1、 www.1smart.org 哈佛北大精英创立【典例精讲】题型一：证明某三角形为等腰三角形并求点的坐标例 1：（2014 普陀一模）.如图，抛物线 经过点 C（0， ），2yaxb32且与 x 轴交于点 A、点 B，若 tanACO= 3（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 M，点 P 是线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），MPQ=45，射线 PQ 与线段 BM交于点 Q，当MPQ 为等腰三角形时，求点 P 的坐标x（第 24 题）MACBOyPQwww.1smart.org 中小学个性化辅导例 2（2014 宝山一模）：如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与x 轴相交
2、于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 B 点的坐标为 B（8，0）（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接 AC、BC，试判断 AOC 与 COB 是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上 BC 之间的一点，N 为 线段 BC 上的一点，若 MNy 轴，求 MN 的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由（本题满分 4+3+2+3=12 分）【变式练习】1.（2013 嘉定一模）在平面直角坐标系 中（图 12），已知抛物线xOy（ ）经过 、 两点，顶点为 .caxy420)4,(A
3、(-3,1)BCwww.1smart.org 哈佛北大精英创立（1）求该抛物线的表达式及点 的坐标；C（2）将（1）中求得的抛物线沿 轴向上平移 （ ）个单位，所得新抛物线与 轴的ym0y交点记为点 .当 ACD 是 等腰三角形时，求点 的坐标；D（3）若点 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结 ，将线段 绕点 逆时针旋转PPOP得到线段 ，若点 恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点 的坐标. 90OOy1 x2 43 5 6-6 -5 -3-43-25-1456789-1-25图 1232110www.1smart.org 中小学个性化辅导2（2013 普陀一模）.如图，点 A 在 x 轴
4、上，OA =4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由如图，已知二次函数 的图象与 轴相交于 两点（点 在点 的左边），32xyxCD、与 轴交于点 ，点 在二次函数的图像上，且 轴。问线段 BC 上是否存在点 P，使yBAABPOC 为等腰三角形；如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。（www.1smart.org 哈佛北大精英创立DyOAOBOxC题
5、型二：证明三角形为等腰三角形时求边的长例 1：如图，在 RtABC 中，BAC= 90，AB =3，AC=4，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且EDF= 90（1）求 DEDF 的值；（2）设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G，EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段 BE 的长；若不能，请说明理由。（）例 1 题图B CDEFA备用图 1B CD备用图 2B CDA Awww.1smart.org 中小学个性化辅导G FEDCBA例 2：如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动ABC6,5BCDEABC点（ 不与 、 重合），且
6、保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 ，DE DEFG当 是等腰三角形时，请直接写出 的长。（）GAwww.1smart.org 哈佛北大精英创立【变式练习】1.如图 1，在 中， ， ， 是边 的中点，ABC902ACBMAC于 。（）HM（1）试求 的值；sin（2）求证： ；ABCH（3）若 是边 上的点，且使 为等腰三角形，请求 的长。DADADwww.1smart.org 中小学个性化辅导2.已知在梯形 中， ， ， ， ，ABCD/PDA2BC2PCDA，如图 1。（本题满分 14 分）（）4P（1）求证： ；/www.1smart.org 哈佛北大精英创立（2）若点 在线段 上
7、运动，与点 不重合，联结 并延长交 的延长线于点 ，QPBPCQDPO如图 2，设 ， ，求 与 的函数关系式，并写出它的定义域；xyDOx（3）若点 在线段 上运动，与点 不重合，联结 交 于点 ，当MAMN是等腰三角形时，求 的值PNA PD CB图 1A PD CB图 2QOwww.1smart.org 中小学个性化辅导题型三：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例 1（2014 虹口二模）：已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线xOy与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 C 在线段 AB243ym上，且 . AOBCSA（1）求点 C 的坐标（用含有 m 的代数式表示）；（2）将AOC 沿 x 轴翻折，当点 C 的对应点 C恰好落在抛物线 上时，求该抛物线的表达式；238y（3）设点 M 为（2）中所求抛物线上一点，当以 A、O 、 C、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标 O xCAB
