1、第 2 讲 基本初等函数、函数与方程1.(1)2016全国卷 若 ab1,01)的取值不同,单调性不同.(2) 解决含字母指数、对数比较大小的问题,关键一:将不等式两边转化成同底的对数或指数不等式;关键二:利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图像比较大小 . (特殊值法) 取特殊值,例如 a=4,b=2,c= . (排除法) 将选项中给出的不等式结合已知条件逐个验证排除.2.(1)2017全国卷 已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a= ( )A.- B.C. D.1(2)2014全国卷 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零
2、点 x0,且 x00,则 a 的取值范围是 ( )A.(2,+) B.(1,+)C.(-,-2) D.(-,-1)试做 命题角度 含参函数有唯一零点的问题 关键一:观察函数是否具有某种对称性 ;关键二:求出 f(x),根据 f(x)的单调性画出函数 f(x)的大致图像;关键三:分离参数,注意验证 x=0 是否是零点;关键四:数形结合法,对解析式进行变形 ,转化为两个函数的图像有一个交点. 含参数的问题注意分类讨论.3.2018全国卷 已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,0) B.0,+)C.-1,+) D.1,+
3、)试做 命题角度 据函数零点(方程的根)求参 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式 ,再通过解不等式确定参数范围. 分离参数法:先将参数分离 ,再转化成求函数值域问题加以解决. 数形结合法:先将解析式变形 ,转化为两函数图像的交点问题,在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像,再数形结合求解.小题 1 基本初等函数的图像与性质1 (1)已知函数 f(x)在定义域(0, +)上是单调函数,若对于任意 x(0,+ ),都有 f =2,则 f 的值是 ( )A.5 B.6C.7 D.8(2)已知函数 f(x)=ex+2(x1,0logb2018B.logba(c-b)baD.(a-c)ac(a
4、-c)ab4.在同一直角坐标系中,函数 f(x)=2-ax 和 g(x)=loga(x+2)(a0 且 a1)的大致图像可能为 ( )A BC D图 M1-2-1小题 2 函数的零点2 (1)已知函数 f(x)= 则函数 F(x)=ff(x)-f(x)-1 的零点个数是 ( )A.7 B.6C.5 D.4(2)已知函数 f(x)= 若 f(x)在区间0,+ )上有且只有 2 个零点,则实数m 的取值范围是 . 听课笔记 【考场点拨】判断函数零点的方法:(1)解方程法,即解方程 f(x)=0,方程有几个解 ,函数 f(x)有几个零点;(2)图像法,画出函数 f(x)的图像 ,图像与 x 轴的交点
5、个数即为函数 f(x)的零点个数;(3) 数形结合法,即把函数等价地转化为两个函数,通过判断两个函数图像的交点个数得出函数的零点个数;(4)利用零点存在性定理判断.【自我检测】1.已知函数 f(x)= -log3x,则下列区间中包含 f(x)零点的是 ( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.函数 f(x)=2x- 的零点个数为 ( )A.0 B.1C.2 D.33.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: 当 x0 时,f(x)=2 x+2x-4,则 f(x)的零点个数是 ( )A.2 B.3C.4 D.54.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)+3
6、m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 .小题 3 函数建模与信息题3 (1)某食品的保鲜时间 y(单位:h)与储存温度 x(单位: ) 满足函数关系式y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间为 192 h,在22 的保鲜时间是 48 h,则该食品在 33 的保鲜时间为 h.(2)如果函数 f(x)在其定义域内总存在三个不同实数 x1,x2,x3 满足|x i-2|f(xi)=1(i=1,2,3),则称函数 f(x)具有性质 .已知函数 f(x)=aex 具有性质 ,则实数 a 的取值范围为 . 听课笔记 【考场点拨】(1)构建函数模型
7、解决实际问题的失分点: 不能选择相应变量得到函数模型; 构建的函数模型有误; 忽视函数模型中变量的实际意义 .(2)解决新概念信息题的关键: 依据新概念进行分析; 有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.【自我检测】1.国家规定某行业收入税如下:年收入在 280 万元及以下的税率为 p%;超过 280 万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为( p+0.25)%,则该公司的年收入是( )A.560 万元 B.420 万元C.350 万元 D.320 万元2.函数 f(x)的定义域为 D,若满足 f(x)在 D 内是单调函数,且存在 a,bD,使得 f(x)在a,
8、b上的值域为 ,则称函数 f(x)为“成功函数”.若函数 f(x)=logm(mx+2t)(其中 m0 且 m1)是“成功函数”,则实数 t 的取值范围为 ( )A.(0,+) B.C. D.第 2 讲 基本初等函数、函数与方程典型真题研析1.(1)C (2)B (3)D 解析 (1)根据幂函数性质,选项 A 中的不等式不成立;选项 B 中的不等式可化为 bc-1 = =logab,此时 1,0 ,进而 lg a0,b1),则 x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又 t1,所以上述三个值中
9、底数大的反而小,故只需比较 , , 的大小即可.因为( )6=8125=( )15,所以 25=( )10,所以 0 即可 ,解得 a0,则 f(x)极大值 =f(0)=10,此时函数 f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意.综上可知,实数 a 的取值范围为(- ,-2).3.C 解析 函数 g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,即方程 f(x)=-x-a 有两个不同的解,即函数 f(x)的图像与直线 y=-x-a 有两个不同的交点.分别作出函数 f(x)的图像与直线 y=-x-a,由图可知,当-a1,即 a-1 时 ,函数 f(x)的图像与直线 y=-x-a 有两个不同的交点 ,即函数
10、g(x)有两个零点.考点考法探究小题 1例 1(1)B (2)B 解析 (1)因为函数 f(x)在定义域(0,+) 上是单调函数,且 f =2 恒成立,所以 f(x)- 为一个大于 0 的常数,令这个常数为 n(n0),则有 f(x)- =n,且 f(n)=2,所以 f(n)= +n=2,解得 n=1,所以 f(x)=1+ ,所以 f =6,故选 B.(2)由题意知,方程 f(-x)-g(x)=0 在(0, +)上有解,即 e-x+2-ln(x+a)-2=0 在(0,+)上有解,即函数 y=e-x 与 y=ln(x+a)的图像在 (0,+)上有交点.由图可知,将函数 y=ln x 的图像向左平
11、移到过点(0,1)时,两函数的图像在 (0,+)上开始有交点,把(0,1)代入 y=ln(x+a),得 1=ln a,即 a=e, a0logb2018,logba1,00, (c-b)ca(c-b)ba,(a-c)ac0 时,函数 f(x)=2-ax 为减函数. 若 01,则函数 f(x)=2-ax 的零点x0= (0,2), 且函数 g(x)=loga(x+2)在( -2,+)上为增函数.综上得 ,正确答案为 A.小题 2例 2(1)A (2)解析 (1)令 f(x)=t(t0),F(x)=0,则 f(t)-t-1=0.作出函数 y=f(t)和 y=t+1 的图像如图所示,结合图像可得 f
12、(t)-t-1=0 的根 t1=0,t2=1,t3(1,2).方程 f(x)=0 有 1 个解,方程 f(x)=1 有 3 个解,方程f(x)=t3 有 3 个解 ,故函数 F(x)的零点个数是 7.故选 A.(2)当 0x1时,函数的零点满足 2x2+2mx-1=0,很明显 x=0 不是其零点,则 m=-x+ .当 x1 时,函数的零点满足 mx+2=0,则 m= .则原问题等价于函数 y=m 与函数 g(x)= 的图像有两个不同的交点,求实数 m 的取值范围.很明显 y=-x+ (00,f(3)= -log33=- 0时单调递增,故当 x0 时函数有 1 个零点.根据奇函数的对称性可知,当
13、 x0,即 g(x)在2, +)上单调递增;当 x .【自我检测】1.D 解析 设该公司的年收入为 a 万元,则 280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得 a=320.故选 D.2.D 解析 无论 m1 还是 00),则 mx+2t= 可化为 2t=-2=- + ,结合图像(图略)可得 t .备选理由 例 1 考查对数函数,要求熟悉对数函数的图像与性质,重点是数形结合思想的应用;例 2 考查零点问题,需要将问题转化为研究三角函数与绝对值函数图像的交点问题,特别是要熟知绝对值函数 y=|x+a|的图像关于直线 x=-a 对称; 例 3 是一个新概念题,依据新概念的要求逐
14、一判断.例 1 配例 1 使用 已知函数 f(x)是奇函数,定义域为 R,且当 x0 时,f(x) =lg x,则满足(x- 1)f(x)1 时,f(x)0,即-1x0.故满足(x-1)f( x)0 的实数 x 的取值范围是 (-1,0).例 2 配例 2 使用 已知 M 是函数 f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则 M 的值为 ( )A.3 B.6C.9 D.12解析 D 因为 f(3-x)=|3-2x|-8sin(3-x)=|2x-3|-8sin x=f(x),所以 f(x)的图像关于直线 x= 对称.作出函数 y=|2x-3|和 y=8sin x 的图像( 图略
15、),由图知,f(x) 有 8 个零点,所以所有零点之和为 42 =12,故选 D.例 3 配例 3 使用 已知 f(x)是定义在 D 上的函数,若存在 m,nD,使函数 f(x)在m,n 上的值域恰为km,kn,则称函数 f(x)是“k 型函数”.给出下列说法: f(x)=3- 不可能是“ k 型函数 ”; 若函数 f(x)= (a0)是“1 型函数”,则 n-m 的最大值为 ; 若函数 f(x)=- x2+x 是“3 型函数”,则 m=-4,n=0; 设函数 f(x)=x3+2x2+x(x0)是“ k 型函数”,则 k 的最小值为 .其中正确的说法为 .(填入所有正确说法的序号) 答案 解析
16、 对于 ,f(x)的定义域是x|x0,且 f(2)=3- =1,f(4)=3- =2, f(x)在2,4上的值域是 1,2, f(x)是“ 型函数”, 错误;对于 ,f(x)= (a0)是“1 型函数”,即(a 2+a)x-1=a2x2, a2x2-(a2+a)x+1=0, 方程两根之差的绝对值|x 1-x2|= = ,即 n-m 的最大值为 , 正确;对于 ,f(x)=- x2+x 是“3 型函数”,即- x2+x=3x,解得 x=0 或 x=-4, m=-4,n=0, 正确;对于 ,f(x)=x3+2x2+x(x0)是“ k 型函数”,则 x3+2x2+x=kx 有两个不等负实数根 ,即 x2+2x+(1-k)=0 有两个不等负实数根 , 解得 0k1, 错误.综上,正确的说法是 .
