1、思想一 函数与方程思想1 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2 和函数与方程思想密切关联
2、的知识点(1)函数与不等式的相互转化对函数 y f(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
3、【热点分类突破】类型一 函数与方程思想在数列中的应用例 1 【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研】已知数列 是等比数列，首项na，公比 ,其前 项和为 ,且 ,成等差数列.a0qnnS132,aS（1）求 的通项公式；n（2）若数列 满足 为数列 前 项和，若 恒成立，求 的nb1,2nabnTnnTm最大值.试题分析：（1）由题意可知:31231321232SaSaSa；（2）由314a1231,4nqa1n nabnabn，再由错位相减法求得 ,2A2113.nnTA12nnT1为递增数列 当 时， .又原命题可转化0nn1nmin1,T的最大值为 minT试题解析： （1）
4、由题意可知:,31231321232SaSaSa即 ,于是 .314 13 11,0,4nqq（2） ,111,222n nabnabnn A, 213.nnTA23.2nnTA,- 得: ,2121. 12nnn nnA,nT恒成立，只需 ,m11min2120nnnnTTAA为递增数列， 当 时， 的最大值为 .nmi,点评：本题考查等差数列、等比数列、数列的前 项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第二小题首先由 1122n nabnabn12nA23.T再由错位相减法求得 为递12n
5、A12nnT1nT20nAnT增数列 当 时， .再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化mi的最大值为 minT例 2 【2017 届河北武邑中学高三周考 11.20】已知数列 中， ，且点na1在直线 上*1nPaN， 10xyZ求数列 的通项公式；n若函数 （ ，且 ） ，求函数 的最123nfanaN2nfn小值；设 ， 表示数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得nbnSnb g对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？若存在，写出1231nSg n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由gn试题分析：（1）将点 代入直线 得到 ， 数列）（ 1,naP01yx11
6、na是以 为首项， 为公差的等差数列，再由 得到 的通项公式；（2）由na an（1）可得 ，nnf 21)(， ，21132f 0)(nff是单调递增的，故 的最小值是 ；（3）由（1）及)(n)(f 65)(f， ，即nSb121 )nSn)(1nn， 1,2()( 1221 SS， ,-121n，最后将该式整理即可得)()(21 SSSn出 g)(点评：本题考查的是函数与数列综合， （1）中将点 代入直线 得）（ 1,naP01yx到 ，可得到 的通项公式.（2）关键是判断通过 的单调性，通过11nana )(f，可得 是单调递增的，故 的最小值是 （3）通0)(ff )(f )(f 6
7、52过 11nnSS，通过累加并整理可得，1,)2()( 122S，最后将该式整理即可得出 .)()(121 nnnn ng)(【规律总结】(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量，建立方程组可“知三求二” ；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解【举一反三】WWW已知等比数列 na的公比 1q， 2a=且 1， 2， 38a-成等差数列数列 nb的前n项和为 S，且 28=-（1）分别求出数列 n和数列 nb的通项公式；（2）设 nbca，若 cm，对于 *“N恒成立，求实数 m的最小值（2）由（1）
8、得， 1293nnc-=，若 ncm，对于 n*“N恒成立，即 nmc的最大值又 174203n+-+- 当 1c+=时，即 5时， 6=；当c时，即 5（*N）时， 6789cWWWn的最大值为 5612=，即 162m 的最小值为 162 类型二 函数与方程思想在方程中的应用例 3 【山西省太原市 2017 届高三上学期阶段性测评（期中） 】已知函数 是定义在fx上的偶函数，若方程 的零点分别为 ，则R213fxx12,.nx（ ）12nxxA B C. D 2n3【答案】B【解析】试题分析：函数 是定义在 上的偶函数,所以函数 的图象关于 轴对称，函数fxRfxy的图象是由函数 的图象向
9、左平移 个单位得到的，所以函数 的对1fxf11fx称轴为直线 ，且函数 的对称轴也是直线 ，所以方程2()3gx零点关于直线 对称，所以有 ，故选 B.23fxx 12nxx点评：本题考查函数的奇偶性、函数与方程，属难题；函数与方程是高考的重点和难点，选择题、填空题、解答题中均有，解决的方法是根据函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等） ，作出函数的简图，通过数形结合或零点存在定理求解.Z【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方
10、程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决【举一反三】 【广西柳州市 2017 届高三 10 月模拟】设定义域为 的函数R若关于 的方程 有 7 个不同的|125,0()4xfx22()1)(0fxmfx实数解，则 （ ）mA6 B4 或 6 C6 或 2 D2资*源%库 【 答案】D类型三 函数与方程思想在不等式中的应用例 4【2017 届云南曲靖一中高三上学期月考四】已知 ，()2lnfx32()gxax（1）如果函数 的单调递减区间为 ，求函数 的解析式；()g1(,)3()gx（2）在（1）的条件下，求函数 的图象在点 处的切线方程；ygx1,P（3）已知不等式 恒成立，若方程 恰有两
11、个不等实根，求()fx20aem的取值范围m试题分析：（1） 的解集为2()31gax231x1(,)3的两根分别是 ， ；（2）由2310xa131a32()gxx（1）知 ()g2()x点 处的切线斜率 函数 的图象在点4,P()4k()yx处的切线方程为 即 ；（3）由题意知(,)14()yx50x对 上恒成立，设 ，再由导数工具取3ln2ax0,1()ln2hx得 令 在 递减，ma()h2()ae)ae()a2,1在 递增， ， ，当 时，1,2(1()()x只需 2e试题解析： （1） ()31gxax，由题意 2310xa的解集为 1(,)3，即230xa的两根分别是 ， ，代入
12、得 ， 32()gxx点评：本题考查函数的解析式、函数的单调性、函数与不等式、切线方程、函数的零点和函数与方程，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想【举一反三】【宁
13、夏育才中学 2017 届高三上学期第二次月考】已知函数 ()lnfxa,其中aR（）若 在区间 1,2上为增函数，求 a的取值范围；()fx（）当 e时，证明： ()0fx；（）当 a时，试判断方程 ln32x是否有实数解，并说明理由【解析】函数 ()fx定义域 ),(， 1()fa （）因为 f在区间 1,2上为增函数，所以 0x在 1,2上恒成立，即1()0fxa， x在 ,上恒成立，则 . 类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例 5【2017 届江西吉安一中高三周考三】已知椭圆 的焦距为2:10xyCab2，离心率为 ， 轴上一点 的坐标为（0,3）.2yQ（1）求该椭圆的方程；（2
14、）若对于直线 ，椭圆 上总存在不同的两点 与 关于直线 对称，且:lyxmCABl，求实数 的取值范围.3QAB试题分析：（1）利用 和 求得 ，故椭圆方程为2,ca2bcA2,1ab；（2）设出直线 的方程 ，联立直线的方程和椭圆的方程，消2xyByxn去 ，写出韦达定理，根据中点坐标有 ，将坐标代入向量 ，化23m32QAB简得 ，由此解得 .310m1,试题解析：（1）由题意可知： ，所以 ，所以所求的椭圆的方21,ca2,ab程为 21xy（2）由题意设 ，直线 方程为： 联立 ，12,AxByAByxn21yxn消 整理可得： ，由 22241480，y22340n解得 ，设直线 之
15、中点为 ，则12123,3nxxAB0,Pxy，1203xn由点 在直线 上得： ，又点 在直线 上， ，所以PAB03nyPl23nm 又 ，3,nm12,3,3QAxyBxy 1212223,y,QABxA，解得： 239630nm13m综合， 的取值范围为 ,点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程的求法. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往
16、利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解资*源%库 【 规律总结】1、在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想【举一反三】 【河南省广东省佛山市 2017 届高三教学质量检测（一） 】已知椭圆过点 ，且离心率为 .2:10xyCab2 1M， 32（1）求椭圆 的方
17、程；（2）设 ，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，当 （ 为坐 A， lC PQ， APQOP标原点）的面积 最大时，求直线 的方程.Sl$来& 源：【解析】 （1）依题意得： ， ，又 ，解得 ，241ab32cea22bc28a，所以椭圆 的方程为 . 2bC8xy（2）显然，直线 的斜率 存在.当 时，可设直线 的方程为 ，lk0kl0y， ，则 .所以0 Pxy， 0 Qxy，2018xy.当且仅当 ，即220022000012 ySxyy2200y时取等号，此时直线 的方程为 .当 时，可设直线 的方程为 ，l1klkxm， ，联立 ，消去 整理得1 Pxy， 2 Qxy， 28ykxmy.由 ，得24840km222410km（*） ，则有 ， ，于是可得 的中点为228122kx122xPQ.因为 ，所以 ，化简得 ，结224 1kk， APQ21401km243km合（*）可得 .又 到直线 的距离为 ，06mOl2dk，所以2221481kPQkx.即 ，所224mSd 226393Sm以，当 时， 取最大值，此时， ，直线 的方程为 .综上所述，3mSklyx直线 的方程为 或 .l1y3x
