1、1(2018云南师大附中质检) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，离心率等于 ，且过点255.(1，255)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于 M 点，若 1MA ， 2 ，求证： 1 2 为定值AF MB BF 解析：(1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2则Error!a 25，b 21，椭圆 C 的标准方程为 y 21.x25(2)证明：设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，M(0，y 0) ，又易知 F 点的坐标为(2,0)显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k，则直
2、线 l 的方程是 yk(x2) ，将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得(15k 2)x220 k2x20k 25 0，x 1x 2 ，x 1x2 .20k21 5k2 20k2 51 5k2又 1 ， 2 ，将各点坐标代入得 1 ， 2 ，MA AF MB BF x12 x1 x22 x2 1 2 x12 x1 x22 x22x1 x2 2x1x24 2x1 x2 x1x2 10，2( 20k21 5k2 20k2 51 5k2)4 2 20k21 5k2 20k2 51 5k2即 1 2 为定值2(2018贵阳一模)过抛物线 C：y 24x 的焦点 F 且斜率为 k
3、的直线 l 交抛物线 C 于A，B 两点，且 |AB|8.(1)求 l 的方程；(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 恒过定点，并求出该点的坐标解析：(1)易知点 F 的坐标为(1,0)，则直线 l 的方程为 yk(x1) ，代入抛物线方程y24x 得 k2x2(2k 24)x k 20，由题意知 k0，且 (2k 24) 24k 2k216( k21)0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1x 2 ，x 1x21，2k2 4k2由抛物线的定义知|AB|x 1x 228， 6，k 21，即 k1，2k2 4k2直线 l 的方程为 y( x1)(2)由抛物线
4、的对称性知，D 点的坐标为 (x1，y 1)，直线 BD 的斜率 kBD y2 y1x2 x1 ，y2 y1y24 y214 4y2 y1直线 BD 的方程为 yy 1 (xx 1)，4y2 y1即(y 2 y1)yy 2y1y 4x4x 1，21y 4x 1，y 4x 2，x 1x21 ，(y 1y2)216x 1x216，21 2即 y1y24(y 1，y 2 异号)，直线 BD 的方程为 4(x1)(y 1y 2)y0，恒过点(1,0) 3(2018南宁模拟)已知抛物线 C：y 2ax(a0) 上一点 P(t， )到焦点 F 的距离为 2t.12(1)求抛物线 C 的方程；(2)抛物线
5、C 上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q(3，1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合 )，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值解析：(1)由抛物线的定义可知|PF| t 2t ，则 a4t，a4由点 P(t， )在抛物线上，得 at ，12 14a ，则 a21，a4 14由 a0，得 a1，抛物线 C 的方程为 y2x.(2)点 A 在抛物线 C 上，且 yA1，x A1.A(1,1) ，设过点 Q(3，1)的直线的方程为 x3m (y1)，即 xmym3，代入 y2x 得 y2my m30.设 M(x1，y 1)， N(x
6、2，y 2)，则 y1y 2m，y 1y2m 3，k 1k2 y1 1x1 1y2 1x2 1y1y2 y1 y2 1m2y1y2 mm 2y1 y2 m 22 ，12k 1k2 为定值4(2018福州四校联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点分别为 F1，F 2，x2a2 y2b2短轴的一个端点为 P，PF 1F2 内切圆的半径为 ，设过点 F2 的直线 l 被椭圆 C 截得的线段b3为 RS，当 lx 轴时，| RS|3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)在 x 轴上是否存在一点 T，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称？若存在，请求出点 T 的坐标
7、；若不存在，请说明理由解析：(1)由内切圆的性质，得 2cb (2a2c) ，得 .12 12 b3 ca 12将 xc 代入 1，得 y ，所以 3.x2a2 y2b2 b2a 2b2a又 a2b 2c 2，所以 a2，b ，3故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 垂直于 x 轴时，显然 x 轴上任意一点 T 都满足 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称当直线 l 不垂直于 x 轴时，假设存在 T(t,0)满足条件，设 l 的方程为 yk(x 1)，R(x1，y 1)，S( x2，y 2)联立方程，得Error!得(3 4k 2)x28k 2x4k 2120，由根
8、与系数的关系得Error!，其中 0 恒成立，由 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，得 kTSk TR0( 显然 TS，TR 的斜率存在) ，即 0 .y1x1 t y2x2 t因为 R，S 两点在直线 yk (x1)上，所以 y1k(x 1 1)，y 2k (x2 1)，代入得 0，kx1 1x2 t kx2 1x1 tx1 tx2 t k2x1x2 t 1x1 x2 2tx1 tx2 t即 2x1x2(t1)( x1x 2)2t0 ，将代入得 0 ，8k2 24 t 18k2 2t3 4k23 4k2 6t 243 4k2则 t4，综上所述，存在 T(4,0)，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称
