1、江苏 2013 届高三数学（精选试题 26 套）汇编 5：数列一、填空题1 （江苏省常州市奔牛高中 2013 年高考模拟试卷）若某个实数 x 使得含有naxaxa的 数 列t,cos,sin32为等比数列 ,则使得 xancos1的 n 等于_. 【答案】8 2 （江苏 省启东 中学 2013 届高三综合训练（3）已知 )(,cb成等差数列,将其中的两个数交换, 得到的三个数依次成等比数列,则2acb的值为_.【答案】10 3 （江苏省常州市第五中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若S410, S515,则 a4的最大值为_.【答案】在线性约束
2、条件 325yx下,研究 yx3的最大值 ,则 4的最大值为 4 4 （2013 年江苏省高考数学押题试卷 ）设 x 是一个正数, 记不超过 x 的最大整数为 x, 令 x=x-x,且 x, x, x 成等比数列, 则 x=_.【答案】 ,因为 x, x, x 成等比数列, 则 1 ,所以数列 n+ (nN*)中项均大于 . 12 1265 12 65因此,数列 1|(*,)naN与数列 n+ (nN*)中没有相同数值的项. 1232 （2013 年江苏省高考数学押题试卷 ）设 an是正数数列, 其前 n 项和 Sn满足 Sn= (an-1)(an+3).来源:14Zxxk.Com(1)求数列
3、 an的通项公式;(2)令 bn= ,试求数列 bn的前 n 项和 Tn.1Sn【答案】(1)由 a1=S1= (a1-1)(a1+3)及 an0 得 a1=3. 14由 Sn= (an-1)(an+3),得 Sn1 = (an1 -1)(an1 +3). 14 14所以 an= (an-1)(an+3)- (an1 -1)(an1 +3)= (a -a 1 )+2(an-an1 ). 14 14 14 n2 n2整理得 2(an+an1 )=(an+an1 )(an-an1 ). 因为 an+an1 0,所以 an-an1 =2, 即 an是以 3 为首项公差为 2 的等差数列,于是 an=
4、2n+1. (2)因为 an=2n+1,所以 Sn=n(n+2), bn= = = ( - ), 1Sn 1n(n 2)121n 1n 2Tn= bk= ( - )= (1+ )= - . k 1 n 12 k 1 n 1k 1k 2 12 12 1n 1 1n 2 34 2n 32(n 1)(n 2)33 （南京师大附中 2013 届高三模拟考试 5 月卷）【必做题】设 a 为实数,若数列 an的首项为 a,且满足 an+1=an2+a1(nN*),称数列 an为理想数列. 若首项为 a 的理想数列满足:对于任意的正整数 n2,都有| an|2,称实数 a 为伴侣数.记 M 是所有伴侣数构成
5、的集合.(1)若 a(-,-2),求证: a M;(2)若 a(0, ,求证: a M.14【答案】 【必做题】 证明(1)假设 a M,则由 M 的定义知对于任意正整数 n2,都有| an|2,从而知| a2|2 由 a1=a,a2=a12+a1=a(a+1),又 a(-,-2),得 a| a|12,即| a2|2,这与| a2|2 矛盾. 故当 a(-,-2)时, a M (2)由 a2=a2+a=(a+ )2- ,又 a(0, ,所以 a2(0, . 12 14 14 516同理可得, a3(0, .猜想 0 |Tn|,当 n11 时,|T n + 1| 0,T12 0,T n的最大值是
6、 T9和 T12中的较大者 103120129()Ta,T 12 T9 因此当 n = 12 时,T n最大. (3)证: 1()2,| a n |随 n 增大而减小,a n奇数项均正 ,偶数项均负 来源:Zxxk.Com当 k 是奇数时,设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为 12kka，,则 1111()()22kkkaa, 121()kk ka, kk,因此 kk，成等差数列, 公差 1121 3()()22kk kda 当 k 是偶数时,设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为 21kka，,则 1111()()22kkk kaaa, 121()kka, kk,因此 1kk，成等差数
7、列, 公差 1121 3()()22kk kda 综上可知, n中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且 132kad 12nd,数列d n为等比数列. 49 （江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷）设 (,)(,)ABxy为平面直角坐标系上的两点,其中 ,ABxyZ.令 BAx, By,若 +=3,且 |0xy,则称点B为点 的“相关点”,记作: (). 已知 0P00(,)(,)xy Z为平面上一个定点,平面上点列iP满足 : 1()iiP,且点 i的坐标为 ,iy,其中 1,23.in.来源:学_科_网 Z_X_X_K()请问:点 0的“相关点
8、”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;()求证:若 0P与 n重合, 一定为偶数;()若 0(1,),且 1ny,记 0niTx,求 的最大值.【答案】解:()因为 x+=3(,y为非零整数) 故 1,2xy或 ,1x,所以点 0P的相关点有 8 个 又因为 ()5,即 220()()5y 所以这些可能值对应的点在以 为圆心, 为半径的圆上 ()依题意 (,)nPxy与 0()重合 则 1-22100.()()nnxxx, -()()nyyyy即 1-2210+.+()=nnxxx , -()()yyy两式相加得 1112-12
9、1010()+()()+().+()()=nnnnxxxy(*) 因为 , 3,Ziiiiyy， 故 11()()(=,.)iiix为奇数, 于是(*)的左边就是 n个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以 n一定为偶数 ()令 11,iiiiixy(2,3.)n, 依题意 20()().1nnyy, 因为 0iTx12nx 11212()()()nxx nnxn因为有 3iiy+,且 iixy， 为非零整数, 所以当 2ix的个数越多,则 T的值越大, 而且在 13.,nx这个序列中,数字 2的位置越靠前,则相应的 T的值越大 而当 iy取值为 1 或 的次数最多时 , ix取 2 的
10、次数才能最多, 的值才能最大. 当 0n时,令所有的 iy都为 1, i都取 2, 则 102(10)2T . 当 n时, 若 *(5)kN, 此时, iy可取 0个 1, 5k个 1,此时 ix可都取 2, ()Sn达到最大 此时 T= 212()nn . 若 *,kkN,令 y,其余的 iy中有 49k个 1,k个 1. 相应的,对于 ix,有 1n,其余的都为 2, 则 212()Tnn 当 50时,令 ,0,10,i iyyin 则相应的取 12,i ixn 则 T= 1n+2()() ()(9)n 20598综上,2210, 510,(), + nnT且 为 偶 数 ，且 为 奇 数
11、 .50 （江苏省常州高级中学 2013 年高考数学模拟试卷）已知数列 na满足 *1()aN,*1210(1)naappnN ， ，.(1)求数列 的通项公式 na;(2)若对每一个正整数 k,若将 123,kk按从小到大的顺序排列后 ,此三项均能构成等差数列, 且公差为 kd.求 p的值及对应的数列 kd.记 kS为数列 k的前 项和,问是否存在 a,使得 30kS对任意正整数 k恒成立? 若存在,求出 a的最大值;若不存在,请说明理由 .【答案】解:()因为 121nap,所以 2n时, 1210nap,两式相减,得 1()nap,故数列 n从第二项起是公比为 p的等比数列 又当 n=1
12、 时, 120ap,解得 2ap,从而 2(1)()nnap(2)由(1)得 1 11231(),(),()kkkk a , 1若 1ka为等差中项,则 123kka,即 p或 2,解得 3p 此时 123(),()kk,所以 112|9kkkdaa 2若 2ka为等差中项,则 213kka,即 p,此时无解 3若 3k为等差中项,则 312kk,即 1或 12,解得 3p, 来源:学_科_网Z_X_X_K此时 1113(),()2kkkaa,所以 1139|()8kkkada 综上所述, p, 192kkd或 p, 9()82 1当 3时, ()kkSa,则由 30kS,得 (1)ka, 当
13、 k时, 10(2)k,所以必定有 1,所以不存在这样的最大正整数 2当 3p时, 9()42kkaS,则由 30kS,得 401()2ka,因为 40133()2k,所以1a满足 0k恒成立;但当 14时,存在 5,使得 ()k即 S, 所以此时满足题意的最大正整数 3a 51 （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（3）已知各项均为正数的等差数列 na的公差 d 不等于 0,设13,ka是公比为 q 的等比数列 nb的前三项,(I)若 k=7, 12 (i)求数列 nb的前 n 项和 Tn;(ii)将数列 a和 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 nc,设其前 n 项和为 Sn,
14、求211*23(2,)nnnSN的值;(II)若存在 mk, *m使得 13,kma成等比数列,求证 k 为奇数.【答案】() 因为 7k,所以 7,成等比数列,又 na是公差 0d的等差数列, 所以 2116adad,整理得 12ad,又 1,所以 1, b, 311bq, 所以 1,2nn nadbq, 用错位相减法或其它方法可求得 na的前 项和为 12nnT; 因为新的数列 nc的前 21n项和为数列 a的前 项的和减去数列 nb前 项的和, 所以 121()()(2)n nS . 所以 21*3,nnnN=1 () 由 dkada)()(11,整理得 )5(412kda, 因为 0,
15、所以 45,所以 313aq. 因为存在 mk,m N*使得 13,kma成等比数列, 所以 132qa, 又在正项等差数列 an中, 4)5(1)1(1 kmadm , 所以31124)5(kka,又因为 01, 所以有 32()(), 因为 415mk是偶数,所以 3()k也是偶数, 即 3k为偶数,所以 k 为奇数 52 （江苏省西亭高级中学 2013 届高三数学终考卷）已知三个互不相等的正数 a,b,c 成等比数列，公比为 q在a,b 之间和 b,c 之间共插入 n 个数，使这 n+3 个数构成等差数列若 a=1,在 b,c 之间插入一个数，求 q 的值；设 aC54n, 综上所述,当
16、 时, na 54 （江苏省常州市金坛市第一中学 2013 年高考冲刺模拟试卷）数列 na中, 1, 37,且 1(2)nna .(1)求 2及 的通项公式;(2)设 ka是 n中的任意一项,是否存在 ,()rpNk,使 ,kpra成等比数列?如存在,试分别写出 p和 关于 k的一个表达式,并给出证明;(3)证明:对一切 nN, 2176nia.【答案】解:(1) 3,故 24 2n时, 11()nna 1na, n为常数列 42n,所以 32()na . 又 1a也满足上式 , n的通项公式为 ()nN (2)当 42pk, 160rk时满足 ,kpra成等比数列. 证明如下: 42(3)p
17、ka, 160(32)rk, 显然 ,kr成等比数列 (3)证明: 时, 22111()(3)(4)343kakk, 当 n 时, 221 115843iian 17326n 又 时, 21a,对一切 nN, 2176nia55 （江苏省常州市华罗庚高级中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷）已知数列 16na, ()15nnb,其中 *nN(1)求满足 1a= nb的所有正整数 n 的集合;(2)n16,求数列 n的最大值和最小值;(3)记数列 ab的前 n 项和为 nS,求所有满足 2mnS(m16 时,n 取偶数 nab= 165=1+ n,当 n=18 时( nab)max= 23无最
18、小值 n 取奇数时 n=-1- ,n=17 时( n)min=-2 无最大值 (ii)当 n15 时, bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0,其中 a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 56 （江苏省常州市西夏墅中学 2013 年高考冲刺模拟试卷）设 )(nfk为关于 的 )(Nk次多项式.数列na的首项 1,前 n项和为 nS.对于任意的正整数 , )(fak都成立.( I )若 0k,求证:数列 n是等比数列;来源:Zxxk.Com( II)试确定所有的自然数 ,使得数列 na能成等差数列.(1)若 k,则 (
19、)kf即 0f为常数,不妨设 0()fc(c 为常数 ).因为 naS恒成立,所以 1S,即 12.而且当 2 时, 2n, 1n, -得 10()nanN， .若 an=0,则 =,a1=0,与已知矛盾,所以 *0()naN.来源:学科网故数列 an是首项为 1,公比为 2的等比数列. 【答案】 【解】(2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 1()fbnc(b,c 为常数), 当 2n 时, naS, 1(1)nbc, -得 2(2)nanN， . 要使数列 an是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 nabd(常数), 而 a1=1,故 an
20、只能是常数数列,通项公式为 an =1*N, 故当 k=1 时,数列 an能成等差数列,其通项公式为 an =1 ,此时 1()fn. (iii) 若 k=2,设 22()fbc( 0a,a,b,c 是常数), 当 2n 时, naSn, 21(1)()nbc, -得 (2)naanN， , 要使数列 an是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 2nb,且 d=2a, 考虑到 a1=1,所以 1()21nna*. 故当 k=2 时,数列 an能成等差数列,其通项公式为 21na*nN, 此时 22()(1)2fnana(a 为非零常数). (iv) 当 3k 时,若数列 an能成等差数列
21、 ,则 nS的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列 an 不能成等差数列. 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列 an能成等差数列 57 （江苏省扬州中学 2013 届高三最后一次模拟考试数学试题）粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符【答案】58（武 进区湟里高中 2013 高三数学模 拟试卷）设等比数列 na的前 项和为 nS,已知)(2*1NnSan(1)求数列 a通项公式;(2)在 n与 1之间插入 个数,使这 2n个数组成一个公差为 nd的等差数列.求证: )(165. *321 Nddn.【答案】解析:(1)设等比数列 a的公比为 q . 若 q,则 1n
22、a, 1n, 1nS,这与 )(2*1NnSan矛盾, 1q.由)(2*1NSnn得到 112nqa,102aq,解得 13, 123nna. (2)由(1)可知 123nna, 23n, 1nnad,14nA, 13nd,令123.n nTdd,则 14.493nT,31.344n nA, 由错位相减法得到1215238nn nnT,1525636nT. 59 （江苏省大港中学 2013 届高三教学情况调研测试） 若不等式(-1) n-1(2a-1)- n)3(又对一切正整数 n 恒成立,所以 2a-1-32 54n)(,从而 a- ,所以 a 的取值范围是 . 58 ( 58， 54)60 （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）设满足以下两个条件的有穷数列
