1、第 1 讲 函数的图像与性质1.2017全国卷 函数 y= 的部分图像大致为( )A B C D图 M1-1-1试做 命题角度 函数图像的识别解题策略:步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性、对称性等,初步排除选项(需观察选项,确定首先判断已知函数的什么性质);步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断) 或特殊点描绘函数的大致图像得出答案. 注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;(2)有时需要关注由已知函数图像上下或者左右平移得到的对称性等.2.【引全国卷】2018全国卷 已知 f(x)是定义域为(- ,+)的奇函数 ,满足 f(1-x)=f(1
2、+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A.-50 B.0C.2 D.50【荐地方卷】2017山东卷 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x- 3,0 时,f (x)=6-x,则 f(919)= . 试做 命题角度 函数周期性为背景的问题 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值. 求函数周期性的方法:a:若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期 .b:若函数满足 f(x+a)=-f(x),则 2a
3、是函数的一个周期.c:若函数满足 f(x+a)= ,则 2a 是函数的一个周期. 对称性与周期性:如果一个函数 y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数 .具体如下:a:关于两个点对称,若 y=f(x)的图像关于点 (a,0),(b,0)对称,则 y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.b:关于两条线对称,若 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b 对称,则 y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.c:关于一条线和一个点对称,若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和点(b,0)对称,则 y=f(x)是周期函数,且正周期为 4|b-a|.3.(1)2016全国
4、卷 已知函数 f(x)(xR)满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y= 与 y=f(x)图像的交点为(x 1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则 (xi+yi)=( )A.0 B.mC.2m D.4m(2)2017全国卷 已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在 (0,2)单调递减C.y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称D.y=f(x)的图像关于点(1,0) 对称试做 命题角度 函数图像对称性为背景的问题 解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题.关键一:利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴 .关键二:熟
5、记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:a.f(a+x)=2b-f(a-x)函数 y=f(x)的图像关于点(a,b) 对称;b.f(a+x)+f(b-x)=c函数 y=f(x)的图像关于点 , 对称;c.f(a+x)=f(a-x)函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称;d.f(a+x)=f(b-x)函数 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 . (特殊法) 将抽象函数 f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如 f(x)=x+1. 一个函数图像的自身对称和两个不同函数的图像对称的区别.4.(1)2017全国卷 函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )A
6、.(-,-2) B.(-,1)C.(1,+) D.(4,+)(2)2014全国卷 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数试做 命题角度 复合函数单调性与奇偶性的判断 复合函数的单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数(内函数与外函数);关键二,分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同增异减”来判断原函数在定义域内的单调性.注:外函数的定义域的确定需结合内函
7、数的值域 . 解决两函数的积的奇偶性的策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.注:两个函数的定义域都要关于原点对称 .5.(1)2017全国卷 函数 f(x)在(-,+) 单调递减,且为奇函数 .若 f(1)=-1,则满足-1f(x- 2)1的 x 的取值范围是( ) A.-2,2 B.-1,1C.0,4 D.1,3(2)2014全国卷 已知偶函数 f(x)在0,+) 单调递减,f (2)=0,若 f(x-1)0,则 x 的取值范围是 . 试做 命题角度 解抽象函数不等式 解决抽象函数不等式问
8、题的依据是单调性的定义. 将抽象函数不等式变形为类似 f(x1)f(x2)的形式,结合单调性转化为常规不等式如x1x2(或 x10,所以可以排除 A.而 f()= =0,所以可以排除 D.故选 C.2.【引全国卷】C 解析 因为 f(x)是定义在( -,+)上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x) ,且 f(0)=0.而 f(1-x)=f(1+x),所以 f(-x)=f(2+x) ,由 可得 f(x+2)=-f(x),则有 f(x+4)=f(x),所以函数 f(x)的周期为 4.由 f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有 f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)
9、=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2+0=2.【荐地方卷】6 解析 由 f(x+4)=f(x-2)可知周期 T=6,所以 f(919)=f(1536+1)=f(1),又因为 f(x)为偶函数,所以 f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.3.(1)B (2)C 解析 (1)由 f(-x)=2-f(x)得 f(x)的图像关于点(0,1)对称, y= =1+ 的图像也关于点(0,1)对称, 两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点 (xi,yi)和(x i,yi)均
10、满足xi+xi=0,yi+yi=2, (xi+yi)= xi+ yi=0+2 =m.(2)因为函数 f(x)的定义域为(0,2),f (x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln-(x-1)2+1,所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2) 上单调递减,故选项 A,B 错.由于函数 y=-(x-1)2+1,x(0,2)的图像关于直线 x=1 对称,所以函数 f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线 x=1 对称.故选 C.4.(1)D (2)C 解析 (1)函数 y=x2-2x-8=(x-1)2-9 图像的对称轴为直线 x=1,由 x2-2x-80 解得x4
11、 或 x0 的解集为(- 2,2),若 f(x-1)0,则-20,即 x1 时,f(x)+f(x- 1)=4x+4x-12,得 x1.综上,x 的取值范围是 .【自我检测】1.B 解析 1cb,故选 A.(2)设 x- 1,0,则-x 0,1, 结合题意可得 f(x)=f(-x)=log2(-x+1).设 x1,2,则 x-2-1,0,故 f(x)=f(x-2)=log2-(x-2)+1=log2(3-x).综上可得,函数 f(x)在1,2 上的解析式是 f(x)=log2(3-x).【自我检测】1.B 解析 A 中,y= 是偶函数,当 x0 时,y= = 是减函数,不满足条件;B 中,y=x
12、 2+2|x|是偶函数,当 x0 时,y=x 2+2|x|=x2+2x 是增函数,满足条件;C 中,y=| ln x|的定义域为(0,+),定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足条件;D 中,y= 2-x 在(0,+)上是减函数,且函数为非奇非偶函数,不满足条件.故选 B.2.A 解析 由 f(x)+g(x)=2x+x,得 f(-x)+g(-x)=2-x-x,又由函数 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,得 f(x)-g(x)=2-x-x,联立方程消元可得 f(x)= , f(log25)= = .3.A 解析 f(x)=-f , f(x-3)=-f =f(x), f
13、(x)是以 3 为周期的奇函数, f(2018)+f(2019)=f(-1)+f(0)=-f(1)=-log2(2-1)=0.4.C 解析 由题意,函数 f(x)= +sin ,令 g(x)= = = + ,则 g(x)的图像的对称中心为点 ,所以 g(x)+g(1-x)=1,则令 h(x)=sin ,则点 为函数 h(x)图像的一个对称中心 ,则 h(x)+h(1-x)=0,所以所以 故选 C.小题 3例 3(1)C (2)(2,2019) 解析 (1)令 f(x)=x2+ ,因为 f(-1)=10,所以排除选项 A,B,又因为 f= -e0,即 m-1 时,x ,所以 m+1 ,解得 m-
14、 ,所以-1m- .当 m+1=0,即 m=-1 时,不等式恒成立.当 m+10,即 m-1 时,x ,所以 m ,解得 m ,此时无解 .故- 1m- ,故 m 的最大值为- .例 2 配例 2 使用 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(2+x)=f(-x),且 f(1)=2,则 f(2018)+f(2019)的值为 ( )A.-2 B.0C.2 D.4解析 A f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x),又 f(2+x)=f(-x), f(2+x)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数. f(2018)+f(2019)=f(4504+2)+f(4504+3)=f(2)+f(3),又 f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, f(2018)+f(2019)=f(2)+f(3)=-2.故选 A.
