1、第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 在集合 A 中,称 属xx于 A,记为 ,否则称 不属于 A,记作 。例如,通常用 N,Z,Q ,B,Q +分别xxx表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用 来表示。集合分有限集和无限集两种集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如1,2,3;描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数 , 分别表示有理数集
2、和正实数集。0x定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,则 A 叫做 B 的子集,记为 ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是ZNB 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。定义 3 交集, .x且定义 4 并集, BA或定义 5 补集,若 称为 A 在 I 中的补集。,1xICI且则定义 6 差集, 。,xB且定义 7 集合 记作开区间 ,集合baRa),(ba记作闭区间 ,R 记作,xb,.定理 1 集合的性质:对任意集合 A,
3、B,C,有:(1 ) (2 ) ;);()()(CBA )()()(CABC(3 ) (4 );1.11【证明】这里仅证(1) 、 (3) ,其余由读者自己完成。(1 )若 ,则 ,且 或 ,所以 或)(CBAxAxBCx)(BAx,即 ;反之, ,则)(CAx)()(CABx)()(CABx或 ,即 且 或 ,即 且 ,即Bx )(x).(x(3 )若 ,则 或 ,所以 或 ,所以CA1Ax1BC1AxB,又 ,所以 ,即 ,反之也有)(BxI)()(1C.11C定理 2 加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有 种不同的方法,第二类办法n1m中有 种不同的方法,第 类办法中有 种不同的
4、方法,那么完成这件事一共有mn种不同的方法。定理 3 乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步nN21 n有 种不同的方法,第二步有 种不同的方法,第 步有 种不同的方法,那么完2mm成这件事一共有 种不同的方法。n1二、方法与例题1利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。例 1 设 ,求证:,2ZyxaM(1 ) ;)(,2k(2 ) ;4(3 )若 ,则qp,.Mp2利用子集的定义证明集合相等,先证 ,再证 ,则 A=B。BA例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足,求集合 M(用 A,B 表示) 。M,3分类讨论思想的应用。例 3 ,若02,01,023 222 mxCaxBx
5、A,求CB,.ma4计数原理的应用。例 4 集合 A,B,C 是 I=1,2 ,3,4,5 ,6,7 ,8,9,0的子集, (1)若 ,求IBA有序集合对(A,B )的个数;( 2)求 I 的非空真子集的个数。5配对方法。例 5 给定集合 的 个子集: ,满足任何两个子集的交集非,32,1nIkkA,21空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。6竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 ,BABA, 需要 xy 此结论可CCBCAB以推广到 个集合的情况,即n ni kjiji nkjijini AAA111 .)1( niA定义
6、8 集合的划分:若 ,且 ,IAn21 ),1(jinjiAji 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。定理 6 抽屉原理:将 个元素放入 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于1mn)1(n个元素,也必有一个抽屉放有不多于 个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有1mmn一个抽屉放有无穷多个元素。例 6 求 1,2 ,3 ,100 中不能被 2,3 ,5 整除的数的个数。例 7 S 是集合 1,2,2004的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最多含有多少个元素?例 8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足:)2(nna,2
7、1.)(,11njiaji 例 9 设 A=1,2,3,4 ,5,6 ,B=7,8,9 , ,n,在 A 中取三个数,B 中取两个数组成五个元素的集合 , 求 的最小值。i .201,20,1jiAji n例 10 集合 1, 2,3 n可以划分成 个互不相交的三元集合 ,其中 ,,zyxzyx3求满足条件的最小正整数 .三、基础训练题1给定三元集合 ,则实数 的取值范围是_。,12x2若集合 中只有一个元素,则 =_。,0RxaaA a3集合 的非空真子集有 _个。3,2B4已知集合 ,若 ,则由满足条件的01,2xNxMMN实数 组成的集合 P=_。a5已知 ,且 ,则常数 的取值范围是_
8、 。,aBxABAa6若非空集合 S 满足 ,且若 ,则 ,那么符合要求的集合5,4321SS6S 有_个。7集合 之间的关系是 _。2ZkYZnX与8若集合 ,其中 , 且 ,若 ,则 A 中元素之和1,xyAxy0是_。9集合 ,且 ,则满足条件的 值构1,062 mMP PMm成的集合为_。10集合 ,则,9,12RxyBRxyxA_。B11已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) )若 ,则 。如果;SaSa1,S 中至少含有多少个元素?说明理由。12已知 ,又 C 为单元素集合,BAaxyBxayA,),(,),(求实数 的取值范围。a四、高考水平训练题1已知集合 ,且 A=B,则
9、,0,yxyx_, _。x2 ,91)(,2,9876,543, 1CIBAI ,则 _。)(1BAC)(1C3已知集合 ,当 时,实,002 mxx BA数 的取值范围是_。m4若实数 为常数,且 _。a axaA则,125集合 ,若 ,则,3,1,22mNM3NM_。m6集合 ,则 中的最小元素,7,35ybBxaA BA是_。7集合 ,且 A=B,则0,22xyyx_。yx8已知集合 ,且 ,则 的取值范围是4,021pxBxAp_。9设集合 ,052),(,1),( 22 yxyxy,问:是否存在 ,使得 ,并证明你的结),(bkxyCNbkCBA)(论。10集合 A 和 B 各含有
10、12 个元素, 含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集合BAC 的个数:1) 且 C 中含有 3 个元素;2) 。AC11判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集, ,),(22ryxCr 若对任何 ,都有 ,则必有 ,证明你的结论。0rCrrBA五、联赛一试水平训练题1已知集合 ,则实数 的取AxmzBxA 且,2,1,2 m值范围是_。2集合 的子集 B 满足:对任意的 ,则集合 B12,3,n yxB,中元素个数的最大值是_。3已知集合 ,其中 ,且 ,若 P=Q,2,2daQaqP 0aR则实数 _。q4已知集合 ,若 是平1),(,0,),( yxyxByxA BA面上
11、正八边形的顶点所构成的集合,则 _。a5集合 ,集合,4812ZnlmuM,则集合 M 与 N 的关系是_ 。,60rqppN6设集合 ,集合 A 满足: ,且当 时, ,则95,3 Axx15A 中元素最多有_个。7非空集合 ,则使 成立的所23,12xBax B有 的集合是_。a8已知集合 A,B,aC (不必相异)的并集 , 则满足条件的有序三,1nCA元组(A,B, C)个数是_。9已知集合 ,问:1),(,),(,1),( 2 yxayxByax当 取何值时, 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,aA结论如何?10求集合 B 和 C,使得 ,并且 C 的元素乘
12、积等于 B 的元素和。10,11 S 是 Q 的子集且满足:若 ,则 恰有一个成立,并且若Qr0,rSr,则 ,试确定集合 S。Sba, Sba,12集合 S=1,2,3,4 ,5, 6,7,8 ,9,0的若干个五元子集满足:S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集?六、联赛二试水平训练题1 是三个非空整数集,已知对于 1,2,3 的任意一个排列 ,如果 ,32,S kji,iSx,则 。求证: 中必有两个相等。jyiyx1,S2求证:集合1,2,1989可以划分为 117 个互不相交的子集 ,使)17,2(iA得(1)每个 恰有 17 个元素;(2 )每个
13、 中各元素之和相同。iAiA3某人写了 封信,同时写了 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的情nn况有多少种?4设 是 20 个两两不同的整数,且整合 中有 201 个201,a 201jiaji不同的元素,求集合 中不同元素个数的最小可能值。201jiji5设 S 是由 个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶n数。6对于整数 ,求出最小的整数 ,使得对于任何正整数 ,集合4)(nf m的任一个 元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。1,nm7设集合 S=1,2,50,求最小自然数 ,使 S 的任意一个 元子集中都存在两个不ks同的数 a 和 b,满足 。ab)(8集合 ,试作出 X 的三元子集族&,满足:NkX,6,1(1 ) X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含;(2 ) 。)k的 元 素 个 数表 示(29设集合 ,求最小的正整数 ,使得对 A 的任意一个 14-分划1mAm,一定存在某个集合 ,在 中有两个元素 a 和 b 满足421, )14(iAi i。ba3