1、第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集_合1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图2集合间的基本关系描述关系文字语言 符号语言子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素AB 或BA真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且B 中至少有一个元素 A 中没有AB 或 BA集合间的基本关系相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 AB3集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号表示 AB AB 若全集为 U，则集合 A 的补集为 UA
2、图形表示意义 x|xA ，或 xBx|xA，且 x Bx|x U，且 xA1认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形 )和化简集合是正确求解的两个先决条件2要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系3易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误试一试1(2013辽宁高考)已知集合 Ax|01，( RA)B (1,2 考点一 集合的基本概念1.(2013山东高考)已知集合 A0,1,2 ，则集合 B xy|xA, yA中元素的个
3、数是( )A1 B3C5 D9解析：选 C 逐个列举可得 x0，y0,1,2 时，xy0，1，2；x1，y0,1,2时，xy1,0，1；x 2， y0,1,2 时，xy2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B的元素为2，1,0,1,2.共 5 个2已知集合 M1，m，N n，log 2n，若 MN，则(m n) 2 013_.解析：由 MN 知Error!或 Error!Error! 或Error!答案：1 或 03已知集合 Am2,2m 2m，若 3A，则 m 的值为_解析：因为 3A，所以 m 23 或 2m2m3.当 m23，即 m1 时，2m 2m3，此时集合 A 中有重复元素
4、3，所以 m1 不符合题意，舍去；当 2m2m3 时，解得 m 或 m1(舍去) ，32此时当 m 时，m2 3 符合题意32 12所以 m .32答案：32类题通法1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程( 组) 进行求解，要注意检验是否满足互异性考点二 集合间的基本关系典例 (1)(2013 洛阳统考) 已知集合 Ax| 0，xN ，Bx| 2，xZ，则x 2x x满足条件 ACB 的集合 C 的个数为( )A1 B2C4 D8
5、(2)已知集合 Ax |log2x2 ， B(，a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是(c， )，其中 c_.解析 (1)由 0 得 04，即 c4.答案 (1)D (2)4类题通法1已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析2当题目中有条件 BA 时，不要忽略 B的情况针对训练1(2013福建高考)已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 A1，a，B1,2,3，若 a3，则
6、 A1,3 ，所以 AB；若AB ，则 a2 或 a3，所以 AB a3，所以“a 3”是“AB”的充分而不必要条件2已知集合 Ax| 3x 4，Bx|2m14，x N，B0,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是( )A x|x2，xNBx| x2，xNC0,2D1,2解析：选 C 由图可知，图中阴影部分所表示的集合是 B( UA)，UA x|x24，x N x| 2x 2，xN0,1,2，B0,2,3，B( UA)0,2，选 C.考点四 集合中的创新问题角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新
7、定义的集合创新问题1若 xA，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M 的所有非空1x 1，0，12，2，3子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A1 B3C7 D31解析：选 B 具有伙伴关系的元素组是 1； ，2，12所以具有伙伴关系的集合有 3 个：1 ， ， .12，2 1，12，2角度二 创新集合新运算以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：1创新集合新定义；2创新集合新运算；3创新集合新性质.创新集合新运
8、算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的2.如图所示的 Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合 AB 为阴影部分表示的集合若 x，y R，Ax|y ，2x x2B y|y3 x，x 0，则 AB 为( )A x|02解析：选 D 因为 Ax |0 x2，B y|y1，ABx|x0 ，ABx|12，故选 D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题3对于复数 a，b，c，d，若集合 Sa，b，c
9、，d具有性质“对任意 x，yS，必有xy S”，则当Error!时，bcd 等于( )A1 B1C0 Di解析：选 B Sa，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当 a1 时，b1，c 2 1，c i，由“对任意 x，yS，必有 xyS”知i S，c i ，di或 ci，d i，bcd(1)01.类题通法解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求， “照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决课堂练通考点1(2013江西高考)若集合 AxR |ax2
10、ax 10 中只有一个元素，则 a( )A4 B2C0 D0 或 4解析：选 A 由 ax2ax10 只有一个实数解，可得当 a0 时，方程无实数解；当a0 时，则 a24a0，解得 a4( a0 不合题意舍去) 2(2013全国卷)已知集合 A1,2,3,4 ，B x|xn 2，nA，则 AB( )A1,4 B2,3C9,16 D1,2解析：选 A n1,2,3,4 时， x1,4,9,16，集合 B1,4,9,16，AB1,43(2014北京东城区统一检测) 设集合 A1,2 ，则满足 AB1,2,3的集合 B 的个数是( )A1 B3C4 D8解析：选 C 根据已知，满足条件的集合 B
11、为3 ，1,3，2,3 ，1,2,3故选 C.4. 设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，yS，都有 xy，xy，xy S，创 新 题 则称 S 为封闭集下列命题：集合 Sabi|a，b 为整数， i 为虚数单位 为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)( )A BC D解析：选 B 对，当 a，b 为整数时，对任意 x，yS，xy，xy，xy 的实部与虚部均为整数；对，当 xy 时， 0S；错，当 S0 时，是封闭集，但不是无限集；错，设 S0 T ，T 0,1
12、 ，显然 T 不是封闭集因此，真命题为.5. 设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P*Qz|zab，aP，bQ，创 新 题 若 P 1,0,1 ，Q 2,2，则集合 P*Q 中元素的个数是 ( )A2 B3C4 D5解析：选 B 当 a0 时，无论 b 取何值，zab0；当 a1，b2 时，z(1)( 2) ；12当 a1，b2 时，z( 1)2 ；12当 a1，b2 时，z1(2) ；12当 a1，b2 时，z12 .12故 P*Q ，该集合中共有 3 个元素0， 12，126已知全集 UR，集合 Ax|x 22x 0，B x|ylg(x1) ，则( UA)B( )A x|x2 或 x
13、0，即 x(x2)0，得 x2，故 A x|x2；集合 B 是函数 ylg(x 1) 的定义域，由 x10，解得 x1，所以 Bx|x 1如图所示，在数轴上分别表示出集合 A，B，则 UA x|0x2，所以( UA)B x|0x2x| x1 x|12，则( RB)A x |1x2，选 C.5(2013郑州质检)若集合 A0,1,2，x，B1 ，x 2，ABA，则满足条件的实数x 有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B A0,1,2，x，B1，x 2，ABA ，BA，x 20 或 x22 或 x2x，解得 x0 或 或 或 1.经检验当 x 或2 2 2时满足题意26(2014
14、湖北八校联考)已知 Ma| a|2 ，Aa|(a2)(a 23) 0，aM，则集合A 的子集共有( )A1 个 B2 个C4 个 D8 个解析：选 B | a|2a2 或 a2.又 aM，( a2)( a23) 0a2 或 a (舍)，3即 A 中只有一个元素 2，故 A 的子集只有 2 个7(2014江西七校联考)若集合 Px|3x 22 ，非空集合 Q x|2a1x 3a5 ，则能使 Q(P Q)成立的所有实数 a 的取值范围为( )A(1,9) B1,9C6,9) D(6,9解析：选 D 依题意，PQQ，QP，于是Error!解得 6a9，即实数 a 的取值范围是(6,9 8设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQ x|x P，且 xQ，如果 Px|log 2x1，Q x|x2|1，那么 PQ( )A x|0x1 Bx|0x 1Cx|1x2 D x|2x3解析：选 B 由 log2x1，得 0x2，所以 P x|0x2；由|x2|1，得 1x3，所以Q x|1x3由题意，得 PQ x|0x19已知全集 U2，1,0,1,2，集合 AError!，则 UA_.解析：因为 AError!，当 n0 时，x2；n1 时不合题意；
