1、【高效整合篇】专题七 集合与简易逻辑、算法、推理与证明、复数一考场传真1. 【2016 高考新课标 1 数】 设集合 , ,则 2430Ax230xAB（ ）（A） （B） （C） （D） 3,23,21,2,22【2016 高考新课标 2 数】已知集合 ， ，则,A|(1)0,BxxZ（ ）（A） （B） （C） 11， 3， ， ，（D） 103， ， ， ，3 【2016 高考山东数】已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内.则“直线 a 和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4 【
2、2016 高考新课标 1 卷】执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出01xyn， ，x,y 的值满足（A） （B） （C ） （D ）23yx4yx5yn=+1入x,yx2+y36入x=+n-12y=n入x,yn5 【 2016 新课标】设 其中 , 实数,则 ( )(1)=+,xiyxi=xy（A）1 （B） （C） （D）2236【2016 高考新课标 2 数】已知 在复平面内对应的点在第四象限，则()(1izm实数 的取值范围是（ ）m（A） （B） （C） （D）(31)， (13)， (,)+(3)-，7 【2016 高考新课标 3 数】若 ，则 （ ）i2z4i1z(A)1 (B
3、) -1 (C) (D) i8 【2016 高考新课标 2 数】有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 二高考研究【考纲解读】1.考纲要求1了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题.了解“若 则 ”形式的逆命题，否命题和逆否命题，pq会分析四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.2理
4、解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系与运算. 理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称量词和存在量词的意义.3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.4解决问题的创新题常分三步：信息提取，确定划归方向；对所提取的信息进行加工，探求
5、解决方法；将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与划归是解题的关键，也是解题的难点.5.算法初步（1）算法的含义、程序框图了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.了解直接证明的两种
6、基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.7.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.8.框图（1）流程图了解程序框图；了解工序流程图（即统筹图） ；能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图了解结构图；会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息2.命题规律集合与简易逻辑从近几年高考题来看，集合的运算考查比较频繁
7、，新课标用韦恩图表达集合的关系与运算，集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系; 二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力. 常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大 算法、推理与证明、复数1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5
8、分；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为 .10%32.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数
9、列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式
10、以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题.一基础知识整合基础知识：1.集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 AB子集 资*源%库 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 AB 或 BA真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素A入B 或 B入A空集空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集A，资*源%库 资*源%库 入B(B)2.集
11、合的基本运算并集 交集 补集符号表示 AB AB资*源%库 若全集为 U，则集合A 的补集为 CUA图形表示意义 x|xA，或 x B x|xA，且 x B x|xU，且 xA3.集合运算中的常用结论: ；()(),()()CCB；()()(),()()()ABCACBAC；,并集的性质：AA；A AA；A BBA；AB ABA 交集的性质：A；AAA；AB BA；ABA AB 补集的性质：A(C UA)U；A(C UA)；C U(CUA)A 4.四种命题的关系可以用下图表示： 原 命 题 若 p则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q则 p 否 命 题 若 p则 q 互 逆
12、互 逆 互 否 互 否 互 为 逆 否 互 为 逆 否 互为逆否的两个命题是等价的即原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真常见结论的否定形式5.充分条件、必要条件是 的充分条件，pq即 ，相当于分别满足条件 和 的两个集合 与 之间PQ有包含关系： ，即 或 ，必要条件正好相反.而充要条件 就相当QPQPpq于 .以下四种说法表达的意义是相同的：命题“若 ，则 ”为真； ； 是 的pq充分条件； 是 的必要条件.qp6全称量词与存在量词原结论 否定形式 原结论 否定形式是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有二个
13、大于 不大于 至少有 个n至多有 -1 个n小于 不小于 至多有 个 至少有 +1 个或pq且pq对所有 成立0x存在某 不成立0x且 或 对任何 不成立 存在某 成立全称量词与存在量词表述：命题全称命题“ ”,()xAp特称命题“ ”00,()xAp所有 成立, 存在 使 成立0,0对一切 成立()xp至少有一个 使 成立x()px对每一个 成立,A对有些 使 成立0,A0任选一个 使 成立x()对某个 使 成立x()x表述方法 凡 都有 成立,p有一个 使 成立0,0p7含有一个量词的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定有如下结论：全称命题 ，:,()pxM它的否定是 .全称命题的
14、否定是特称命题. 00:,()pxM一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定有如下结论：特称命题，它的否定是 .特称命题的否定是全称命题.00:,():,()px8.算法：（1）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成（2）描述算法可以用不同的方式.例如：可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精锐的说明，也可以用程序框图直观的显示算法全貌.自然语言就是
15、人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格（3）算法的特征：确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、 “不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤， “不漏”
16、 是指缺少哪一步都无法完成任务.逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣.分工明确， “前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.9程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框 名称 功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的.输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要
17、输入、输出的位置.处理框赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内.判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”.流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序循环框 用来表达算法中重复操作以及运算连结点 连接另一页或另一部分的框图注释框 帮助编者或阅读者理解框图（3）程序框图的构成一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字10几种重要的结构$来 数字 7,890出现在第 4行，依此类推，则第 个数字为_考点 8 类比推理 【例 8】 【20
18、17 届宁夏石嘴山三中高三 10 月月考】已知 ,abc是 ABC的三边，若满足22abc，即 2()1abc， ABC为直角三角形，类比此结论：若满足,3nnN时， 的形状为_ （填“锐角三角形” ， “直角三角形”或“钝角三角形” ） 【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：线段的长度平面几何中平面图形的面积立体几何中立体图形的体积的类比；等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】 【2017 届重庆巴蜀
19、中学高三 12 月月考】已知 36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 236，所以 36 的所有正约数之和为2 22(1)()(1)(3)91参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为 .考点 9 复数 【例 9】 【2017 届河南百校联盟高三 11 月质监】设 1zi（ 为虚数单位） ，若复数2z在复平面内对应的向量为 OZ，则向量的摸是（ ）A.1 B. C. 3 D.2【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，
20、可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即 zabi,R，实部为 a，虚部为 b.（1）复数的概念： z为实数 0b； z为纯虚数0且 ； z为虚数 0.（2）复数的几何意义： ai在复平面内对应的点 ,Z在复平面对应向量 ,OZa；复数 z的模2zabi.（3 ）共轭复数：复数 zabi与 zi互为共轭复数.【举一反三】 【2017 届河北沧州一中高三 11 月月考】若复数 12Ri的实部与虚部相等，则 的值为（ ）A.-6 B.-3 C.3 D.6三错
21、混辨析1.已知集合 ，集合 、 都是 的子集， ，N,10|aUABU2BA， ，则 .9)()(BCA8,64)(U【错解】依题意画 Venn 图.【错解分析】错解中漏掉了 ，本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运N0算，考查了同学们借助于 Venn 图解决集合问题的能力.【正解】依题意画 Venn 图.2.设集合 ， ，则 .2|1,RMyx|1,RNyxMN【错解】由 ，解得 或 ， .0y2(0,)12【错解分析】错解中错在没有看清集合中的代表元素，错把集合 、 看成点集，实际上集合 、 是数集.N【正解】依题意 ， ， .|1My|NyR|1MNy3.已知集合 ， ，且 ，求
22、实数 所2|560Ax|10BxmABm构成的集合 ，并写出 的所有子集.【错解】由 ，得 ，依题意 ， ， 或 ，ABA2,31Bm213即 或 ，故 ， 的所有子集为 ， ， ， .12m31,23M3,【错解分析】由 ，得 ，忽视了 ，即 的情形.0xxm0【正解】由题意， ，要 ，则 ， 或 或 .,ABAB23B当 时，方程 无解， . 1 B10x0当 时，即 2 为方程 的解， . 2 12当 时，即 3 为方程 的解， . 3 mx3故 ， 的所有子集为 ， ， ， ， ， ， .10,2M00,1,3,2.,34.已知命题 ：存在一个实数 ，使得 ，写出 .p0x20xp错解
23、 1： ：存在一个实数 ，使得 .2错解 2： ：对任意实数 ，使得 .xx错解分析：写一个命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找出量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词.正解： ：对任意实数 ，使得 .px02x5.忽视判别式 适用的前提【例 1】求实数 m的取值范围，使方程 24120mixi至少有一个实根.【错解】由于方程 2410xix至少有一根，则241i，解得 5或 ，故实数 m的取值范围是 ,25,.【错原】忽略了 0判断一元二次方程使用的情形，利用 的符号来判断一元二次方程是否存在实根的前提是实系数一元二次方程.【正解
24、】设 24120xmixi的一个实数根为 aR，则24120amii，即 21420amai，根据复数相等得， a，解得 或 ，故 2m.6.忽视对循环结构的合理分析【例 2】如果执行如图 11 所示的程序框图，那么输出的 S（ ）A.1275 B.250 C.50 D. 0开 始输 出结 束是否1k0S5?k2S1kS图 1 1【错解】 2305S ，选 C.【错原】缺乏对循环结构的合理分析，没有注意到循环结构中变量 S的计算公式k，没有注意到每次加上的 2k为偶数，从而到对算法程序框图的理解错误，导致运算错误.【正解】由程序框图可知，算法表示的是计算 10以内所有正偶数的和，即246102
25、5S，故选 B.1. 设集合 ，则集合 的子集个数为（ ）2,|16,AxyxyZAA. B. C. D. 83152. 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ，(0,)xsintaxB “对任意的 ， ”的否定是“存在 ，R2100xR201xC ，函数 都不是偶函数()si)fxD 中， “ ”是“ ”的充要条件AsincosBA2C3. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出 的值是（ ）xyA8 B2 C1 D0 4. “若 为椭圆 （ ）上异于长轴端点的任一点, 分别是左、右P21xyab0a12,F焦点, 若 , ，则 .”类比椭圆的性质，可得12F21Ptantn2c“若 为双曲线 2xyab（ ）右支上除顶点外的任一点, 分别是左、P0ab12,F右焦点, 若 , ，则 .”1F21P5. 已知 是虚数单位，若复数 在复平面内对应的点为 ，则 等于（ ）i -3iz(0,)zA B C D345
