1、2018/12/20,1,第二章 流体的平衡1. 流体平衡之压强 流体静力学的研究意义- 研究流体平衡的流体力学分支称为流体静力学。 -流体静力学原理可用于测压计、水压机、液压机械、比重计等一系列科学与工程仪器设备的制造，也可应用于水利和水工结构设计、船舶结构设计和静止大气与星球压强密度和温度分布的测量等，还可在日常生活中加以一定应用，如救生圈等。,千斤顶（液压起重器）,测压计,水压机,液体比重计,2018/12/20,4,*河水对河堤产生压力，越往下压力越大。上窄下宽的河堤能挡住不同的压力,还可省料,且可减轻自身压力，使河堤“站”的更牢固。所以河堤是上窄下宽的。,水坝,水闸,自动开启水闸,斜
2、置水闸,古代船只,现代船只,救生圈,曹冲称象,2018/12/20,8,第二章 流体的平衡1. 流体平衡之压强 流体平衡时的压强- 相对某一坐标系（惯性坐标系或非惯性坐标系）流体静止（此时流体中仅存在法向应力）即可称流体处于平衡状态（流体整体性平移及旋转不影响流体内应力，也即在惯性坐标系静止流体不会因为得到一个流体整体性平移及旋转而产生切应力，此刻仍视流体处于平衡）。- 静止流体中只存在法向应力，而无切应力，且有，或写为 ，式中负号表明法向应力总是指向面积元内侧，而 表示静止流体中作用于某点任意取向面积元之压应力大小，称为流体静力学压强，单位为帕（1Pa=1N/m2）。,2018/12/20,
3、9,*参考件-静止流体的应力张量即由牛顿粘性定律，静止流体中不存在切向力,故有其中由于仅存压力，则,故可得 。 可令 ,则 , 表示流体受压, 为压强，应 力张量相应为,10,2.均质流体的静平衡流体平衡的基本方程1) 方程的一般形式 -式中, 为作用于单位质量流体上之体力。对于均质流体(即 ),上式即为流体平衡的基本方程；对于非均质流体，若流体为正压流体，需补充关系 ，而对于斜压流体，则需补充状态方程（如 ）以及能量平衡关系式。分析：采用微元分析法，如图示，在x轴方向由左右两面压强差（表面力仅存在压力）产生的合力为,2018/12/20,11,同理，在y和z轴方向由压强差产生的合力应分别为故
4、作用于微元体上对应的总合力为设作用于微元体单位质量的体力为 ，则作用于微元体上的 总体力为 ，由平衡条件可得：即,2018/12/20,12,2)流体平衡下的体力条件式 （流体平衡的基本方程）- 由 ,则 有相应有 此即流体平衡下的体力条件式。 -对于均质流体,由 ,即体力无旋，可定义体力势 满足 ，代入平衡方程 ,得 故 。 -对于正压流体,由 ，则,13,该式说明对于静止的正压流体, 体力也应满足有势条件,则可设,即 ，可见体力的等势面、等压面和等密面重合。- 对于斜压流体（ 依赖多个状态参数），一般 （等压面和等密面不重合平行，其各自法向量 和 也就不平 行重合），相应 ，也即体力无势,
5、故斜压流体在有势体力作用下一般无法平衡。-对于互不混合的两种静止流体的分界面,沿界面上任一微 元线段 之压强增量可写为 ( 与 在分界面上连续)故得即分界面为等压面。,流体平衡基本方程,2018/12/20,14,-若体力有势，因 ，则界面的各侧为等压面，也就是各自的等密面。 由 ，故 与 垂直，即分界面与体力方向垂直， 因而有势的体力其等势面（法向方向为 ）与分界面 （等压面）重合。 -常见的流体分界面包括水面等自由表面（气液分界面），在 重力 作用下之平衡水面与重力等势面 一致。 - 万有引力 之等势面为 ，这与太空所观测的海洋表面是一致的。,15, 重力场中均质流体的静平衡1)流体静力学
6、规律- 上式称为流体静力学规律，它表明:在重力作用下中, 均质流体在深度为 处的压强等于分界面上压强 加上高为 单位底面积流体柱重之和。 分析：如图示，对于重力作用下的静止流体，由平衡方程，得： ，积分式中 为等效深度。,2018/12/20,16,* 均质静止流体中压强随深度线性增加（水坝或堤坝断面上窄下宽之原因）,液体中曲面上的静压强分布,18,2）U形管流体测压原理如图示,由流体静力学定律,有,液柱式测压计,重液体,2018/12/20,20,思考题,在水管上安装一复式水银测压计，试给出测压管中1-2-3-4水平液面上各自压强的大小关系。,2018/12/20,21,3）帕斯卡原理及其应
7、用- 若在静止均质流体的边界上施加一压强,该压强可以均匀传遍整个流体,其值不变,此即帕斯卡原理。- 如图示，在活塞C加一推力Fc使流体产生压强增量 ，则 该压强将数值不变传至活塞B，相应有，则当 ,有 ,即作用力得以放大(可应用于进行水压加工的水压机和进行举重的液压千斤顶等)。,*千斤顶（液压起重机）工作原理,分析：根据帕斯卡原理，活塞A下的增量压强与活塞B下的增量压强相等，又由于活塞B下的面积比活塞A下的大1000倍，在它上面的作用力就应比在A上的作用力也大1000倍。因此，为了将一辆1吨重的汽车抬起来，只要1公斤的作用力就够了。液压制动器、压缩机、汽车的千斤顶、水泵等许多器械都得益于这一原
8、理。,*用一个截面为5平方厘米输血用的粗注射器和一个截面为05平方厘米的很小的注射器，将它们的开口用短管连起来。根据帕斯卡原理，力的转化系数大约为10。将水、油或其他的液体灌满注射器，即两个活塞中间的全部空间，注意将气泡排除掉。然后一人用大姆指挤压两个活塞中的一个，另一人同时用大拇指挤压另一个活塞。当然，谁挤压细小的注射器，谁就会不费力气地取胜。,*一位农民想通过一根很长的细管子将珍贵的葡萄酒从自己的乡间农舍输送到山脚下的一位朋友家里。一切都很顺利：朋友家的酒桶灌满了葡萄酒，但随后液体管子内的压力很快使木桶破碎，葡萄酒浸泡了房子。,2018/12/20,24,4）非均匀流体平衡的密度条件- 重
9、力场中的非均匀流体若处于平衡,则流体呈现分层状态,即各水平层内密度不变。分析：由流体静力学原理，各层压强与水平位置无关，压强差为 两层间单位底面积上流体重量 ，故密度 必与水平位置无关。3.均质流体的相对平衡1)均质流体整体进行匀加速直线运动 如图示,xy平面平行容器流体之 匀加速度为 ,则 为单位质量 流体上的惯性力,故有 由 故,达朗贝尔原理,2018/12/20,25,即在自由面上 ,可得即自由面为一个倾斜的平面（自由面为等压面，其法向方向为 方向）。,2018/12/20,26,2) 均质流体整体匀角速旋转如图示,随容器一起整体旋转的均质流体中单位质量的惯性力为离心力 ，则有 故自由面
10、形状为旋转抛物面，即由此可得,2018/12/20,27,4.均质流体作用于物体表面的压强合力1)均质流体作用于平壁表面的压强合力,2018/12/20,28,*作用于平板表面的压强分布,29,4.均质流体作用于物体表面的压强合力1)均质流体作用于平壁表面的压强合力如图示,取平壁延长面与等效分界面（等效自由面）交线为x轴,平壁与水平面夹角为,则平壁一点的压强为,相应壁面所受合力为设 作用线过 , 以 为原点建立平行x与y轴之坐标,则 对 和 轴的力矩为代入 ,得:,可视质心点压强在整个平壁面均布,二阶惯性矩,30,对 和 轴的力矩,2018/12/20,31,式中 ,另 与 为平壁表面的二阶惯
11、性矩。 结合各式可得：,2018/12/20,32,例 如图示,箱外大气压为 , 对于情形(1)水面上方压力为 ; (2) ,分别求窗口AB两侧所受流体合力。,2018/12/20,33,2018/12/20,34,形心线,合力线,a)结果,2018/12/20,35,2)均质流体作用于曲壁表面的压强合力,36,2018/12/20,37,2)均质流体作用于曲壁表面的压强合力如图示,在曲壁面任取一小微元面积dS,则其所受流体压强合力为 ，它可分解为平行等效自由面的分量 和 及垂直分量 。由则 ，同理 ,这说明 和 正好 分别等于S在yz和xz平面上投影(均为平壁面)上所受流体 压强合力。,20
12、18/12/20,38,对于曲壁面受力方向的垂直分量,由 有即该微元力之大小等于 以上至等效分界面对应体积 充满该流体时的体重，也即整个曲壁面S所受力的垂 直分量 大小为S以上至等效分界面之间对应体积（压 力体）充满该流体时的体重，且指向曲壁内侧垂直方 向。例对于图示曲面湖岸ABC段，其所受垂直方向合力 为体积ABC中充满湖水时的重 量（方向向下）。,2018/12/20,39,现分析 的作用线位置 。由合力作用线定义，有其中利用了 关系 ， ，式中 为曲壁面以上压力体体积 ， 为压力体几何中心坐标。同理利用 ，可得 需要说明的是 、 和 一般不共点。,2018/12/20,40,练习 如图所
13、示，试绘出各曲面AB对应的压力体图（用侧影线），并标明各压力体对应的铅直压力的方向。,解：,41,压力体,*附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及作用线。,*附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及其作用线。,44,*附加问题：求合力作用线。,及,2018/12/20,45,46,由于半球面上各点压强均过点o，其合力必过点o,2018/12/20,47,5. 浮体的平衡 阿基米德定律- 全部或部分浸没于静止均质流体中的物体在重力场中所受的浮力竖直向上且大小为它所排开的流体重量。分析: 如右图示, 物体左右两边 ABC与ADC曲面在yz平面上投影相同， 所受力相反，则x向合力为零，同理，
14、y向合力也将为零，即流体作用力只有 竖直方向分量。竖直方向 合力应为物体所排开液体 体积的原重量。,2018/12/20,48,相应称此作用力为浮力，其作用线通过所排开流体体积 的几何中心（又称浮力中心）。如下图所示，对于半浸物体，由帕斯卡原理，大气压 对物体不产生合力，故水下部分物体所受流体压强合力 为竖直向上的作用力，大小为压力体BCD的重量，浮力 中心为实际排开流体体积的几何中心， 也即与全浸物体相关结论相同。 相关的静平衡条件为： 物体所受重力与浮力大小相等， 方向相反且作用线重合。,49,*参考件如图示,在曲壁面任取一小微元面积dS,则其所受压强合力为 ，它可分解为平行等效自由面的分
15、量 和 及垂直分量 。由则 ，同理 ,这说明 和 正好 分别等于S在yz和xz平面上投影(均为平壁面)上所受 压强合力。当压强为大 气压不变值，对于封闭 曲面，各轴方向投影面 压强合力均相互抵消，故 总合力为零。,液体比重计, 液体比重计（5. 浮体的平衡）,2018/12/20,51, 液体比重计（5. 浮体的平衡） - 液体的密度 与水密度 之比称为比重。如图示,比重计由玻璃管下接金属小球构成。先把其放入水中校准，在水平面上作刻度线，测出浸没的体积 ，随后再将其放入待测液体中，设原刻度线较液面升高 。由比重计在水中平衡条件有 ，进一步由比重计在待测液体中的平衡条件有 则可得同时有,2018/12/20,52, 静止流体中物体的稳定性（5. 浮体的平衡）- 对于完全浸没的物体，若其浮力中心高于重心则平衡稳定， 反之为不稳定（见气球受力图的说明）。- 对于半浸没的物体，如图示船 体，其重心G一般将高于浮力中心 B，图中两种情形船体排开水位置 有所不同，右图中排水体积的几何 中心将由B右移至E点，浮力FB将 通过该点（新的浮力中心）。连接 BG且作延长线与过E点FB的延长 线相交，设交点为M，则M点高 于G点，则船体趋于稳定，反之 趋于不稳定。,
