1、数学试题一选择题（共 12小题）1复数 z= 的虚部为（ ）A B1 C D2已知集合 A=x|xR|x 22x30，B=x|xR|1xm，若 xA 是 xB 的充分不必要条件，则实数 m的取值范围为（ ）A （3，+） B （1，3） C3，+） D （1，33已知点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，P 3（x 3，y 3） ，P 4（x 4，y 4） ，P 5（x 5，y 5） ，P 6（x 6，y 6）是抛物线 C：y 2=2px（p0）上的点，F 是抛物线 C的焦点，若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|=36，且 x1+x2+x
2、3+x4+x5+x6=24，则抛物线 C的方程为（ ）Ay 2=4x By 2=8x Cy 2=12x Dy 2=16x4已知双曲线 C的两个焦点 F1，F 2都在 x轴上，对称中心为原点，离心率为 若点 M在C上，且 MF1MF 2，M 到原点的距离为 ，则 C的方程为（ ）A BC D5已知x表示不超过实数 x的最大整数，g（x）=x为取整函数，的零点，则 g（x 0）等于（ ）A1 B2 C3 D46已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积为（ ）A B C D7已知实数 x，y 满足 ，则 z=2x+y的最大值为（ ）A4 B6 C8 D108已知点 及抛物线 x2
3、=8y上一动点 P（x 0，y 0） ，则 y0+|PM|的最小值是（ ）A1 B2 C3 D49若 ， 均为锐角且 cos ，cos（+）= ，则 sin（ ）=（ ）A B C D10已知双曲线 c： =1（ab0） ，以右焦点 F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点 M、N（异于原点 O） ，若|MN|=2 a，则双曲线 C的离心率是（ ）A B C2 D11已知 M是椭圆 + =1上一点，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，点 I是MF 1F2的内心，延长 MI交线段 F1F2于 N，则 的值为（ ）A B C D12已知定义在 R上的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且
4、2f（x）+2f（x）3，f（1）=1，则不等式 2f（x）3+ 0 的解集为（ ）A （1，+） B （2，+） C （，1） D （，2）二填空题（共 4小题）13各项为正数的等比数列a n中，a 2与 a9的等比中项为 2 ，则log4a3+log4a4+log4a8= 14在面积为 2的等腰直角ABC 中，E，F 分别为直角边 AB，AC 的中点，点 P在线段 EF上，则 的最小值为 15在三棱锥 ABCD 中， ，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是 16已知定义在 R上的奇函数 f（x）满足 ，S n为数列a n的前n项和，且 Sn=2an+n，则 f（a 5）+f（
5、a 6）= 三解答题（共 6小题）17已知函数 f（x）=2cosx（sinxcosx）+1，xR（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）的最大值及取得最大值时的 x的集合18在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 （t 为参数） 以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 24sin12=0（1）求C 的参数方程；（2）求直线 l被C 截得的弦长19已知数列a n满足 ， （nN *） （）求数列a n的通项公式；（）设
6、 bn=nan，求|b 1|+|b2|+|b12|20如图，菱形 ABCD与矩形 BDEF所在平面互相垂直，BDA=（）求证：CF平面 ADE；（）若二面角 AEFC 为直二面角时，求直线 BC与平面 AEF所成的角 的正弦值21已知椭圆 的离心率是 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，直线 y=x+m与椭圆 C交于 A，B 两点（1）求椭圆 C的方程；（2）当实数 m变化时，求|AB|的最大值；（3）求ABO 面积的最大值22已知抛物线 x2=2py（p0）的焦点到直线 l：xy2=0 的距离为 （1）求抛物线的标准方程；（2）设点 C是抛物线上的动点，若以点 C为圆心的圆在 x轴上截得的弦
7、长均为 4，求证：圆C恒过定点参考答案与试题解析一选择题（共 12小题）AABCB ACABC AA9.解：， 均为锐角，且 cos ，cos（+）= ，sin= = ，sin（+）= =cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin= += ，可得：sin= = ，sin（ ）=cos2=sin 2cos 2= = 11解：如图，I 为MF 1F2的内心，F 1I为MF 1N的平分线，F 2I为MF 2N的平分线， = = = = = = = 故选：A12 解：由题意 2f（x）+2f（x）3，两边同乘 ex，然后化简 ex2f（x）3+2exf（x）0，故e x2f（x）30
8、，令 g（x）=e x2f（x）3，则函数 g（x）是 R上的单调递增函数，而 ，据此可得 x1故选：A二填空题（共 4小题）13 14 解：等腰直角ABC 的面积为 2，则 AB2=2，则 AB=2，以 A为坐标原点，AB，AC 所在直线为 x，y 轴建立坐标系即有 B（2，0） ，C（0，2） ，E，F 分别为直角边 AB，AC 的中点，则 E（1，0） ，F（0，1） ，设 P（m，n） ，且 m+n=1，则 =（2m，n） ， =（m，2n） ， =m（2m）n（2n）=m 2+n22m2n=（m+n） 22mn2（m+n）=12mn2=12mn=12m（1m）=1+2（m ） 2 ，
9、当且仅当 m= 时，取得最小值，且为 故答案为： 15 解：由已知可得，BCAB，BCBD，BC平面 ABD，设三棱锥外接球的球心为 O，正三角形 ABD的中心为O1，则 OO1平面 ABD，连接 O1B，OO 1，OC，在直角梯形 O1BCO中，有 ，BC=1，OC=OB=R，可得： ，故所求球的表面积为 故答案为： 16 解：f（x）为奇函数，f（x）=f（x） ，又 ， f（x）是以 3为周期的周期函数数列a n满足 a1=1，且 Sn=2an+n，当 n2 时，S n1 =2an1 +n1，则 an=2an2a n1 +1，即 an=2an1 1，a n1=2（a n1 1） （n2）
10、 ，则 ， 上式对 n=1也成立a 5=31，a 6=63f（a 5）+f（a 6）=f（31）+f（63）=f（2）+f（0）=f（2）=f（2）=3三解答题17 解：（1） ，当 即 ，因此，函数 f（x）的单调递增取间为 （2）由已知， ，当 时，当 ，g（x）的最大值为 18 解：（1） ，C 的极坐标方程为 24sin12=0转换为直角坐标方程为：x 2+y24y12=0，整理得：x 2+（y2） 2=16，转换为参数方程为： （ 为参数） （2）直线 l的参数方程为 （t 为参数） 转换为直角坐标方程为：2xy3=0所以：圆心（0，2）到直线 2xy3=0 的距离 d= ，所以直线
11、被圆所截得弦长为：l=2 19解：（）由 ，有 n2 时，化简得到 ，而 也满足，故 ；（）由（）可知 ，由 ，由 ，|b1|+|b2|+|b12|=（b 1+b2+b5）+（b 6+b7+b12）=（b 1+b2+b12）2（b 1+b2+b5）= 20证明：（）菱形 ABCD，ADBC，AD面 ADE，BC面 ADE，BC面 ADE，同理 BF面 ADE，BCBF=F，BC面 BCF，BF 面 BCF，面 ADE面 BCF，CF面 BCF，CF面 ADE解：（）取 EF的中点 M，连接 AC交 BD于点 N，AE=AF，CE=CF，AMEF，CMEF，AMC 就是二面角 AEFC 的平面角
12、当二面角 AEFC 为直二面角时，MN=AN= BD，由 CM平面 AEF，欲求直线 BC与平面 AEF所成的角，先求 BC与 MC所成的角连结 BM，设 BC=2，则在MBC 中，CM= ，MB=2，故直线 BC与平面 AEF所成的角 的正弦值为：sin=|cosMCB|= = 21解：（1）由题意得 ，得 ，从而 b2=1，所以椭圆 C的方程为 ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 消去 y，整理得 3x2+4mx+2m22=0，由题意知=16m 243（2m 22）=8m 2+240，所以 m23， ，所以 ，所以当且仅当 m=0时，|AB|有最大值 ；（3）点 O到直线 AB的距离为 ，从而ABO 的面积为= = ， （当且仅当 m2=3m 2，即 时，等号成立）所以ABO 面积的最大值为 22.解：（1）由题意，x 2=2py，焦点坐标为 ，由点到直线的距离公式 ，解得 p=2，所以抛物线的标准方程是 x2=4y；（2）证明：设圆心 C的坐标为 ，半径为 r，又圆 C在 x轴上截得的弦长为 4，所以 ，圆 C的标准方程： ，化简得： ，对于任意的 x0R，方程均成立，故有： ，解得：x=0，y=2，所以圆 C过一定点为（0，2）
