bsin A),sin Bco
6、s A=-3cos Bsin A,得 tan B=-3tan A.(2)由题意可得 b2+c2-a2= bc,cos A= = = .由 0A 得 A= ,tan A= ,tan B=- .由 0B 得 B= ,C= ,a=c.由 S= acsin = a2= ,得 a=2.6.解:(1)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 b2-a2-c2=-2accos B,代入(b 2-a2-c2)sin(B+C)= accos(A+C)中,得-2accos Bsin(B+C)= accos(A+C),-2cos Bsin(-A)= cos(-B),所以-2cos Bsin A=- cos B.因为ABC 是锐角三角形 ,所以 cos B0,所以 sin A= ,得 A= .(2)因为 A= ,所以 C= -B,所以 = = =2sin B+ .由 得 所以 B , B+ ,所以 sin B+ 1,所以 2.
