1、跟踪知识梳理几类常见函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) （ a、 b 为常数， ）0a反比例函数模型 f(x) b(k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型 f(x) （ a、 b、 c 为常数， ）2a0a指数型函数模型 f(x) （ a、 b、 c 为常数， ， 且 ）x 1对数型函数模型f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0，a0 且 a1)幂函数型模型 f(x) （ a、 b、 n 为常数， ）n01.直线模型：即一次函数 模型， 是增函数，增长特点是直线匀速上升。现实生活中很多事ykb0k例可以用直线模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系
2、、弹簧的伸长与拉力大小的关系等.2.指数函数模型：指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数 ） ，1a形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力.3.对数函数模型：对数增长的特点是随着自变量的增大（底数 ),函数值增大的速度越来越慢.1a4.幂函数模型：幂函数在 上是增函数。指数越大，增长的越快。(0,)核心能力必练一、选择题1某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用( )A一次函数 B二次函
3、数C指数型函数 D对数型函数【答案】D【解析】一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢2若 ，则下列结论正确的是( )0,1xA B2lg12lgxC D1x x【答案】A3四人赛跑，假设他们跑过的路程 和时间 的函数关系分别是 ，1,234ifx1x12fx， ， ，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关22fx32logfx4系是( )A B1f 22fxC D32logx4【答案】D【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ，42xf故选 D.4.西部某地区实施退耕还林，森林
4、面积在 年内增加了 ，若按此规律，设 年的森林面积为 ，205%2016m从 年起，经过 年后森林面积 与 的函数关系式为( )2016xyxA B 1.052mxy0.512xymC D20%x%x【答案】C5已知镭经过 年剩留原来质量的 ，设质量为 的镭经过 年后的剩留量为 ，则 ， 之间1095.76%1xyx的函数关系为( )A B. 10.976xy 10.9576xyC D5x 10.42【答案】A【解析】特殊值法，将 代入各选项，只有 A 正确10x6.下列函数中在某个区间 内随 增大而增大速度最快的是 （ ）,xA. B. 10lnyx10yC. D. e2x【答案】C【解析】
5、当自变量 大于某个数 时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又 ，x0x e2故函数 随 增大而增大的速度最快.1e0y7以下四种说法中，正确的是( )A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的 0,lognaxxC对任意的 xD不一定存在 ，当 时，总有 【答案】D00logxnax【解析】对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B，C，当 时，显然不成立；当 ， 时，一定存在 ，使01a1a0n0x得当 时，总有 ，但若去掉限制条件“ ， ”，则结论不成立故选 D.0xlogxnax8三个变量
6、， ， 随着变量 的变化情况如下表：1y23x 579115621 3 645 652y94 8 7 49356.0.16. 95.2.则关于 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )xA ， ， B ， ，1y23 2y13C ， ， D ， ，31 2【答案】C二、填空题9.某种病毒经 分钟繁殖为原来的 倍，且知病毒的繁殖规律为 (其中 为常数， 表示时间，单305ktyet位：小时， 表示病毒个数)，则 _，经过 小时， 个病毒能繁殖为_个yk21【答案】 2ln56【解析】当 时， ，5 ，0.t512ek . .当 时， .lk2lnety4ln562y10某工厂生产某
7、种产品的月产量 与月份 之间满足关系 .现已知该厂今年 月份、 月x1.5xyab12份生产该产品分别为 万件、 万件则此工厂 月份该产品的产量为_万件353【 答 案 】 8【 解 析 】 由已知得 解得21.53ab， ， 81.a， .当 时， .83xy8y11甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 关于时间ifx1,234的函数关系式分别为 ， ， ， ，有以下0x12xf22fx3f4log结论：当 时，甲走在最前面；1当 时，乙走在最前面；x当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面；01x丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终
8、走在最前面的是甲其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 【答案】对数型函数的变化是先快后慢，当 时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当 时，丁1x 01x走在最前面，当 时，丁走在最后面，命题正确；1x指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，命题正确结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题正确三、解答题12.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：月份 1 2 3产量(千件) 50 52 53.9为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的
9、产量为依据，用函数 或 ( 为常yaxbxy,ab数，且 )来模拟这种电脑元件的月产量 千件与月份 的关系请问：用以上哪个函数模拟较好？说0ayx明理由【答案】略13函数 ， ， 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并1.xf()ln1gx12hx比较三者的增长差异(以 ， ， ， ， ， 为分界点)abcde【答案】略14某地西红柿从 月 日起开始上市通过市场调查，得到西红柿种植成本 (就是每 公斤西红柿的21 Q10种植成本，单位：元)与上市时间 (单位：天)的数据如下表：t上市时间 t50 110 250种植成本 Q150 108 150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函
10、数描述西红柿种植成本与上市时间 的变化关系：t； ； ； ，并求出函数解析式；Qatb2tbctablogbt(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本【答案】 （1） （2） ，23450t10【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数不可能是常数函数，Qt从而用函数 ， ， 中的任意一个进行描述时都应有 ，而此时上述三Qatbtlogbat 0a个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以，选取二次函数 进行描述2Qtbc将表格所提供的三组数据分别代入 ，得到2Qatbc解方程组得 150250,816,abc 1,03,245.bc所以描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为Qt.213450Qt
