1、1江苏省兴化中学 2013 届高三自主练习最后一卷注 意 事 项 ：1本试卷共 160 分、考试用时 120 分钟2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考 试号写在答题卡上考 试结束后，交回答题卡参 考 公 式 ：样 本 数 据 x1，x2，xn的 方 差 s2 (xi )2，其 中 xi1n x x 1n一、填空题1已知集合 ，集合 ，集合 ，则RU,RyMx)3lg(yN ()CN2. 已知 ，则 = .46sin()cos,252sin3. 若复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 .z()zi z4. 在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x， y)，则| x |+ y 0
2、 的概率为 . 5. 已知直线 与函数 及函数 的图象分别相交于 、t()3xf()53xgA两点，则 、 两点之间的距离为 .BAB6若某人连续 5次投掷飞镖的环数分别是 8, 9, 10, , 8, 则该组数据的方差为 .7执行如右图所示的程序框图，若输出的 的值为 31，则图中判断框内 处b应填的整数为 8平面直角坐标系中，已知 顶点 A 和 C ,顶点 B 在椭圆BC)0,4()(上，则 _ _1925yxAsin9.已知 BC 的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 AC的面积为_ _ _.10已知O为坐标原点, , , 集合 , (1)OM(4)N|2AO
3、RNP且 ,则 =_ _.0MPN|P11. 数列 的前项和为 ，若 ，则 = nanS31120332aa12已知实数 ， 满足不等式xy2，则 的取值范围是 403xy21xyT13已知 ，若存在区间 ，使得1()4fx,(,)3ab，则实数 的取值范围是_.,yabm14数列 n的通项公式 （ ） ，且 时是递增， 时是递减，2npNn*58n则实数 的取值范围是_ _p二、解答题15(本题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，sintacoABC（1）求角 C 的大小；（2）若ABC 的外接圆直径为 1，求ABC 周长的最大值16 （本小题满分 1
4、4 分）如图：直角梯形 ABCD 的上底 AD=a，下底 BC=b，其中 ba，垂直于底的腰 AB=a，点 P 为平面 ABCD 外一点，PA 平面 ABCD，F 为 PB 的中点， 设直线 AB 和 CD 相交于点 Q，若平面 PAB 与平面 PCD 相交于直线 l，试指出点 Q 与直线 l 的位置关系；并求当 a 与 b 满足什么关系时，l平面 AFC若 E 为直线 BC 上的一点，且 b=3a，当 BE = 时，a32证明：平面 PDE平面 PAC；317 （本小题满分 16 分）设数列 na的通项公式为 ，数列)0,(*pNnqpannb定义如下：对于正整数 m， b是使得不等式 m成
5、立的所有正整数 n 中的最小值.（1）若 ，试求： 的第 4 项 ；5,43pq（2）若 ，试求： mb的前 3m 项和 ；123S（3）若 ，是否存在 ，使得 2()mbN？如果sin,cos锐 角存在，求 满足的条件；如果不存在，请说明理由.锐 角18. （本小题满分 14 分）兴化水上森林风景区内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中，点 A、E 为 x 轴上关于原点对称的两点，曲线段 是桥的主体， 为桥顶，且BCD曲线段 在图纸上的图象对应函数的解析式为 ，曲线段BCD284yx(,)均为抛物线段；设计时要求：保持两曲线在各衔接处( )的切线的斜率相, A
6、E等。（1）求：曲线段 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；A（2）定义车辆在上桥过程中通过某点 所需要的爬坡能力(Climbing Ability)为：P(该点 P 与桥顶间的水平距离) (设计图纸上该点 P 处的切线的斜率) ，M的单位：米。若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘 蓄电池动力 内燃机动力，它们的爬坡能力分别为 0.8 米，1.5 米，2.0 米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 1 米。试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？419 （本小题满分 16 分）如图，已知椭圆 C： ，B 点坐标为 ，过点 B 的21xy(0,1)直线交椭圆 C 于另外一点 A，且线段
7、 的中点在直线 上Bx（1）求直线 的方程；B（2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点，直线 AP,BP 分别交直线 于点 M,N，yx直线 交椭圆于另外一点 MQ证明： 为定值； 证明：A, Q,N 三点共线ONA20 （本小题满分 16 分）已知函数 |12(),()xabxfefe.(1)若 122()()fxfxb,是否存在 a,bR,y=f(x)为偶函数.如果存在. 请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;2)若 a=2,b=1.求函数 12()()gfx在 R 上的单调区间 ;0 120(3).,0,()1bxfxa对 于 给 定 的 实 数 对 有 成 立 ，
8、 求 的 取 值 范 围 ？xABOPMQy N5PEODCBAF数学附加题（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）一、选做题：(请在下列 4 小题中任做 2 题, 每小题 10 分,计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前 2 题给分.)1.A（几何证明选讲）如图所示，已知PA与O相切，A 为切点，PBC为割线， ，弦CDAP，AD、BC相交于E点，F为CE 上一点，且DE2=EFEC（1 ）求证：P=EDF；(2) 求证：CEEB=EFEP B（矩阵与变换）已知曲线 ：C1xy（1）将曲线 绕坐标原点逆时针旋转 后，求得到的曲线 的方045程；（2）求曲线 的
9、焦点坐标和渐近线方程.C（坐标系与参数方程）已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程 ;l（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积.42yx,AB,D（不等式选讲）设 求 的最小值.1,xyz223Fxyz6二、必做题：（本大题共 2 小题,每小题 10 分, 计 20 分.）2.如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面是以ABC 为直角的等腰三角形，AC2 ， BB1 3，D 为 A1C1 的中点，E 为 B1C 的中点(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦；(2)在线段 AA1 上取一点 F，问 AF 为何值时，CF 平面 B1DF？
10、3.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得 2 分，平一局得 1 分，输一局得 0 分；比赛共进行五局，积分有超过 5 分者比赛结束，否则继续进行 根据以往经验，每局甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，且每局比赛输赢1213互不受影响若甲第 n 局赢、平、输的得分分别记为 、 、nan0na令 *,15,nN12nnSaa（1）求 的概率；3（2）若随机变量 满足 （ 表示局数） ，求 的分布列和数学期望7SA B CC1B1A1FED7江苏省兴化中学 2013 届高三自主练习 参考答案一、填空题1 ； 2、 ； 3、1+i ；4、 ；5、 ；645；74
11、；8 ；|3x1513log59._ 5_；10 。11. 12 ；13 ；14 （660921,23,） ；17,9二、解答题15解：(1)因为 ，即 ，sintacoABCsinisncocoCAB所以 ，siniii即 ，csss得 4 分i()i()AB所以 ，或 (不成立)CCAB即 , 得 7 分23(2)由 ,3设 20,33知 -因 ， 8 分2sini2siniaRAbRB故 = 11 分b()()cos3，故 14 分3由 -得 ： 1cos2 12ab+323,R=inC=Cc由 得 ： ；故ABC 周长的最大值为： ；1216Q平面 PAB平面 PCD，而平面 PAB平
12、面 PCD=l，故 Q直线 l 上(2 分)l平面 AFC 要成立，因过 l 的平面 PAB 与平面 AFC 相交于直线 AF，故 lAF，而 F 为 PB 的中点，只要 A 为 BQ 的中点，此时 =2ABab8故当 b=2a 时，l平面 AFC(6 分） 在直角梯形 ABCD 中，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知：A(0,a),D(a ,a),C(3a,0)，当 BE= 时，则 E( ,0) (9 分)a32a32=-1 DEAC (12 分)EDACk由于 PA平面 ABCD，DE 平面 ABCD，故 PADE；(14 分)PDEP平 面 ， 又 平 面 ；平 面 平 面 ；17.解
13、：（1） 、数列数列 mb的第四项为：23 ； （2）由 na 得： ； 3121n-;23* *321* *33)=k,);112,33)k,);mkmkmk bnk b当 （ N时 ， （当 （ 时 ， （当 （ 时 ， （213324563213(1)(1);( )683;kkm mbSaaaa 从 而（3）要使 ()bN，必须 p， q.进而 ；21211sin=,cos,)sin,cos332pq满足条件的 ，锐 角 存 在 ， 且 为 6018 （1）据题意，抛物线段 与 轴相切，设 （ ）ABx)0,(aA则抛物线段 在图纸上对应函数的解析式可设为：，且 。2()ya)(2xy由
14、曲线段 在图纸上的图象对应函数的解析式为 ，且 ；BD842,)(2,1)B又 ，曲线在 点处的切线斜率为 ；216(4)xyB12因为 点为衔接点，则 解得()122a61a9曲线段 在图纸上对应函数的解析式为AB21(6)yxx（2）设 是曲线段 上任意一点，),(yxPC（）若 在曲线段 上，则通过该点所需要的爬坡能力 211()(6)(3)9(62)8PMxx令 239yx其对称轴 ， 在 上为增函数，21()()8yxx6,（米）1max()P（）若 在曲线段 上，则通过该点所需要的爬坡能力BC22261()(4)()PxM(0)x令 ， ，则 ，2tx0,t226(4)PtM,4记
15、 ， ，而 ，2216(4)yt, 2168tyt当 0时 ，进而 取最大值 1，此时 （米）t16t时 ， +有 最 小 值 2 2max()1CA由（） 、 （）可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为 1 米，又 ， “游客踏乘 ”的车辆不能顺利通过该桥0.81.52而“蓄电池动力”和 “内燃机动力” 的车辆可以顺利通过该桥。19解 （1）设点线段 的中点是 ，则点 ，AB(,)Et(2,1)At因为点 A 在椭圆 C 上，所以 ，整理得 ，212640t解得 或 （舍） ，所以 ，23t0t 4(,)(,)33直线 AB 的方程为 2xy（2）设 ，则 ，0(,)P01直线 AP： ，与直
16、线 联立，解得 ；0143()yxyx043(1)MyxxxA BO PM Qy N10直线 BP： ，与直线 联立，解得 ；01yxyx01Nxy004|2|2|3(1)MNONxyxAAA0220004| |3()1xy（定值） 0220004| | |33xyxyAA设直线 BM： （其中 ） ，与椭圆 C 方程联立，1k1Myxk解得 ；224,1QQxy， ，33144NNA Nyxkx12334(1)QAykkkx要证 A,Q,N 三点共线，只要证 ，AQ只需证 ，即证 ，314Nx312()k42Nxk把 代入，即证 ，由知，显然成立Mk3MNxA20解:( )存在 1,0ba使
17、 )(xfy为偶函数, 证明如下:此时: xef)(, R )()(fexfx, )(xfy为偶函数. (注: )0,ba也可以) () xg2=)2(2ex, 当 x时 x)(, 0 xeg 来源:数理化网gy在 ,2上为增函数. 当 x时 xe)(, 11则 xexg2)(,令 0)(g得到 1x, ()当 1时 )(, y在 上为减函数. () 当 2x时 , )(x在 2,上为增函数 . 综上所述: )(gy的增区间为 1,减区间为 1,. () 021xf, )()(02102 xffxf ,0x对, (成立. 即: max1max2inin)()(ff 当 0b时, 2为增函数或常
18、数函数, 当 1,0x时 befxffxf )()()()( 2ma2min21aemin1in )(xf恒成立. 时当 2aefxf1ma1)()(abe1 )1l(be 2lnln(eb； 2)ln(b ； 2,lnb 时当 21aaefxf)0()(1maabe1 )1l(be 2lnln(eb； )ln(,2b 综上所述: )1l(),l(1bbea 当 0b时, )2xf在0, 1上为减函数, befxffxf )1(,1)0( 2min22ma2 0,)(1 eefbaiin恒成立. 时当 2afxf1ma1)()(aexf1ma2)( l ,lna时当 21aefxf)0()(1
19、ma；a2 ； 2ln； 2ln,1a ；12综上所述: 2ln,1a(13 分) 由得当 0b时, )1l(,(bbe; 当 时, l. 附加卷参考答案一、选做题：1. A（几何证明选讲） （1）DE 2=EFEC， DE CE=EF ED DEF 是公共角， DEF CED EDF=CCDAP， C= P P=EDF （2）P=EDF， DEF=PEA，DEFPEA DE PE=EF EA即 EFEP=DEEA弦 AD、BC 相交于点 E，DEEA=CEEBCEEB=EFEP B（矩阵与变换）由题设条件， ，002cos45iniM，即有 ，22:M xyxTyy 2xyy解得 ，代入曲线
20、 的方程为 。2()xyyxC2yx所以将曲线 绕坐标原点逆时针旋转 后，得到的曲线是 。C0452yx（2）由（1）知，只须把曲线 的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转2yx后，即可得到曲线 的焦点坐标和渐近线方程。045曲线 的焦点坐标是 ，渐近线方程 ，2yx(0,), 0xy变换矩阵002cos(45)sin(45)incN13， ，202 20即曲线 的焦点坐标是 。而把直线 要原点顺时针旋转C(,)(,2)0xy恰为 轴与 轴，因此曲线 的渐近线方程为 和 。045yxC0C（坐标系与参数方程） （1 ）直线的参数方程为 ，即 1cos6inxty312xty（2）把直线 代入 ，3
21、21xty42yx得 ， ，223(1)()4,(31)20ttt12t则点 到 两点的距离之积为 P,ABD（不等式选讲） 22 2211133xyzxyzxyz722631Fz当且仅当 且 F 有最小值 123xy3261,1xyzxyz61二、必做题：2. (1)因为直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BB 1面 ABC， ABC 2以 B 点为原点，BA 、BC、BB 1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，2分因为 AC2， ABC 90，所以 ABBC ，2从而 B(0，0，0)，A( ，0，0)，C (0， ，0)，2 2B1(0，0，3) ， A1( ，0 ，3)
22、 ，C 1(0， ，3)，2 2AB CC1B1A1FEDxyz14D( ，3)，E(0 ， )22， 22 22， 32所以 )CA1 (r(2)， r(2)， 3)， BE 而 ，|CA1 | 13， |BE | 112， 且 CA1 BE 72所以 cos ； CA1 BE |CA1 |BE |7213 1127143143所以直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦为 (2)设 AFx，则 F( ，0 ， x)，2， CF (r(2)， r(2)， x)， B1F (r(2)， 0， x 3)， B1D (f(r(2),2)， f(r(2),2)， 0)x0 0，所以 ，CF B1D 2 22 ( r(2) 22 CF B1D 要使得 CF平面 B1DF，只需 CFB 1F，由 2 x(x3)0，CF B1F 有 x1 或 x2 ， 故当 AF1，或 AF2 时，CF平面 B1DF3. （1） ，即前 3 局甲 2 胜 1 平由已知，53S甲赢的概率为 ，平的概率为 ，输的概率为 ， 概率为 26335S231().68C（2） 时， ，且最后一局甲赢， ；7S4, 51(4)()6P131243 9()()() .2662PCC的分布列为 114945.626E4 5 P1692
